艺术生高考数学专题讲义：考点50几何概型

1、考点五十几何概型知识梳理1 .几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.2 .几何概型的概率公式构成事件A的区域长度（面积或体积）P（A尸试验的全部结果所构成的区域长度 （面积或体积）3 .几何概型的两个特点几何概型有两个特点：一是无限性；二是等可能性.4 .几何概型与古典概型的区别古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，而几何概型则是无限个.典例剖析题型一与长度有关的几何概型例1 （2014高考湖南卷）在区间 2, 3上随机选取一个数 X,则XW1的概率为3答案35解

2、析 在区间 2, 3上随机选取一个数 X,则XW1,即一2WXW1的概率为P = 1.5变式训练（2015山东文）在区间0,2上随机地取一个数 x,则事彳 “一 1<log2ix+2 i< 1”发生的概率为.3答案3411113解析 由一1wiog2g+2 户 1,得2WX+2W2,0<x<2.3-0由几何概型的概率计算公式得所求概率P = =32-0 4解题要点基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.题型二与面积有关的几何概型ABCD 中，其中 AB= 2,例2 (2014高考辽宁卷)若将一个质点

3、随机投入如图所示的长方形BC=1,则质点落在以 AB为直径的半圆内的概率是答案-4解析 设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A,则P(A) =1阴影面积 2长方形面积1X2工4.变式训练(2015福建文)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0),且点C+ 1, x> 0,与点D在函数f(x)=£ 1的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取2计 1，x<°自阴影部分的概率等于答案43132 1解析 由图形知 C(1,2), D(2,2), S 四边形 abcd=6, S 阴=2X 3X 1 =2. p=6=彳.解题要点 求解与面积有关的几

4、何概型的注意点：求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.题型三与体积有关的几何概型例3 在棱长为2的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点。的距离大于1的概率为 .答案 1工12解析 点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外.记“点 P到23-Bxfx 13一23TT点O的距离大于1”为事件A,则P(A) =23=1-12.变式训练有一个底面圆的半径为 1、高为2的圆柱，点O

5、为这个圆柱底面圆的圆心， 在这个圆柱内随机取一点 P,则点P到点。的距离大于1的概率为 .,2答案23解析 先求我P到点。的距离小于或等于 1的概率，圆柱的体积 V圆柱=TtX 12X2=2u,以。为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球=1X4 7tx 13=2兀则点P到点O的距离2 332小于或等于1的概率为|- = 1,故点P到点O的距离大于1的概率为11 = 2.27t 33 3解题要点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积 （总空间）以及事件的体积（事件空间），对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.当堂练习1. (2015陕西文)设复数z= (x 1) + yi

6、(x, yCR),若|z|w 1,则y>x的概率为 答案 解析 由|z|w 1可得（x1）2+y2w 1,表示以（1,0）为圆心，半径为1的圆及其内部，满足 y>x的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为:P=47tx 12-1x 12TtX 12了142兀11一42 7ty=x2. 一只蜜蜂在一个棱长为 3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于 1,称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为 答案127解析由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为 1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜3蜂“安全飞行”的概率为P=1a=32 73.

7、在区间 V 于上随机取一个x, sin x的值介于一3与1之间的概率为 . 222 2答案1得一萨x<6.所求概率为13.3解析 由一1vsinxv1, xC22'4.在2,3上随机取一个数x,则(x+ 1)(x 3)w 0的概率为答案45解析 由(x+1)(x3)W0,得iwxw 3.由几何概型得所求概率为之55.利用计算机产生。1之间的均匀随机数 a,则事件“a1>0”发生的概率为 ,2答案23解析1由3a1>0得a>3，由几何概型知323.一、填空题课后作业1.在长为10cm的线段AB上任取一点P,并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm2与

8、49cm2之间的概率为 答案15解析可以判断属于几何概型.记正方形的面积介于 25cm2与49cm2之间为事件A,那么正方形的边长为5,7内，则事件A构成的区域长度是7 5= 2(cm),全部试验结果构成的区域21长度是 10cm,则 P(A)=-2-=1. 10 52.在区间(10,20内的所有实数中，随机取一个实数a,则这个实数a<13的概率是答案旦10解析 这是一个与长度有关的几何概型.所求的概率 p=H 13I T(10) 20啊区I日长度103.在长为12cm的线段AB上任取一点C,现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC, CB的长, 则该矩形面积小于 32cm2的概率为.,2答

9、案23解析由题意如图44/4.、AqC2B知点C在C1C2线段上时分成两条线段围成的矩形面积小于32cm2,P=-8=.12 34.如图，一个矩形的长为 5,宽为2,在矩形内随机的撒 300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为 .答案235解析据题意得衿=_S竺=138? s阴影=23.S巨形 2X5 30055.假设 ABC为圆的内接正三角形，向该圆内投一点,答案浮4兀则点落在 ABC内的概率为解析 设圆O的半径为R, “所投点落在 ABC内”-3AB2 4 为事件A,则P(A) = tR13.3R2TlR23 .346. 一只蚂蚁在一直角边长为1c

10、m的等腰直角三角形ABC(/B=90°)的边上爬行，则蚂蚁距A点不超过1cm的概率为答案 2 2解析 如图，E为斜边AC上的点，且AE = 1cm,则蚂蚁应在线段 AE及2边AB上爬行，所求概率 P =产=2值.2+ ,27. (2015湖北文)在区间0,1上随机取两个数 x, y,记p1为事件“ x +答案解析1 一的概率，P2为事件 xy<2的概率，则1P1<2<P2在直角坐标系中，依次作出不等式x x + yw3，xyw的可行域如图所示:0<y<1,22GftAyE“日石金伞 ABOS曲边多边形OEGFC 18A OEC1依题,国， P1 = &q

11、uot;, P2 = T, 而彳, 所以 P1<7<P2.S四边形OCDES河边形OCDE2 S河边形OCDE28.在区间20,80内任取一个实数 m,则实数 m落在区间50,75内的概率为解析选择区间长度度量，则所求概率为 方喘.5e9.(2013湖北卷)在区间2,4上随机地取一个数 x,若x满足|x|wm的概率为4,则m=答案35解析由图知要使|x|w m的概率为6，易得m = 3.10 . (2014福建文)如图所示，在边长为 1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到 阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 .答案 0.18解析 几何概型与随机模拟实验的关系.由题意知，

12、这是个几何概型问题，器=花5 = 08.,S正=1, ，S阴=0.18.11 .取一个边长为2a的正方形及其内切圆如图，随机向正方形内丢一粒豆子，豆子落入圆 内的概率为.答案-4Q2解析 记“豆子落入圆内”为事件 A,则P(A)=m=f。二为=理=3.解正万形面积4a 4二、解答题12 .已知关于x的一元二次方程 x2-2(a-2)x-b2+16=0.(1)若a, b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；(2)若a 2,6 , b C 0,4,求方程没有实根的概率.解析(1)易知基本事件(a, b)共有36个，方程有两正根(借助根与系数的关系)等价于a 2>0,16-b2&

13、gt;0, A>0,即 a>2, - 4<b<4, (a-2)2+b2> 16,设“方程有两个正根”为事件 A,则事件A包含的基本事件为(6,1), (6,2), (6,3), (5,3)共44 136 9个，故所求的概率为P(A)= =".(2)试验的全部结果构成区域为(a, b)|2<a<6,0<b<4, a, bCN ,其面积为16.设“方程无实根”为事件B,则构成事件B的区域为(a, b)|2waw6,0w bW4,b2<16,其面积为 1x ttX 42= 4 兀.故所求的概率为p(b)=46= 4.13.已知集合 A=-2, 2, B=-1, 1,设 M = (x, y)|xC A, yCB,在集合