同济大学高等数学教案第七章多元函数积分学

1、精选优质文档-倾情为你奉上高等数学教学教案第七章 多元函数积分学授课序号01教 学 基 本 指 标教学课题第七章 第一节 二重积分的概念、计算和应用课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点二重积分的计算方法教学难点二重积分的应用参考教材同济版、人大版高等数学；同济版微积分武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求理解二重积分，了解二重积分的性质掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，会用二重积分求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量等)教 学 基 本

2、 内 容一、基本概念：1. 曲顶柱体的体积曲面在平面闭区域上连续，且有. 过的边界作垂直于面的柱面，则区域和柱面以及曲面构成一个封闭的立体，称为以为底的，为顶的曲顶柱体. 即为所求的曲顶柱体的体积. 2. 二重积分的概念 设是平面闭区域上的有界函数，将任意分割成小块：，记第块的面积为，在第块上任取一点（见图7-4），作，取，即是各的直径中的最大值. 当时，如果总是存在，则极限值称为函数在平面闭区域上的二重积分，记为 .其中称为积分区域，称为被积函数，称为面积微元，称为被积表达式，称为积分和.3、型区域上的二重积分若积分区域可以用不等式 来表示，其中函数在区间上连续，这样的区域称为型区域.4、型

3、区域上的二重积分设积分区域可以用不等式 来表示，其中函数在区间上连续，这样的区域称为型区域二、定理与性质：1、定理1 在区域上的连续函数一定是上的可积函数.2、二重积分的性质性质1 ；性质2 ；性质3 设由、组成，则；性质4 如果，则有的面积；性质5 如果在区域上满足，则有；特别地, 有 性质6 设是区域的面积. 如果在上有最大值和最小值，则有 ；这个不等式称为二重积分的估值不等式.性质7 （二重积分的中值定理）如果在有界闭区域上连续，则在上至少可以找到一点，使得 .3、直角坐标系下二重积分的计算设函数在矩形区域上连续，且.若是由所围成的型闭区域，设可以用不等式 来表示，4、极坐标系下二重积分

4、的计算区域的积分限*5、二重积分换元法设函数在平面内的闭区域上连续，变换将平面内的闭区域变换成平面内的闭区域，且满足（1）、在上具有一阶连续偏导数；（2）在上；（3）变换：是一对一的，则有.此式也称为二重积分换元公式.6、二重积分应用举例体积在本章第一节已经知道，若在有界闭区域上连续，且，则二重积分 在几何上是以为顶的曲顶柱体的体积，所以我们可以利用二重积分计算立体的体积.质量与重心设有一平面薄片，它位于面内区域上，在点处的面密度为区域上的连续函数.平面薄片的质量为 .平面薄片的重心坐标为 .如果平面薄片是均匀的，即是常数，则均匀平面薄片的重心坐标为 ，其中为闭区域的面积.*平面薄片的转动惯量

5、设有一平面薄片，它在平面上占有（有界闭）区域，面密度为连续函数，.薄片对轴、对轴的转动惯量为，.三、主要例题：例1 用二重积分表示上半球体的体积，并写出积分区域.例2 比较积分与的大小，其中区域D是三角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).例3 不作计算，估计的值，其中是椭圆闭区域： . 例4 计算定积分.例5 计算二重积分 其中区域是由, 所围成的矩形.例6 计算，其中.例7 将下列区域写成型区域的表达式. （1） （2） 若是由所围成的型闭区域，例8 计算二次积分.例9 计算其中D是由直线及所围成的闭区域.例10 计算, 其中是由直线和所围成的闭区域.例11 计算二重积分

6、其中D是由抛物线及直线所围成的闭区域.例12 计算 其中D由及y轴所围.例13交换二次积分的积分次序.例14 交换二次积分 的积分顺序.例15 将下列区域用极坐标表示(1) ； (2） ；(3）； (4） D为与所围区域.解： （1） （2） （3） （4）例16 计算，其中是由中心在原点，半径为的圆周所围成的闭区域例17 计算, 其中D是由曲线所围成的平面区域.例18 写出在极坐标系下二重积分的二次积分，其中区域例19 计算二重积分，其中区域由，所围成.例20 求由直线、所围成的闭区域的面积.例21 求两个底面圆半径相等的直角圆柱所围立体体积.例 22 求球体被圆柱面所截得的(含在圆柱面内的

7、部分)立体的体积.例23 求曲线和所围成区域的面积*例 24 求椭球体的体积.例25 一圆环薄片由半径为4和8的两个同心圆所围成，其上任一点处的面密度与该点到圆心的距离成反比，已知在内圆周上各点处的面密度为1，求圆环薄片的质量.例26 求位于两圆和之间的均匀薄片的重心.*例27 求曲线所围平面薄片对极轴的转动惯量.授课序号02教 学 基 本 指 标教学课题第七章 第二节 三重积分的概念、计算和应用课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点三重积分的计算方法教学难点三重积分的计算方法参考教材同济版、人大版高等数学；同济版微积分武汉大学同济大学 微积分学

8、习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求理解三重积分的概念，了解三重积分的性质，了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标)教 学 基 本 内 容一、 基本概念：三重积分的概念定义 设函数在空间的有界闭区域，上有界，将任意地分成个小区域，其中既表示第个小区域，也表示它的体积.任取，记，若存在，则称函数在上可积，此极限称为函数在上的三重积分，记作，即. 其中为体积元素.在直角坐标系中，有时也把体积元素记为，而把三重积分记为其中称为直角坐标系下的体积元素.二、 定理与性质：1、三重积分的计算考虑有如下几何特征的闭区域：平行于轴且穿过内部的直线与的边界曲面相交不

9、多于两点，闭区域投影到面得到一个平面闭区域. 如果闭区域又可以表示为设，则2、三重积分的应用空间立体的体积空间立体的体积*3、三重积分在物理中的应用（1）空间物体的质量：，其中为空间物体的体密度函数.（2）空间物体的质心：，；空间立体的形心：，.三、主要例题：例1 计算三重积分 其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域.例2 计算三重积分 其中为由双曲抛物面及平面,围成的闭区域例3 化三重积分为先对，次对，最后对的三次积分,其中积分区域为由曲面及所围成的闭区域.例4 计算三重积分 其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域.例5 计算，其中由与所围成.例6 计算三重积分，其中区域由球面及旋转抛物面所围.

10、例7求由平面，及曲面所围立体的体积.例8 设，计算旋转抛物面、圆柱面与平面所围成的立体的体积.例9设常数、，若立体由平面，圆柱面以及锥面围成，其各点处的体密度等于该点到平面的距离的平方，求该立体的质量.例10 求球心与锥体的顶点皆在原点，球体半径为，锥体中心轴为轴，锥面与轴正向交角为的均匀球顶锥体的质心.例11 求均匀球体对三个坐标轴的转动惯量.授课序号03教 学 基 本 指 标教学课题第七章 第三节 对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点计算曲线积分教学难点两类曲线积分关系参考教材同济版、人大版高等数学；

11、同济版微积分武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系，会计算两类曲线积分教 学 基 本 内 容一、基本概念：1、对弧长曲线积分的概念与性质设为平面上一条光滑(或分段光滑)的曲线弧，函数在上有界，在上任意取点、将分成段小弧，记，（也为该段的弧长），任取，若存在，则称此极限为函数在上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作.若是封闭曲线，那么函数在闭曲线上对弧长的曲线积分通常会记为.2、对坐标的曲线积分的概念与性质设为平面上从点到点的一条有向光滑(或分段光滑)的曲线弧，函

12、数、在上有界，在上沿的方向任意取点、将分成段小弧，记， ，也为该段的弧长.，任取，若存在，则称此极限为函数在有向曲线弧上对坐标的曲线积分，记作；同理，若存在，则称此极限为函数在有向曲线弧上对坐标的曲线积分，记作，即 其中，称为被积函数，称为有向曲线弧段或有向积分路径.以上两个积分也称为第二类曲线积分.三、 定理与性质：1、对弧长曲线积分的计算方法定理1 设二元函数在曲线弧上连续.平面曲线的参数方程为，其中、及、在连续，且，则. （1）如果平面曲线的方程为，其中在上具有一阶连续导数，在上连续，则.如果平面曲线的方程用极坐标表示：，其中在上具有一阶连续导数，在上连续，则.定理2 三元函数在空间曲线

13、弧上连续.设空间曲线的参数方程为，其中、及、在上连续，且，则.*2. 对弧长曲线积分的物理应用设曲线型构件在面上占据的位置是一段曲线弧，在上的点处的构件的线密度为，且在上连续，则和解决平面薄片的同类问题一样，应用元素法，就可以得到平面曲线弧状构件的质量：；曲线型构件的质心坐标，；如果是匀质的曲线型构件，则对应的形心公式为，；而曲线型构件对于面上的轴和轴的转动惯量分别为，.3、对坐标的曲线积分计算方法定理3 设函数，在有向曲线弧上有定义且连续.平面曲线的参数方程为，当参数单调地由变到时，相应的点从起点沿运动到终点，及，在以为端点的区间上连续，且，则曲线积分存在，且.定理4 设空间曲线的参数方程为

14、：，其中对应起始点，对应终点，、及、在连续，、在上连续，则这里也必须注意的是：积分下限一定要对应于的起点，积分上限一定对应的终点.4、 两类曲线积分的关系，其中、为有向曲线弧在点处的切向量的方向角.类似地，在空间有，其中、为空间有向曲线弧在点处的切向量的方向角.三、主要例题：例1 计算 其中是抛物线上点与点之间的一段弧.例2 计算曲线积分其中L是中心在、半径为的上半圆周.例3 计算曲线积分，其中：.例4 计算曲线积分，其中为摆线的一拱：，.例5 计算曲线积分，其中为连接三点、的封闭折线段.例6 计算曲线积分，其中为螺旋线上相应于从到的一段弧.例7求 其中为球面被平面所截得的圆周.例8计算半径为

15、R, 中心角为的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量 (设线密度).例9 计算其中L为曲线上从到的一段弧.例10 计算曲线积分，其中为摆线的一拱，其中为起点，为终点.例11 计算曲线积分，其中分别为（1）从点沿直线到；（2）从点沿圆周到；（3）从点沿轴到再沿轴到.例12 计算曲线积分，其中分别为（1）从点沿直线到；（2）从点沿曲线到；（3）从点沿轴到再沿直线到；（4）从点沿轴到再沿直线到.例13 计算为点到点的空间有向线段.例14求质点在力的作用下沿着曲线 从点移动到点时所作的功.例15 设为从点沿曲线到的曲线弧，化第二类曲线积分为第一类曲线积分.授课序号04教 学 基 本 指 标教学课题第七章 第

16、四节 对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点两类曲面积分计算教学难点两类曲面积分计算参考教材同济版、人大版高等数学；同济版微积分武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求了解两类曲面积分的概念，并会计算两类曲面积分，教 学 基 本 内 容一、 基本概念：1、对面积曲面积分的概念与性质 设为光滑(或分片光滑)曲面，函数在上有界，将任意地分成片小曲面（也表示该小曲面的面积），任取，若存在，则称此极限为在曲面上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记作.2、曲面

17、的侧设是有向曲面，在上取一小块曲面，将投影到面上得一投影区域，其面积记为，且假定在上各点处的法向量与轴的夹角的余弦有相同的符号，则规定在面上的投影为：其中也就是的情形.类似地可以定义在面上的投影及在面上的投影.3、对坐标的曲面积分的概念 设为光滑(或分片光滑)的有向曲面，函数在上有界，将任意地分成片小曲面（也表示该小曲面的面积），在坐标面的投影分别是，任取，若存在，则称此极限为在有向曲面上对坐标、的曲面积分或第二类曲面积分， ，即 其中称为被积函数，称为有向积分曲面 .类似地，可以定义函数在有向曲面上对坐标的曲面积分为 ；定义函数在有向曲面上对坐标的曲面积分为 以上三个曲面积分也称为第二类曲面

18、积分.二、 定理与性质：1、对面积曲面积分的计算方法设积分曲面由方程给出，在面上的投影区域为（见图7-58），其中在上具有一阶连续偏导数，被积函数在上连续， 则； 类似地，设积分曲面由方程给出，在面上的投影区域为，其中在上具有一阶连续偏导数，则；设积分曲面由方程给出，在面上的投影区域为，其中在上具有一阶连续偏导数，则.2、对面积曲面积分的物理应用 已知曲面型构件的密度函数在上连续，则的质量为；曲面的质心的坐标分别为，；曲面相对于轴，轴，轴的转动惯量依次为，.3、对坐标的曲面积分的计算法设光滑有向曲面由方程给出，在面上的投影区域为，函数在上具有连续偏导数，且函数在上连续，则有，当曲面取上侧，即的

19、法向量的方向余弦中时，等式的右端取正号，即； 曲面取下侧，即的法向量的方向余弦中时，等式的右端取负号，即.4. 两类曲面积分之间的关系：设有向曲面，在上连续，为曲面上点处的单位法向量, 则 注 两类曲面积分的关系式.三、主要例题：例1 求，其中为的部分.例2 计算曲面积分 其中是球面被平面截出的顶部.例3计算 其中为平面被柱面所截得的部分（见图7-61）.例4计算其中是由平面及所围四面体的整个边界曲面.例5 计算第一类曲面积分，其中为立体的整个边界曲面.例6 已知抛物面壳的密度函数为，试求其质量.例7 试求均匀曲面的质心坐标.例8 求密度为的均匀半球壳对轴的转动惯量.例9 计算，其中为锥面的下

20、侧.例10 计算曲面积分其中是球面外侧在的部分.例11 计算曲面积分，其中为由平面、及所围四面体的外侧.例12计算曲面积分，其中为介于和之间的下侧.授课序号05教 学 基 本 指 标教学课题第七章 格林公式、高斯公式和斯托克斯公式课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点格林公式教学难点高斯公式参考教材同济版、人大版高等数学；同济版微积分武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求掌握格林(Green)公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件，了解两类曲面积分的概念及高斯(Guass)、斯托

21、克斯(Stokes)公式， 了解散度、旋度的计算公式。教 学 基 本 内 容一、 基本概念：1、单连通区域及其正向边界：设为平面区域，若区域内任意一个封闭曲线所围的部分均属于区域，则区域称为单连通区域，否则就称为复连通区域. 通俗地讲，单连通区域是没有“洞”的区域.设为平面区域，我们规定它的边界曲线关于的正向为：当观察者沿的这一方向行走时，内在他邻近处的部分总在他的左侧.2、与路径无关：设函数在区域内具有连续偏导数，如果对于内以点为起始点、以点为起终点的任意两条的曲线、，下列等式成立：，则称曲线积分在内与路径无关. 否则则称与路径有关.如果曲线积分在区域内与路径无关，而的起点为，终点为，那么曲

22、线积分便可以记为.*3. 通量与散度设给定一向量场，其中函数、具有一阶连续偏导数， 则称为向量场在点处的散度，记作.一般地，就表示在场中任一点处的散度.第二类曲面积分称为向量场向那一侧穿过曲面的通量.4. 环流量与旋度设有向量场，其中、具有一阶连续偏导数，则向量就称为向量场的旋度，记作，即.若是的定义域内的一条分段光滑的有向闭曲线，是在点处的单位切向量，则曲线积分就称为向量场沿有向闭曲线的环流量二、定理与性质：格林公式 ：设有界闭区域由分段光滑的曲线围成，函数、在上具有一阶连续偏导数，则有 其中是的正向边界曲线.平面上曲线积分与路径无关的等价条件：设区域为单连通区域，函数、在上具有一阶连续偏导数，则下