第一章复数与复变函数()

1、复变函数教案2012 2013学年度 第二学期任课教师享B 城课程名称复变函数采用教材 高教三版(钟玉泉编)周课时数4数统 学院 数学教育 专业2010年级 1班 引言数学从产生、有发展到现在，已成为分支众多的学科了，复变函数是其中一个非常重要的分 支。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复 变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复 变函数论为解析函数论，简称函数论。我们知道，在解实系数一元二次方程 ax2+bx+x=O(aw o1时，如果判别式b2-4 ac<O ,就会遇到 负数开平方的问题，最简

2、单的一个例子是在解方程 x2+1=0寸，就会遇到开平方的问题。1545年，意 大利数学物理学家Hardan (卡丹)在所著重要的艺术一书中列出将10分成两部分，使其积 为40的问题，即求方程 x(10-x )+115 =0的根 它求出形式的根为 5+C5和5-C5,积为 425 -(-15)= 40.然而这只不过是一种纯形式的表示而已，当时，谁也说不上这样表示究竟有什么 好处。为了使负数开平方有意义，也就是要使上述这类方程有解，我们需要再一次扩大数系，于是 就引进了虚数，使实数域扩大到复数域。 但最初，由于对复数的有关概念及性质了解不清楚， 用它 们进行计算又得到一些矛盾，因而，长期以来，人们

3、把复数看作不能接受的“虚数”。直到十七世纪和十八世纪，随着微积分的发明与发展，情况才逐渐有了改变。另外的原因， 是这个时期复数有了几何的解释，并把它与平面向量对应起来解决实际问题的缘故。复变函数论产 生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎 曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西一黎曼条件”。关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧拉(Euler)

4、作出的。他在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们用到水力学和地图制图学上，用符号“i ”作为虚数的单位，也是他首创的。此后，复数才被人们广泛承认和使用。在复数域内考虑问题往往比较方便，例如，一元n次方程在复数域内恒有解。这就是著名的代数学基本定理，它用复变函数来解决是非常简洁的。又如，在实数域内负数的对数无意义，而在复数域内我们就可以定义负数的对数。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并

5、且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。在十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西(Cauchy) 、德国数学家黎曼(Riemann) 和维尔斯特拉斯(Weierstrass)的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并深刻地渗人到代数学、解析数论、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支；同时，它在热力学、流体力学、和电学等方面也有很多的应用。二十世纪以来， 复变函数已经被广泛应用到理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也Et益密切。致使经典的复变函数理论，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题等有了新的发展和应用。并且， 还开辟了一些新的分支，

6、如复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论、多复变函数论、广义解析函数论以及拟保形变换等。另外，在种种抽象空间的理论中，复变函数还常常为我们提供新思想的模型。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其

7、完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中。现在。复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。第一章 复数与复变函数1教学目的复变函数的自变量和因变量都是复数，因此， 复数和平面点集是研究复变函数的基础。复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因此有其新的含 义与特点。本章主要介绍复数和复变函数的基本概念， 通过本章教学，使学生明确复变函数要研究 的对象是解析函数，其理论基础是建立在复数域和复平面上。2 .教学基本要求理解复数、区域、单连通区域

8、、多连通区域、约当曲线、光滑(逐段光滑)曲线、无穷远点、 扩充复平面等概念；理解复数的性质， 掌握复数的运算，理解复数的模和辐角的性质；理解并掌握 复变函数极限与连续性的概念与性质；进一步认识复数域的结构，并联系中学的复数教学。3 .教学重点和难点重点是复变函数的概念、极限与连续性；难点是无穷远点及无穷远点邻域。4 .学法指导以自习为主，通过讲授1节习题课来加强学生对该章主要概念的理解。5 .教学内容与课时分配早下课时§ 1复数2课时§ 2复半向上的点集2课时§ 3复变函数2课时§ 4复球面与尢穷远点1课时习题课1课时教学内容§ 1复数教学目的

9、与要求：了解复数的概念及复数的模与辐角；掌握复数的代数运算复数的乘积与商、幕与根运算.重点：德摩弗(DeMoiVre )公式.难点：德摩弗(DeMoiVre )公式.课时：2学时.1 .复数域形如z=x+iy或2 = 2 + 丫1的数，称为复数，其中x和y均是实数，称为复数z的实部和虚 部，记为x = Rez , y = Im z i = Ci ,称为虚单位.两个复数zi = +iy1，与z2 % 九 相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即 =X2且yi =y2虚部为零的复数可看作实数，即x + il_0 = x,特别地，0 + il_0 = 0,因此，全体实数是全体 复数的一部分.实

10、数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数x + iy和x-iy称为互为共腕复数，记为(x+iy)=xiy或 xiy=x+iy设复数z1 =x1 +iy1 , z2 =x2 +iy2,则复数四则运算规定：容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律.全体复数并引进上述运算后称为复数域， 必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大 小的.2 .复平面从上述复数的定义中可以看出，一个复数z=x+iy实际上是由一对有序实数（x,y）唯一确定.因此，如果我们把平面上的点（x, y）与复数z = x + iy对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的 一' 一对应关系.由于x轴上的

11、点和y轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称x轴为实轴，称y轴为虚轴，这样表示复数z的平面称为复平面或z平面.引进复平面后，我们在“数”与“点”之间建立了一一对应关系，为了方便起见，今后我们就不再区分“数”和“点”及“数集”和“点集”.3 .复数的模与幅角由图1.1中可以知道，复数z = x+iy与从原点到点z所引的向量 厦也构成一一对应关系（复数。对应零向量）.从而，我们能够借助于点z的极坐标r和日来确定点z=x+iy,向量部的长度称为复数z的模，记为图1.1图1.1r =|z = Jx2 +y2 之 0 .显然，对于任意复数2 = 乂+1丫均有乂<忆，y <|z ,

12、z < x| +| y（1.1）另外，根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式（三角形两边之和之第三边，图1.2）图1.2（三角形两边之差E第三边，图1.3）图1.3（1.2）与（1.3）两式中等号成立的几何意义是：复数乙，z2分别与乙+22及乙-22所表示的三个向 量共线且同向.向量oz与实轴正向间的夹角日满足tan日='称为复数z的幅角（Argument）,记为日=Argz由 x于任一非零复数 z均有无穷多个幅角，若以Ar gz表示其中的一个 特定值，并 称满足条件(1.4)-二：二 Argz < 二的一个值为Argz的主角或z的主幅角，则有注意：当z =

13、 0时，其模为零，幅角无意义.从直角坐标与极坐标的关系，我们还可以用复数的模与幅角来表示非零复数z,即有同时我们引进著名的欧拉（Euler）公式：则（1.6）可化为z=reie(1.8)（1.6）与（1.8）式分别称为非零复数z的三角形式和指数形式，由（1.8）式几指数性质即可推得复数的乘除有因此z1z2 = zj|z2 , 3（z2#0） （1.10）z2z2公式（1.10）与（1.11）说明：两个复数乙，z2的乘积（或商），其模等于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或差）.特别当z2 =1时可得z =rei垠此即说明单位复数（其|=1）乘任何数，几何上相当于将此数所

14、对应的向量旋转一个角度.另外，也可把公式（1.11）中的Argz换成argz （某个特定值），若argz为主值时，则公式两端允 许相差2n的整数倍，即有公式（1.9）可推广到有限个复数的情况，特别地，当4=22=川=4时，有当r =1时，就得到熟知的德摩弗（DeMoiVre ）公式：例1.1求cos38及sin38用cos9与sinB表示的式子解：'：（cos3B+i sin 36）=（cosB+i sin 日）34.曲线的复数方程例1.2连接乙及z2两点的线段的参数方程为z = z1+t（z2-乙）（0 Wt W1）过乙及z2两点的直线（图 ）的参数方程为z = z1 +t（z2-z

15、1） （-«<t<+）例1.3 z平面上以原点为心，k为半径的圆周的方程为|z=Rz平面上以Zo为心，R为半径的圆周的方程为z-Zo=R例1.4 z平面上实轴的方程为Imz=0,虚轴的方程为Rez = 0.作业：第42页2,3,4§ 2复平面上的点集教学目的与要求：平面点集的几个基本概念；掌握区域的概念；了解约当定理.重点：区域的概念，约当定理.难点：区域的概念.课时：2学时.1 .几个基本概念定义1.1满足不等式z Zo|mP的所有点z组成的平面点集（以下简称点集）称为点Z0的P 邻域,记为N & Z0）.显然，N&Z0）即表示以Zo为心，以P

16、为半径的圆的内部定义1.2 设E为平面上的一个点集，若平面上一点 Zo的任意邻域内巨有E的无穷多个点，则称Zo 为E的内点.定义1.3若E的每个聚点都属于E,则称E为闭集.若E的所有点均为内点，则称E为开集定义1.4 若三M >0, Vzw E ,均有z EM则称E为有界集，否则称E为无界集.2 .区域与约当（Jordan）曲线定义1.5若非空点集D满足下列两个条件：（1） D为开集.（2） D中任意两点均可用全在D中的折线连接起来，则称D为区域.定义1.6若zo为区域D的聚点且Zo不是D的内点，则称zo为D的界点，D的所有界点组成的点集称为D的边界，记为田，若三r >o,使得N.

17、（Zo）cd =中，则称zo为D的外点定义1.7区域D加上它的边界C称为闭区域，记为D = D+C有关区域的几个例子例1.5 z平面上以点zo为心，R为半径的圆周内部（即圆形区域）：|z-4<R例1.6 z平面上以点zo为心，R为半径的圆周及其内部（即圆形闭区域）z-WR例1.5与例1.6所表示的区域都以圆周z-Zo|=R为边界，且均为有界区域例1.7上半平面ImzA0下半平面 Im z <0它们都以实轴Imz=0为边界，且均为无界区域.左半平面Rez 0右半平面Rez 0它们都以虚轴Rez =0为边界，且均为无界区域.例1.8图1.4所示的带形区域表为y1<Imz<y

18、2.其边界为y = y1与y = y2,亦为无界区域.例1.9图所示的圆环区域表为r <<R其边界为z=r与z=R,为有界区域.定义1. 8设x(t)及y(t)是两个关于实数t在闭区间ot F ±的连续实数，则由方程 z = z t) = Xi y )t (a <t < P)(1.13)所确定白t点集C称为z平面上的一条连续曲线，(1.13)称为C的参数方程，z(a)及z(P)分别称为C 的起点和终点，对任意满足口 <t1cB及u ct2cB的t1与t2 ,若t1 # t2时有z(t1) = z(t2),则点z(t1)称 为C的重点；无重点的连续曲线，称

19、为简单曲线(约当曲线)；z(a)=z(B)的简单曲线称为简单闭 曲线.若在a Mt上时，x(t)及y，(t)存在节不全为零，则称C为光滑(闭)曲线.定义1.9由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线.定义1.1(约当定理)任一简单闭曲线C将z平面唯一地分为C、I(C)、E(C)三个点集(图1.5 ),图1.5它们具有如下性质: 彼此不交.(2) I(C)与E(C) 一个为有界区域(称为C的内部),另一个为无界区域(称为C的外部)若简单折线P的一个端点属于I(C),另一个端点属于E(C),则P与C必有交点.对于简单闭曲线的方向，通常我们是这样来规定的：当观察这沿 C绕行一周时，C的内部

20、(或挖) 始终在C的左方，即“逆时针”(或“顺时针”)方向，称为C的正方向(或负方向).定义1.10设D为复平面上的区域，若D内任意一条简单闭曲线的内部全含于 D,则称D为单连通 区域，不是单连通的区域称为多连通区域.例如，例1.5-1.8所示的区域均为单连通区域，例1.9所示的区域为多连通区域.(请同学们针对定义1.10自己作图思考)作业：第 42 页 6.(1) (3) (5) , 7, 8,9§ 3复变函数教学目的与要求：理解复变函数的概念；了解复变函数的极限与连续的概念.重点：复变函数的概念.难点：复变函数的几何表示.课时：2学时.1 .复变函数概念定义1.11设E为一复数集

21、，若存在一个对应法则 f ,使得E内每一复数z均有唯一(或两个以上)确定的复数u与之对应，则称在E上确定了一个单值(或多值)函数 w= f(z)(zw E) , E称为函数w=f(z)的定义域，w值的全体组成的集合称为函数 w=f(z)的值域.j,一一 Z +1一 、， 、 一、“，例如 w=z, w=z&w= (z=1)均为单值函数， w = jZ&w = Argz (z#0)z -1均为多值函数.今后如无特别说明，所提到的函数均为单值函数.设w = f (z)是定义在点集E上的函数，若令z = x+iy, w = u + iv则u、v均随着x、y而确定，即u、v均为x、y的

22、二元实函数,因此我们常把 w= f (z)写成f (z) =u(x,y)+iv(x,y) (1.14)若z为指数形式，z=re旧，则w = f(z)又可表为w= p(r,8) +旧(r,9)(1.15)其中p(r,B) , Q(r,H)均为r、8的二元实函数.由(1.14)和(1.15)两式说明，我们可以把复变函数理解为复平面 z上的点集和复平面w上的点集之 间的一个对应关系(映射或变换)，这是由于在复平面上我们不再区分“点”(点集)和“数”(数 集).故今后我们也不再区分函数、映射和变换.3.复变函数的极限和连续性定义1.12设w = f(z)于点集E上有定义，z。为E的聚点，若存在一复数w

23、0,使得V6A0,>0,当 0<|z-z0 <a 时有 f (z) -w0 < ( (zW Z)则称 f (z)沿 E 于 z。有极限 w。,记为 ZT z f (z) = w 0(z E)定义1.12的几何意义是：对于Vs>0,存在相应的0 >0 ,使得当z落入z0的去心6-邻域时,相应的f (z)就落入w0的 J邻域.这就说明z*z f(z)与zt z0的路径无关.即不管z在E上从哪z0(z E)个方向趋于z0 ,只要z落入z0的去心6 一邻域内，则相应的f (z)就落入w0的6-邻域内，而在数学 分析中，lim f (x)中x只能在x轴上沿着x

24、6;的左，右两个方向趋于x°,这正是复分析与数学分析不X及同的根源.今后为了简便起见，在不致引起混淆的地方，z*z f(z)均写成lim f(z)0 z ' z0(z E)0可以类似于数学分析中的极限性质，容易验证复变函数的极限具有以下性质:若极限存在，则极限是唯一的.limf(z)与limg(z)都存在，则有z一； z另外，对于复变函数的极限与其实部和虚部的极限的关系问题，我们有下述定理：定理1.2设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)于点集E上有定义，4 = x°+iy°为E的聚点，则lim f (z) =/=a+ib 的充要条件 lim u(x

25、, y) =a 及 lim v(x, y) = bz,Z0x加y %证明：因为 f (z) - =u(x,y) a iv(x, y) b从而由不等式 1.1 可得 u(x,y)a - f(z) -nl' (1.16) v(x, y) -b| <| f (z)-n| j及 f (z) -| <|u(x, y) -a +|v(x, y) -b (1.17)故由(1.16)即可得必要性部分的证明.由(1.17)可得充分性部分的证明.定义1.13设w = f (z)于点集E上有定义，z0为E的聚点，且z0 w z ,若lim f (z) = f (z0)则称f(z)沿E于4连续.根

26、据定义1.13, f(z)沿E于4连续就意味着：V®>0 , M a0 ,当|z-z0 c6时，有f (z) - f(z )<与数分中的连续函数性质相似，复变函数的连续性有如下性质：(1)若f(z), g(z)沿集E于点z°连续，则其和，差，积，商(在商的情形，要求分母z°不为零)沿点集E于4连续.(2)若函数"=f()沿集E于Zo连续，且f(E)=G，函数w = g(")沿集6于1= f(z0)连续,则复合函数w=gf(z。)沿集E于Zo连续.其次，我们还有定理1.3 设函数f (z) = u(x, y) + iv(x, y)于点集E上有定义，z/ E ,则f (z)在点z0 = x0+iy0连续的充要条件为：u(x, y), v(x, y)沿E于点(x°, y°)均连续.事实上，类似于定理1.2的证明，只要把其中的a换成u(x。，y°), b换成v(x。, y°)即可得到定理 的证明.1 z z例1.10 设f(z) = (=)(z=0)2i z z试证f(z)在原点无极限，从而在原点