江苏省南京市六校联合体2020学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)

1、南京市六校联合体高二期末试卷数学(理科)一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.设口为虚数单位，复数 目 ,则日的模EH .【答案】国【解析】分析：利用复数的除法法则运算得到复数日 然后根据复数模的公式进行求解即可.、¥在772 4-1(2 + 1 1 *一 i)-详斛：“J z , 12i,3 |z| "】，(T)即答案为_.点睛：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数模的计算，同时考查计算能力, 属基础题.2 . 一根木棍长为5米，若将其任意锯为两段，则锯成的两段木棍的长度都大于2米的概率为【解析】分析：由题

2、意可得，属于与区间长度有关的几何概率模型，试验的全部区域长度为 5,基本事件的区域长度为 1,利用几何概率公式可求.详解：“长为5的木棍”对应区间 叵司，“两段长都大于2”为事件© 则满足&|的区间为r 根据几何概率的计算公式可得，卜(A)5-0 5故答案为：口点睛：本题考查几何概型，解答的关键是将原问题转化为几何概型问题后应用几何概率的计算公式求解.3 .命题“若11-(,则复数.三画匹为纯虚数”的逆命题 是 命题.(填“真”或“假”)【答案】真【解析】分析：写出命题“若 匚可，则复数三王由叵a为纯虚数”的逆命题，判断其真 假.详解：命题“若匚句,则复数区三亟垣©

3、为纯虚数”的逆命题为“若复数 口，bK&h E园 为纯虚数，则匚子，它是真命题.点睛：本题考查命题的真假的判断，属基础题4 .已知一组数据为2, 3, 4, 5, 6,则这组数据的方差为 .【答案】2【解析】分析：根据方差的计算公式，先算出数据的平均数，然后代入公式计算即可得到结果.%到2十3十4十5十6十详解：平均数为：4+1 5|(3-4)2 + (4-4)2+(5-4)： + (6-4)：J-x (4 + 1 1 + 4) - 2.55即答案为2.点睛：本题考查了方差的计算，解题的关键是方差的计算公式的识记.它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.5.将一颗

4、骰子抛掷两次，用时表示向上点数之和，则区n可的概率为答【解析】分析：利用列举法求出事件的概率.屋近”包含的基本事件个数，由此能出事件“叵回”详解：将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2, 3, 4, 5, 6)先后抛掷两次，用表示向上点数之和，则基本数值总数1二6,6女,事件“适可”包含的基本事件有：W 6),鱼区6) J区 4), 6 5),画I共6个，事件“ h三叫的概率卜总=，即答案为口点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用.6 .用分层抽样的方法从某校学生中抽取 1个容量为45的样本，其中高一年级抽 20人，高三年级抽10人.已知该校高

5、二年级共有学生300人，则该校学生总数为 .【答案】900【解析】试题分析：因为，抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽取20人，高三年级抽取10人，所以，高二抽取了 15人，又高二年级共有学生300人,所以，抽样比为因此，该校的高中学生的总人数为考点：本题主要考查分层抽样。45+=900.点评：简单题，关键是弄清抽样比=样本数+样本总数。7 .函数记函在点留垣处切线方程为kr-6 d 则血上泣j=.【答案】4【解析】分析：因为匚施在点国五(处的切线方程k + y .6 - 0，所以F") 1门 /】不 5：由此能求出.详解：因为 卜-自可在点h.Lm |处切线方程为k 4 y .

6、 6 飞,所以pH) .一口从而卜I) ND-一5 -1二即答案为4.点睛：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.8 .若的展开式中所有二项式系数和为64,则展开式中的常数项是 .【答案】240【解析】分析：利用二项式系数的性质求得n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项.令叵鱼三3,求得巴，可得展开式中的常数项是 卜”-1)7 = 240, 故答案为：240.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于 基础题.9 .根据如图所示的伪代码可知 ，输出的结果为 .i I ；5-0：I；

7、While M3 ;：；1jI 1千。;：End While ；;I；Prmt J i i【答案】72【解析】分析：模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的Q的值，可得当口 时不满足条件 回 退出循环，输出目的值为72详解：模拟程序的运行，可得J I. S 口|满足条件 区执行循环体，i 工5 仪满足条件 区I，执行循环体，I 5. S H ;满足条件区,执行循环体，I工S 45| ;满足条件 后,执行循环体， 匚3，比三五I；不满足条件回，退出循环，输出 目的值为72故答案为：72点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，当循环的次数不多或有规律时，常采用模拟执行程序的方法解决，属于基础题

8、.10 .若2 - X2)'=电十电x"1十十打，"十%k",贝十叫十"十 =.【答案】365【解析】分析：令 卜1|代入可知%十 |的值，令p-i|代入可求得% 2 %一鼻/可的值,然后将两式相加可求得 卜小匕卜小卜的值.详解： 卜卜,.2丁，三Xq ;"%中，令H二代入可知% ;力为町1 ” "令三口代入可得 卜口小十丹3十 七-j),除以相加除以 2可得鼠4与+叼I%一明.即答案为365.点睛：本题主要考查的是二项展开式各项系数和，充分利用赋值法是解题的关键.11 .已知CR设命题P目E K口工、inx* I >

9、；命题Q函数|,(x)= x'-a，- e T只有一个零点.则使“ Pv Q'为假命题的实数 用的取值范围为 .【答案】卜三m【解析】分析：通过讨论日，分别求出 国为真时的伺的范围，根据阻为假命题，则命题江 均为假命题，从而求出国的范围即可.详解：命题目中，当RF时,符合题意.当应氢时，i /,则b<m<W ,| 4 -in所以命题日为真，则匹国，命题 & 中， k 劝 - A，& + m - i，Yx) 3犬'6'由国Wj,得回或区j,此时函数单调递增，由阀x)<a，得b<”v，此时函数单调递减.即当m时,函数 画 取得

10、极大值，当时,函数 画取得极小值，要使函数辰mizzQ只有一个零点，则满足极大值小于0或极小值大于0,即极大值9) m二国,解得?< .极小值r二K二12 4 m二1 m二5河,解得加另.综上实数员的取值范围：青< l|或M >5 .西日为假命题,则命题 瓯I均为假命题.即|"：用句或卜三4 ,卜Q: 1三14三m 二 5|即答案为三m三5点睛：本题考查了复合命题的判断及其运算，属中档题12 .有编号分别为1, 2, 3, 4, 5的5个黑色小球和编号分别为 1, 2, 3, 4, 5的5个白色小球，若选取的4个小球中既有1号球又有白色小球，则有 种不同的选法.【答

11、案】136【解析】分析：分两种情况：取出的4个小球中有1个是1号白色小球；取出的 4个小球中没有1号白色小球.详解：由题，黑色小球和白色小球共10个，分两种情况：取出的 4个小球中有1个是1号白色小球的选法有 二;种；取出的4个小球中没有1号白色小球，则必有 1号黑色小球，则满足题意的选法有匡“虹"!种，则满足题意的选法共有 叵三五三回种.即答案为136.点睛：本题考查分步计数原理、分类计数原理的应用，注意要求取出的“4个小球中既有1号球又有白色小球”.13 .观察下列等式：(-7)琢 +(-2>3 =-0醒3 +502+42t52 =la + 22 + tf73 4-lf +

12、122 -8? +<P +13a14s+1 / +193 =15 2 +15' + 2O3 « 请你归纳出一般性结论.答案17kf4 4/41.715F二17仆7k +不 正工【解析】分析：根据题意，观察各式可得其规律，用口将规律表示出来即可. 史国，且日为正整数)详解：根据题意，观察各式可得：第式中， 口；式中，第式中，k .|；规律可表示为：7k4(7k/4)%(7k459(7k*l:(7k:2f4 17k + 6H h>即答案为6H .点睛：本题要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题.14 .乒乓球比赛，三局二胜制.任一局甲胜

13、的概率是 叵三亘,甲赢得比赛的概率是 其则值|的最大值为【答案】届【解析】分析：采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲净胜二局，前二局甲一胜一负，第三局甲胜，由此能求出甲胜概率；进而求得上工的最大值.洋解：采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：（甲净胜二局），（前二局甲一胜一负,第三局甲胜）,P Af = p2尸 A*X p X （1-p） X p = 2p2（l-p）,因为修 与国 互斥,所以甲胜概率为b = P（Aj =A0 =|十中个丁）|则GZE二壶五I设； 4 为工pj p "L3p" p.v = -6p2 + 6口-L即答案就注意到。< 口 &l

14、t; 1，则函数V = -2d3 + 3六网0,警网¥，1）单调递威，在上单调递增.故函数在p二处取得极大值.也是最大值，最大值为即答案为点睛：本题考查概率的求法和应用以及利用导数求函数最值的方法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用.二、解答题：本大题共 6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。15 .在平面直角坐标系 口中，以巨为极点，国两极轴建立极坐标系，曲线 目的极坐标方程是 卜 画,直线口的参数方程是 阵子丁川为参数）.求直线U被曲线目截得的弦长.【解析】分析：首先求得直角坐标方程，然后求得圆心到直线的

15、距离，最后利用弦长公式整理计算即可求得最终结果；详解：利用加减消元法消去参数得曲线 的直角坐标方程是 ,同时得到直线N的普通方程是k 2 一-a,圆心函到直线口的距离则弦长为7直线牌曲线日截得的弦长为卜*(导点睛：本题考查了圆的弦长公式，极坐标方程、参数方程与直角坐标方程互化等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题.16 .在棱长为m的正方体 瓯乏理亘可中，O是AC的中点，E是线段DO上一点，且DE=入EO(1)若入=1,求异面直线 DE与CD所成角的余弦值；(2)若平面 CD已平面CDO,求入的值.【解析】分析：以卜氏DC 而为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系匹同，写出

16、 各点的坐标，(1)求出异面直线 因 与直1的方向向量用数量积公式两线夹角的余弦值(或补角的余弦值)(2)求出两个平面的法向量，由于两个平面垂直，故它们的法向量的内积为0,由此方程求参数目的值即可.详解：(1)以fsriE而为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系口区位.J 1 X ,则 A(1, 0, 0),够。1, 函，1,。1，D(0，0，1)，.10分n ' 5d|= °，n 0.对工 勺-+-=o.取X2=2,得Z2=入，即 n=( 2, 0,入).12 分所以异面直线AE与CD所成角的余弦值为(2)设平面 CDQ的向量为 m=(X1, yb Z1),由 m国=0

17、, m- |Y|= 0取 X1= 1,得 y1 = Z1= 1,即 m=(1 , 1, 1).由DE=入EQ则E2(1 卜 A 2-+ 4 1+X又设平面CDE勺法向量为n=(x2, y2, Z2),由因为平面 CD曰平面CDF,所以mr n=0,得三.点睛：本题查了异面直线所成的角以及两个平面垂直的问题，本题采用向量法来研究线线, 面面的问题，这是空间向量的一个重要运用，大大降低了求解立体几何问题的难度.17 .已知1+2$ %町dil ,(1)一-L»二的值;媚 7' ' J4/L(2)RZ可且忆三可，求E1的值;(3)求证:+ -)2018>100(/【答

18、案】(1) S h(3)见解析,根据电 1可求：【解析】分析：(1)令k(-1)M-的值;-Im 可求日的彳t ；一 解得上i上Xi(3)利用二项展开式及放缩法即可证明如a2十十(-1P=0,又2r 点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题.18 .某抛掷骰子游戏中，规定游戏者可以有三次机会抛掷一颗骰子，若游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得。分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.游戏规则如下：抛掷 1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第 2次抛掷骰子向上的点数为 3的倍数则

19、记为成功，第 3次抛掷 骰子向上的点数为6则记为成功.用随机变量日表示该游戏者所得分数.(1)求该游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率；(2)求随机变量出的分布列和数学期望.(2)见解析【解析】分析：该游戏者抛掷骰子成功的概率分别为该游戏者有机会抛掷第3次骰子为事件 国.则汽- pg =困寸(1 , Pig寸PR ；(2)由题意可知，口的可能取值为 朴目、目、月、阿，分别求出 陵三回.底三虱，7)|, 卜汽 ,得到口的分布列及数学期望.详解:该游戏者抛掷骰子成功的概率分别为子为事件Q.则卜人)-0。7引4(1-pJp/PiPm,该游戏者有机会抛掷第3次骰答：该游戏者有机会抛掷第 3次骰子的概率为-

20、nl一 Bl(2)由题意可知，口的可能取值为。、目、目、月、网,过=0)=1叩。中"土卜2必5)诵3石,19.已知函数 卜2 /牛mC a m（i）若因在区间m人岗上是单调递增函数，求实数 周的取值范围 若 限）二皿4 rd在k "1|处有极值10,求C ： N的值；（3）若对任意的7一|,有三恒成立,求实数 利的取值范围(3) me - 1 , 1【解析】分析：（i）行尸人”区由画在区间tn三司上是单调递增函数得, 当k . 1|时,女。幼出“ 恒成立，由此可求实数 日的取值范围；卜&）-鱼,+ 2mx + r|,由题制，1不或谓.11判断当："； =

21、；时,l（x）0 施无极值，舍去，则 正同可求；（3）对任意的士有怪正鱼口恒成立,即扁在mn上最大值与最小值差的绝对值小于等于2.求出原函数的导函数，分类求出函数在匚山的最值，则答案可求； 详解:（i）厂二由施在区间亡词上是单调递增函数得,(2)=娉 Vmx由题g(D = O n gU) = IO丁二时,五画，国|无极值，舍去.所以(3)由对任意的Xi,X2) 1, 1,有 | f (Xi) f(X2)|W2 恒成立，得 fmax(X) f min(X)W2.且| f (1) -f (0)| <2, | f ( -1) -f(0)| W2,解得 1, 1,当m=0时，f7 (x)>0, f (x)在1, 1上单调递增, fmaX(X) fmin(X)= | f (1) -f(-1)| <2 成立.当me (0, 1时，令f / (X) V0,得XC ( 0),则f(X)在(一RI 0)上单调递减;同理f(X)在(一1, m), (0, 1)上单调递增，f ( - R)= R3+m, f (1)= m2+n+1,下面比较这两者的大小，3令 h(m)=f ( - r) -f (1)= m- m- 1, mE 0 , 1,2X ( r)= m1v0,则 h(m 在(0 , 1上为减函数，h( n) &l