第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入教学案含解析理20190627333

1、天幕第四节 数系的扩充与复数的引入考纲彳真1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2. 了解复数的代数表示法及 其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义.扫除盲点知识全通关1 .复数的有关概念(1)复数的概念：形如 a+bi( a, be R)的数叫复数，其中 a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).(3)复数相等:(4)共轲复数:(2)分类:满足条件(a, b为实数)复数的分类a+bi为实数？ b=0a+bi为虚数？ bwoa+ bi为纯虚数？ a= 0且bwoa+ bi = c+ di ? a= c, b=d(a, b, c, d

2、 e R).a+ bi 与 c+di 共轲？ a= c, b= d(a, b, c, de R).复数的模：向量OZ勺模叫彳复数z=a+bi的模，记彳乍J zJ 或_a土切_，即| z| = | a+bi|a + b(a, b R).2 .复数的几何意义复数 z = a +bi一一对应复平面内的点Z(a ,b)对应平面向量OZ= (a, b).第-12 -页共8页天幕公众号“品数学”，一个提供数学解题研究，并且提供资料下载的公众号!3 .复数的运算(1)运算法则：设 zi=a+bi , Z2=c+di , a, b, c, dCR /工上 不入61t土枣 主 办Hb 土 曲i- - +1”源汉

3、回/ 药卜7*成 小毋_如图给出的平行四(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.一 二 二 一 二 二边形OZZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ= OZ+ OZ, ZiZ2=OZ- OZ.常用结论(1 土i) 2=±2i, *=i,1 i1 i=i.1 + i2.3.b+ ai = i( a+ bi).i 4n= 1, i 4n+1=i , i 4n+2=- 1, i 4n+3=_ i( nCN*) ； i 4n+i 4n+1+ i 4n+2+i 4n+3= 0(n N*).4. z z = | z| 2=| z |2, | Z1 Z2| =|

4、 z“-| Z2|,z1=T-z7，| zn| = |z| n.z2| Z2|基础自测1 .（思考辨析）判断下列结论的正误.（正确的打“，”，错误的打“X”）（1）复数 z=a+bi（ a, bCR）中，虚部为 bi.（）（2）复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.（）（3）实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数.（）（4）复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.（）答案(1) X (2) X (3) X(4) V2 .（教材改编）如图所示，在复平面内，点A表示复数z,则图中表示z的共轲复数的点D. D是（）A. AC.B 共轲复数对应的点关于

5、实轴对称.3 .（教材改编）设mC R,复数z=m21 + （m+ 1）i表示纯虚数，则 m的值为（）A. 1B. 1C. ± 1D. 02m-1 = 0A 由题意得，解得mi= 1,故选A.1 wo1 + 2i4.复数-=（）2 iA. iC. iB. 1 + iD. 1 -i1 + 2i 1+2i 2 + i 5iA 2-i =2i2Ti= "5 =i.5.（教材改编）设 x, yC R,若（x+y） + （y 1）i =（2x+3y） +（2y+1）i ,则复数 z=x+yi在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限x+y=2x+3y,

6、x=4,D 由题意知解得y1 = 2y+1,y=2.则复数z = 4-2i在复平面上对应的点位于第四象限，故选 D.课堂题型全突破考点全面方法简洁|题型1|复数的有关概念一一 八 I、r1 一 1 一 一1. （2018 全国卷 I ）设 z=匚斤 +2i,则 |z|=（）A. 0 B. 1C. 1Da/221 _ i1 _ icrC z=+2i = :+ 2i =i，所以 |z| =1.2 + i1 + i 1 - i|2. （2018 浙江高考）复数 J（i为虚数单位）的共轲复数是（）1 iA. 1+iB. 1 -iC. 一 1 + iD. 1 一 i2 2 1+iB E =1-iiTi=

7、 1 + i '2 一.所以复数：的共轲复数为1 i ,故选B.1 - i、，、，. a i 一、.一一3. （2017 天津局考）已知aC R, i为虚数单位，若2-为实数，则a的值为a 一 ia 一 i2 一 i-2 . a' R 2+i = 2 + i2i2a1a+2i52a 15a+2 ，一i为实数,5a+2-5-=0, a=- 2.规律方法解决复数概念问题的策略1复数的分类、复数的相等、复数的模，共轲复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a+bi a, be R的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程组

8、即可.2求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z,然后利用复数模的定义求解.|题型2|复数的运算?考法1复数的乘法运算【例 1】(1)(2018 全国卷出)(1 + i)(2 i)=()A. 3 iB3+iC 3-iD 3+i(2)(2016 全国卷I )设(1 +2i)( a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=()A.- 3B.-2C. 2D.3若 a为实数，且(2 +ai)( a2i) = 4i ,则 a=()A.- 1B.0C. 1D.2(1)D (2)A (3) B (1)(1 +i)(2 - i) =2-i +2i -i2=3+ i.故选 D.(2)(1 +2i)(

9、 a+i) =a2 + (1+2a)i ,由题意知 a-2=1 +2a,解得 a=- 3,故选 A.(3)因为(2 +ai)( a-2i) = 4i ,所以 4a+ (a2 4)i = 4i.4a= 0,所以2解得a=0.故选B.a -4=_ 4.?考法2复数的除法运算【例2】（2018 天津高考）i是虚数单位，复数6+ 7i1+ 2i（2）（2018 江苏高考）若复数z满足iz=1 + 2i ,其中i是虚数单位，则 z的实部为(1)4i(2) 2(1)6+7i1 + 2i6+7i1 + 2i1 2i1-2i6+14+7i12i =4 i.1+2i 1 + 2i -i（2） z = ：=：=

10、2 iii i故z的实部为2.?考法3复数的综合运算1 z【例3】（1）（2019 太原模拟）设复数z满足下 =i,则z的共轲复数为（）A. i B . - iC. 2i D. - 2iz(2)(2016 全国卷出)若 z=4+3i,则百 =()A. 1B. 14 3.C. i5 54D.53.-i 5(3)若复数z满足2z+ z =3 2i ,其中i为虚数单位，则z等于()A. 1 +2iB. 1 -2iC. 1 + 2iD. 1 2i_,1z g(1)A (2)D (3)B (1)由 1 = i 得 1z=i+zi.rr . .1.,1 i即(1 + i) z = 1 i ,则 z= 1

11、+ . = - i ,因此z =i ,故选A.(2)z=4+3i, T = 4-3i , |z|=/42 + 32 = 5,z 4-3i 4 3. i|z|55 5 设 z= a+ bi( a, b R),则 z = a - bi ,所以 2( a+ bi) +( a bi) =3-2i ,整理得 3a3a=3,+ bi =3-2i ,所以b=-2,解得a= 1,b=- 2,所以z=1-2i ,故选B.规律方法复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略1复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.2复数的除法.除法的关

12、键是分子分母同乘以分母的共轲复数，解题时要注意把i的哥写成最简形式.3复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a+bi a,be r的形式，再结合相关定义解答.跟踪缪习(1)(2019 合肥模拟)已知i为虚数单位，则2十:.3 4=()2 iA. 5B. 5i-7 12C-一 7 12.D- -5+Ti(2)(2019 惠州模拟)已知复数z的共轲复数为z ,若z (1 i) =2i(i为虚数单位)，则 z=()A. i B(2019 南昌模拟C. 一 i 一 1 D. 一 i)设z的共轲复数是z ,若z+ z =2, z2= 2i ,则z =()1 1.A. i 2 2

13、1 1B.2+ 2iC. 1+iD. 1 -i(1)A (2)C (3) D42+i 3-4i 10 5i 的-(1)法一：-=5,故选 A.2 i2 i42+i3-4i法二：2i-2+i 2 3-4i2+i 2 i3+4i 3 4i5-5,故选 A.(2)由已知可得z2i2i 1+ i1-i 1-i 1 + i=1 + i ,则 z = 1 i ,故选 C.(3)对四个选项逐一3证可知，当 z=1 i时，符合题意，故选 D.I题型3|复数的几何意义【例4】(1)(20181北乐局考)在复平面内，复数 17的共轲复数对应的点位于()A.第一象限C.第三象限D.第四象限(2)(2019 郑州模拟

14、)若复数(1i)( a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A. ( 8, 1)B.(8, 1)D.C. (1 , +8)(1)D (2)B (1)11-i1-i1 + iiTi士> =,所以一的共轲复数为，一 22 21 i2 2i ,在复平面内对应的点为12'1,、2 ,位于第四象限，故选 D.(2)复数(1 - i)( a+i) =a+1 + (1 a)i ,其在复平面内对应的点(a+1,1 -a)在第二象a+ 1 v 0 , 限，故解得a<- 1,故选B.1-a>0,规律方法与复数几何意义相关的问题的一般解法第一步，进行简单的复数运算，将

15、复数化为标准的代数形式；第二步，把复数问题转化为复平面的点之间的关系，依据是复数a+bi与复平面上的点a, b 一一对应.跟踪练习(1)(2019 广州模拟)设z = 1+i(i是虚数单位)，则复数：+z2在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 5i (2)在复平面内与复数2=不后所对应的点关于虚轴对称的点为A则A对应的复数为()A. 1 +2iB. 1 -2iC. 2+iD. 2+i222221 i(1)A (2)C 因为 Z= 1 + i,所以z+z=E +(i+i)_1-+ (2017 全国卷I )下列各式的运算结果为纯虚数的是()A. i(1 +i)

16、 2B. i 2(1 -i)C. (1 +i) 2D. i(1 +i)C A项，i(1 +i) 2=i(1 +2i +i 2) =i X2i = 2,不是纯虚数.B项，i2(1 i) =(1 i) =1+i ,不是纯虚数.C项，(1+i) 2=1+2i +i 2=2i ,是纯虚数.D项，i(1 + i) = i + i 2= 1 + i ,不是纯虚数.故选C. +o 21 i2i +i (2017 全国卷出)复平面内表示复数z=i( -2+i)的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限C z=i( 2+i) =12i , 复数z= - 1-2i所对应的复平面内的点为Z( 1,-2),位于第三象限.故选C. (2016 全国卷 I )设(1 +i) x= 1 + yi ,其中 x, y 是实数，则 | x + yi| =()A. 1 B. 2C. 3D. 2B /(1 + i) x= 1 +yi , 1, x+ xi =1 +yi.=2+ 2i =1 + i ,所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1),位于第一象限