直线的倾斜角与斜率题型归纳与练习

1、直线的倾斜角与斜率重点一、倾斜角定义当直线/与X轴相交时，取X轴作为基准，X轴正向与直线/向上方向之间所成的角 叫做直线,的倾斜角.规定当直线/与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0。.图示范围0°<a<180°作用(1)用倾斜角表示平而直角坐标系内一条直线的倾斜程度(2)确定平而直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可重点二、斜率(倾斜角为幻定义存90。一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率a=90。斜率不存在记法斜率&=tana范围R公式经过两点PGl，川)，尸2。2, *)(X#X2)的直线的斜率为

2、左=台普作用用实数反映了平而直角坐标系内的直线的倾斜程度重点三、两条直线平行对于两条不重合的直线小其斜率分别为木、心,有八/2=木=h. 归纳总结(1)当直线6直线，2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在.(2)直线八、/2的斜率分别为内、好,当一 =一时,一/2或一与一重合.(3)对于不重合的直线人、其倾斜角分别为B，有lh=a=S-重点四、两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于- 1;如果它们的斜率之积等于一 1， 那么它们互相垂直.归纳总结当直线八_L直线上时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值一 1,也可能一条直线的斜率不存 在，而另一条直

3、线的斜率为0：较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和.(1)平行：倾斜角相同，所过的点不同：(2)重合：倾斜角相同，所过的点相同：相交：倾斜角不同；(4)垂直：倾斜角相差90。.【典题精练】考点1、直线的倾斜角例1.下列命题正确的是().A.若直线的倾斜角为则此直线的斜率为tanaB.若直线的斜率为tana,则此直线的倾斜角为。C.若直线的倾斜角为。，贝iJsinaNOD.若直线的斜率为0,则此直线的倾斜角为0或江【解析】倾斜角为90。的直线，其斜率不存在，故A错误；若直线的斜率为tana,只有当。<0,乃)时， 其倾斜角才为a,故B错误：直线的斜率为0,其倾斜角为。而不是乃，故D错误

4、.故选C. 所以本题答案为C.考点点睛：1 .求直线的倾斜角(1)根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找出倾斜角，再通过解三角形或其它方法求之；(2)先求出直线的斜率k,再由k=tana,求倾斜角a.2 .倾斜角a与直线斜率值的关系：把倾斜角a分为以下四类讨论：a=0°, 0°<a<90°, a=90°, 90。<仁V180。.对应的斜率k的值依次为0,正值，不存在，负值.考点2、已知两点坐标求倾斜角和斜率例2.过两点的直线的倾斜角为()【解析】直线AB的斜率女=口6=叵=立,故直线AB的倾斜角。=30，故选A 4-13考点点睛：（1）对

5、求斜率的两个公式注意其应用的条件，必要时应分类讨论；（2）当直线绕定点由与x轴平行（或重合）位 置按逆时针方向旋转到与），轴平行（或重合）时，斜率由0逐渐增大到+8；按顺时针方向时，斜率由0逐渐 减小到一 8,这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围.考点3、两直线平行关系的判断与应用 例3.已知直线：x + ysin6 = 0与直线，2 ：2xsin6 + y + l =0,试求。的值，使/丁【解析】sin<9 = ±,故6 = ±（ +攵"（攵wZ）lxl-2sin，xsin8 = 0 v/j /7,lxl-2sin8

6、x0 00考点4、两条直线垂直关系的判断与应用例4.已知A（+2,/3）, 8（3-"一六2时，。（2 + 1,3-2）三点，若直线48的倾斜角为45。,且直线AC_LA3,求点4 8, C的坐标.w" 3 2/7?【解析】/=（/+2H3-，-/）3一2-1 =2 + 1 6解得? = 一1 （舍去），7 = -2,.点4（6,1）, 8（1,-4）.=一1,解得=g, .点2 w/ ° J考点点睛：两条直线垂直的判定条件：如果两条直线的斜率都存在且它们的积为一1,则两条直线一定垂直；两条直线中，如果一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率为0,那么这两条直线

7、也垂直.课后训练：1.若直线4：x 2y + l =。与直线/2：忒+丁一3 =。互相垂直，则实数加的值为（）A. -2B. -C. -D. 222【解析】因为直线6：x 2y + l = O与直线/2：忒+）3 = 0互相垂直,所以加一2 = 0,得m=2.故选：D.2.直线x+y +JJ = 0的倾斜角为（）、5万D 3乃乃n 不6434【答案】B【解析】由题得直线的斜率为-1,故其倾斜角为辿,故选B。 43 .经过点二（一2,加）、N（"?,4）的直线的斜率等于1,则川的值为A. 1B. 4C I 或 3D. 1 或44 - w【解析】kg =二L即4一优二苗+ 2；得优=1选

8、A一 优十24.若直线x + y + l=0与直线4x + ay - 2 = 0平行，则实数。的值为（）1 . 2B. 1C. 0D. -2【解析】因为直线，优+ 丁 + 1 = 0与直线4工+少一2 = 0平行，所以与,4 。 一2a2 = 4所以 C，解得。=2,故选：Aa工一25 .直线x + JJ-v 5 = 0的倾斜角为（）A. -30°B. 60°C. 120°D. 150°【解析】由题，因为x + a， 5 = 0,则>，=一正x + Mt'33设倾斜角为所以tana =-正，所以a = 150。.故选:D36 .点H（2；-

9、3）、8（3,2）若直线过点产QJ），且与线段AB相交，则直线I的斜率的取值上范 困是（）A. （-（x>,-4U + oo）B. （-oo,-iu + oo）C. -4,D. ,43_【解析】数形结合如上图所示.可得，kPA = kPB = -.要使直线I过点EQJ）,且与线段AB相交，由3T图象知，k之二或kM-4 .故选A.7.已知点以一1,36），则直线A3的倾斜角为（）A. 60B. 30C. 120D. 150【解析】因为直线A3的斜率为= 所以倾斜角为120：，选c.-1-18.已知点A（2,3）在直线L：2x + a厂1=0上，若12卜 则直线6的斜率为（ ）A. 2B.

10、 -2C. -D. -122【解析】点 A （2, 3）在直线 li： 2x+ay- 1=0 ±,，2x2+3a - 1 =0, 解得“=-1, I直线八：2r-y- 1=0,，直线/2的斜率k=2.故选：A.9 .直线卬+ay+6 = 0与12：（Q2）x+3y + 2a = 0平行,则q的值等于（）A. -1 或 3 B. 1 或 3 C. -3 D. -1选 D.10 .若三点A（3, 1）, B（2, b）,。（8, 11）在同一直线上，则实数力等于A. 2B. 3 C. 9 D. -9【解析】由二二二?得，b的值为-9,故选D.-2-3 8-SA. a<a2<a

11、311 .如图直线04, 4的倾斜角分别为， %，则有（）B. a<a3<a2 C. a3<a2<a D. a2<a<a3【解析】由图象可知小44的倾斜角依次增大，故生,故选b12.图中的直线44%的斜率分别是占是2，13,则有（）【解析】由图可知：K0,卜0,自0,且直线A的倾斜角大于直线的倾斜角，所以23心，综 上可知：k2k3k9故选D.13 .直线），="与直线y = 2x+l垂直，则等于.【解析】直线），=匕与直线y = 2x+i垂直，=一1,解得 =一!,故答案为：一?.2214 .若直线2%+机），-2m+4 = 0与直线氏+ 2丁一

12、? + 2 = 0平行，则实数m=.【解析】直线2x +，町，-2? + 4 = 0与直线a+ 2），一? + 2 = 0平行，则有2x2 = /.? = 2或? = 2,当"? = 2时，两直线重合，所以舍掉，m=2符合题意；故答案为-215 .直线xsina-y + 2 = 0的倾斜角的取值范围是.=7-，乃）.故答案为：。,【解析】设直线的倾斜角为夕（0夕乃），则tane = sina.-lsinaKl,.一lKtan6Wl,048巴.0«6«2或把8江,即0,44L 416 .已知点4（-2,-1）和点3（2,0）,过点尸（一1,3）点的直线/与线段A3相

13、交，则直线/斜率的取值范围f 3-(-1)3-0【解析】由题/= , / ；=4/=二=一1,如图所示,-1-(-2)-1-2所以 24或心1,故答案为:(7D,-1U4,”)17 .当机为何值时，过两点A(?-3,l), 3(九2)的直线:(1)与过两点(3,2), (0,-7)的直线垂直(2)与过两点(2,-3), (-4,9)的直线平行.7 21 2 + 1iti 11【解析】口 = 3,北产一葭即诉E = h = -5,解得：2 = 09 + 3/h -2 + 1m-1 八.工=2kAli = -2 ,即a解得：团18 .已知直线/平行于直线4工+ 3)，-7 =。，直线/与两坐标轴围

14、成的三角形的周长是15,求直线/的方程.447【解析】解法一：:直线/与直线4工+3)7 =。平行，用=一1.设直线/的方程为y =-工+ 3工1), 则直线/与x轴的交点为,()，与y轴的交点为8(0,勿.ab i=35 直线/与两坐标轴围成的三角形周长是5.於+加+7=0.如=5'.” = ±5.4 直线/的方程是y = 一7工±5,即4x + 3y±15 = 0.解法二: :直线/与直线4x + 3y - 7 = 0平行，设直线/的方程为4x+3y + C = 0(Cw-7),cc令行。得令得尸.不= HC， 直线/与X轴的交点为a1 三,。,与 &

15、gt;,轴的交点为40,C C 5;直线/与两坐标轴围成的三角形周长是15，J 一万十 一工+不一。=15.D1 乙，ICI=15,，C = ±15 .，直线/的方程是 4x + 3y±15 = 0.19.已知两条直线八：。%+2)-1=0, /2： 3工+3+1'+1=0.（1）若八/2,求实数的值；若,/2,求实数的值.【解析】（1）由题可知，直线/i： ax+2y-1 =0, h： 3x+3+l）y+1 =0.若八12,则三=二+F解得a=2或a=-3（舍去）综上，则a=2； 3a+11（2）由题意，若则3a+2（a+l）=0,解得a=g20.已知两直线4：

16、忒+ 8y + “ = 0和/?： 2x+/ny-l = 0.（1）若乙与，2交于点P（加，T），求加，的值；（2）若2,试确定加，需要满足的条件： （3）若试确定W，需要满足的条件.【答案】(1) 1/1 = 1 f 1 = 7 ； (2)团=4, 工 -2 或， =-4, n * -2 ； (3) ？ = 0, n w R .【解析】 将点尸（团,一1）代入两直线方程得：，一8 + “ =。和2"?-加1=0,解得加=1, = 7.(2)由“儿得:- =,2 m - 1m=4 (m = -4或4n *2 h 2所以当m=4 , " -2或m = -4 , =-2时，/J

17、/2.（3）当加=0时，直线/”），= 一。和/2： x = - 9 此时 82当m w 0时此时两直线的斜率之积等于4，显然4与/,不垂直,所以当m=0，"£/?时，直线乙与垂直.21.已知两直线6 ：ca + 2y + 6 =。和，2：工 +（。-1）' + /-1 =。（1）若4U，求实数。的值；（2）试判断乙与-是否平行。22【解析】（1）由已知条件得a4+ 2.g 1） = 0 =。=大，故所求实数。的值为（2）由4鸟一&q二。，得（一1）一以2 = 0,即一一2 = 0,解得。=一1 或a = 2.当” 二一1时，/1的方程为不一2）-6 =。，/2的方程为工一2丁 =。，显然两直线平行.当。=2时，乙的方程为x + y + 3 =。，的方程为x + y + 3 =。，显然两直线重合.所以，当n = T时，4公