沈阳备战中考数学易错题专题复习-直角三角形的边角关系练习题

1、沈阳备战中考数学易错题专题复习-直角三角形的边角关系练习题一、直角三角形的边角关系1.如图，从地面上的点 A看一山坡上的电线杆 PQ,测得杆顶端点 P的仰角是45。，向前 走6m到达B点，测得杆顶端点 P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.(1)求/ BPQ的度数；(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1m) .备用数据： 启1； ,【答案】(1) /BPQ=30；(2)该电线杆PQ的高度约为9m.【解析】试题分析：(1)延长PQ交直线AB于点E,根据直角三角形两锐角互余求得即可；(2)设PE=x米，在直角4APE和直角4BPE中，根据三角函数利用 x表示出AE和BE,

2、根 据AB=AE-BE即可列出方程求得 x的值，再在直角 4BQE中利用三角函数求得 QE的长，则 PQ的长度即可求解.试题解析：延长 PQ交直线AB于点E,ABE(1) / BPQ=90 -60 =30°(2)设 PE=x米.在直角 APE中，贝U AE=PE=W / PBE=60 °BE西pe植x米,/ BPE=30 °在直角4BPE中，,.AB=AE-BE=6 米，则 x-ix=6,解得：x=9+3则 BE=(3Q+3)米.在直角 4BEQ中，QE=BeX! (3/3+3) = (3+73 )米. 33,PQ=PE-QE=9+3/3 - (3+73) =6+

3、2 Q =9(米).答：电线杆PQ的高度约9米.考点：解直角三角形的应用 -仰角俯角问题.2.在等腰4ABC中，/B=90°, AM是ABC的角平分线，过点 M作MNLAC于点N,/ EMF=135 :将/ EMF绕点M旋转，使/ EMF的两边交直线 AB于点F,请解答下列问题：(1)当/EMF绕点M旋转到如图 的位置时，求证： BE+CF=BM(2)当/EMF绕点M旋转到如图 ，图 的位置时，请分别写出线段 的数量关系，不需要证明；(3)在(1)和(2)的条件下，tan/ BEM=/, AN=、；2+1 ,贝U BM=E,交直线AC于点BE, CF, BM 之间，CF=3 EC图5

4、A EE 3MC图【答案】(1)证明见解析(2)见解析(3) 1, 1+)厂或1-*【解析】【分析】(1)由等腰 ABC中，/B=90°, AM是 ABC的角平分线，过点 M作MNXAC于点N,可得BM=MN , / BMN=135 ,又/EMF=135°,可证明的 BME0NMF,可得 BE=NF NC=NM=BM进而得出结论；(2)如图 时，同(1)可证BMENMF,可得BE- CF=BM, 如图时，同(1)可证BMENMF,可得CF- BE=BM；(3)在 RtAABM 和 RtA ANM 中,Bf=NIAH二AH'可得 RtAABM RtA ANM,后分别求

5、出 AB、AC CN、BM、BE的长，结合(1) (2)的 结论对图进行讨论可得CF的长.【详解】(1)证明：. ABC是等腰直角三角形，Z BAC=Z C=45 ;. AM是/BAC的平分线，MN LAC,.BM=MN ,在四边形 ABMN 中，/, BMN=360 - 90 - 90 -45 =135°, / ENF=135, °,/ BME=/NMF, .BMEANMF,.BE=NF,. MN LAC, /C=45；/ CMN=Z C=45 ,° .NC=NM=BM, ,.CN=CF+NF .BE+CF=BM;(2)针对图2,同(1)的方法得， BMENMF

6、, .BE=NF, . MN ±AC, /C=45；/ CMN=Z C=45J°, .NC=NM=BM, NC=NF- CF, .BE-CF=BM;针对图3,同(1)的方法得， BMENMF,.BE=NF, . MN ±AC, /C=45；/ CMN=Z C=45 ,° .NC=NM=BM, ,. NC=CF- NF, .CF- BE=BM;,、_、 -人 fBM三NM(3)在 RtAABM 和 RtAANM 中，, RtA ABM RtAANM (HL.), .AB=AN=/2+1,在 RtA ABC 中,AC=AB=呵+1, .AC= AB=2+,.

7、CN=AC- AN=2+/2 - (V2+1) =1, 在 RtCMN 中，cm=/2CnV2,.BM=BC- CM= +1 -=1,在 RtBME 中，tanZ BEM=*'3，由（1）知，如图1, BE+CF=BM.CF=BM- BE=1 -由（2）知，如图 ，此种情况不成立； 由（2）知，如图32,由 tan/ BEM=。,3, CF BE=BM, .CF=BM+BE=1回,故答案为1, 1+返:3【点睛】本题考查三角函数与旋转与三角形全等的综合，难度较大，需综合运用所学知识求解3.已知RtABC中，/ACB=90°,点D、E分别在BC、AC边上，连结 BE、AD交于点

8、P, 设AC=kBD, CD=kAE k为常数，试探究 /APE的度数：（1）如图1,若k=1,则/ APE的度数为;（2）如图2,若k=J3,试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出/APE的度数.（3）如图3,若k=J3,且D、E分别在CR CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由.由见解析.【解析】分析：（1）先判断出四边形 ADBF是平行四边形，得出 BD=AF, BF=AD,进而判断出 FAEAACD,得出EF=AD=BF再判断出/ EFB=90 ；即可得出结论；（2）先判断出四边形 ADBF是平行四边形，得出 BD=AF, BF=AD,进而判断出 F

9、AEAACD,再判断出/EFB=90；即可得出结论；（3）先判断出四边形 ADBF是平行四边形，得出 BD=AF, BF=AD,进而判断出 ACDHEA,再判断出/ EFB=90；即可得出结论；详解：（1）如图1,过点A作AF/ CB,过点B作BF/ AD相交于F,连接EF,图1，/FBE=/ APE, /FACW C=90 ；四边形ADBF是平行四边形， BD=AF, BF=AD.1 . AC=BD, CD=AE2 .AF=AC.3 / FAC土 C=90 ；4 .FAEAACD,EF=AD=BF / FEA=Z ADC.5 / ADC+/ CAD=90 ；6 / FEA+Z CAD=90

10、= Z EHD.1. AD/ BF,/ EFB=90 . °,.EF=BF/ FBE=45,°/ APE=45 .°(2) (1)中结论不成立，理由如下：如图2,过点A作AF/ CB,过点B作BF/ AD相交于F,连接EF,，/FBE=/ APE, /FAC4 C=90 四边形 ADBF是平行四边形, BD=AF, BF=AD.,. AC=、，3BD, CD=、.3AE,.殷 CD 3BD AE BD=AF,AC CD 3 .AF AE / FACC=90 , .FAEAACD,AC AD BF J3 , / FEA之ADC.AF EF EF / ADC+Z CA

11、D=90 ,° / FEA+/ CAD=90 = Z EMD.1. AD/ BF, / EFB=90.在 RtEFB 中，tan Z FBE=1FBF/ FBE=30,°/ APE=30 ,°-1,33,作 EH/ CD, DH/BE, EH, DH 相交于 H,连接 AH,(3) (2)中结论成立，如图/ APE=Z ADH, / HEC=Z C=90 :四边形 EBDH是平行四边形,1 .BE=DH, EH=BD2 . AC= ,3 BD, CD=§AE,AC CD ,3BD AE3 / HEA=Z C=90 ；4 .ACDAHEAsAD AC 33

12、 , / ADC=Z HAEAH EH5 / CAD+Z ADC=90 ,°6 / HAE+Z CAD=90 ；h / HAD=90 :AH在 RtDAH 中，tan/ADH= 。3 AD '/ ADH=30 ；/ APE=30 ,°点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质.4.已知：如图，在 RtA ABC中，/ACB=90°,点M是斜边AB的中点，MD/ BC,且MD=CM, DEL AB 于点 E,连结 AD、CD.(1)求证：MEDsBCA；(

13、2)求证：AMDCMD;(3)17cos/ ABC 的设AMDE的面积为Si,四边形BCMD的面积为a,当S2=S时，求5【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） cosZABC=-.7【解析】【分析】（1）易证 /DME=/CBA /ACB=/ MED=90 ,从而可证明 MEDs BCA;（2）由Z ACB=90，点M是斜边AB的中点，可知 MB=MC=AM ,从而可证明ZAMD=ZCMD,从而可利用全等三角形的判定证明AMD0CMD;一SMD 21(3)易证 MD=2AB,由(1)可知：MEDsBCA,所以 二 一，所以SvacbAB 4c 12c - S1MESa mcb=

14、_ Sa acb=2Si ,从而可求出 Sa ebc=S2 - & mcb-S = -S,由于,从而可25SvebdEB知 ME 5 ,设 ME=5x, EB=2x,从而可求出 AB=14x, BC=7 ,最后根据锐角三角函数的 EB 22定义即可求出答案.【详解】(1) .MD/BC,/ DME=Z CBA / ACB=Z MED=90 ;.MEDsBCA;(2) / ACB=90，点M是斜边 AB的中点，MB=MC=AM ,/ MCB=Z MBC, / DMB=Z MBC,/ MCB=Z DMB=Z MBC, / AMD=180 - / DMB,/ CMD=180 - / MCB-

15、 / MBC+Z DMB=180 - / MBC,/ AMD=Z CMD,AMD 与 ACMD 中,MD MDAMD CMD ,AM CM .AMDACMD (SAS ； (3) MD=CM, .AM=MC=MD=MB , .MD=2AB,由(1)可知： MEDsBCA,2GSVACBMD1AB4Sa ace=4Si ,.CM是AACB的中线,1 .Sa mcb= Saacb=2S ,22 c.Sa ebd=& - Sa mcb Si= Si ,5§ MESvebdEBSiMEEB，ME 5EB 2设 ME=5x, EB=2x, .MB=7x, .AB=2MB=14x,MDM

16、E1, ABBC 2.BC=10x,BC 10x5cos/ ABC= - -AB 14x 7【点睛】 本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与 判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键5 .问题背景：如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C,使AC与BC的距离之和最 小，我们可以作出点 B关于l的对称点B'连接A B与直线l交于点C,则点C即为所求.（1）实践运用:如图（b）,已知，。的直径CD为4,点A在。O上，/ACD=30, B为

17、弧AD的中点，P为 直径CD上一动点，则 BP+AP的最小值为 .（2）知识拓展：如图（c）,在RtABC中，AB=10, /BAC=45, / BAC的平分线交BC于点D, E、F分别是 线段AD和AB上的动点，求 BE+EF的最小值，并写出解答过程.【答案】解：（1） 272 .（2）如图，在斜边 AC上截取AB' =AB连接BB'. AD平分/ BAC 点B与点B关于直线AD对称.过点B作B' MAB,垂足为F,交AD于E,连接BE.则线段B'的长即为所求（点到直线的距离最短）.在 RtA AFB/中，Z BAC=4更 aB ="AB="

18、; 10 ,- - - 1.BE+EF的最/、值为5近【解析】试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出/C' AE再根据勾股定理求出 AE,即可得出PA+PB的最/J、值：如图作点B关于CD的对称点E,连接AE交CD于点巳此时PA+PB最小，且等于 A.作直 径AC,连接C' F根据垂径定理得弧 BD=M DE.仃、/ / ACD=30 ,°/ AOD=60 ； / DOE=30 ：/ AOE=90 ,°/ C AE=45 °又AC为圆的直径，.1. / AEC =

19、90°./C'AC，AE=4 5，C' E=AE=AC'2T2.AP+BP的最/、值是 272(2)首先在斜边 AC上截取AB' =AB连接BB',再过点B作B' 1AB,垂足为F,交AD于 E,连接BE,则线段B'的长即为所求.6.如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD,其中Z BAC=45°, /ACD=30°,点E为CD边上的中点，连接 AE,将4ADE沿AE所在直线翻折得到 AD耳D'咬AC于F 点.若 AB=6V?cm.(1) AE的长为 cm；(2)试在线段AC上确定一点 巳

20、使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值； (3)求点D'到BC的距离.C【答案】(1) 47；(2) 12cm； (3) 3vzi/cm.【解析】 试题分析：(1)首先利用勾股定理得出 AC的长，进而求出 CD的长，利用直角三角形斜 边上的中线等于斜边的一半进而得出答案： / BAC=45 ,° / B=90 ； AB=BC=6 cm,，AC=12cm.AC 12 Z ACD=30 ,° Z DAC=90 ,° AC=12cm,(cm). 点E为CD边上的中点，AE=DC= cm.(2)首先得出AADE为等边三角形，进而求出点E, D'关于直线A

21、C对称，连接DD交AC于点P,根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案.(3)连接 CD, BD,过点D'作D'吐BC于点G,进而得出 ABDCBD ( SSS ,则/D' BG=45D' G=GBS而利用勾股定理求出点 D到BC边的距离.试题解析：解：(1) 4,3.(2) .RtADC 中，/ACD=30,/ ADC=60 ,E为CD边上的中点，DE=AE4ADE为等边三角形. WAADE沿AE所在直线翻折得 AAD' ,E，AAD'的等边三角形，/AED' =60 / EAC=Z DAC- / EAD=30 ； ：.

22、/ EFA=90, °即 AC所在的直线垂直平分线段 ED： .点E, D'关于直线AC对称.如答图1,连接DD交AC于点P, 此日DP+E唯为最小，且 DP+EP=DD. ADE是等边三角形， AD=AE=y3,12cm. AC垂直平分线 ED； .AE=AD,' CE=CD,' .AE=EC .AD' =cD 七三.在 4ABD 和 CBD 中，,AB = BCU/y = CDr,AABDACBD(SSS , ./D' BG =D' BC=45 . . D' G=GB设D G长为xcm,则CG长为6V7"xcm,在

23、RtAGtD C中，由勾股定理得(6-x)2 = (4) 解得：恒=%2-、而，m=3«2"2 (不合题意舍去). 点D'到BC边的距离为 ".速cm.答图2考点：1 .翻折和单动点问题；2.勾股定理；3.直角三角形斜边上的中线性质；4.等边三角形三角形的判定和性质；5.轴对称的应用(最短线路问题)；6.全等三角形的判定和性质；7.方程思想的应用.7.许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等 水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打 造生态宜居城市的重要部分.某校课外兴趣小组想测量位

24、于芙蓉湖两端的A, B两点之间的距离他沿着与直线 AB平行的道路EF行走，走到点C处，测得/ACF=45,再向前走300 米到点D处，测得/BDF=60.若直线AB与EF之间的距离为200米，求A, B两点之间的 距离(结果保留一位小数)E C D F【答案】215.6米.【解析】【分析】过A点做EF的垂线，交EF于M点，过B点做EF的垂线，交EF于N点，根据RtACM和三角函数tan BDF求出CM、DN,然后根据 MN MD DN AB即 可求出A、B两点间的距离.【详解】解：过A点做EF的垂线，交EF于M点，过B点做EF的垂线，交EF于N点.AM=CM=200 米，又. 3=300米，所

25、以 MD CD CM 100米，在 RtBDN 中，/BDF=60, BN=200 米BN业DN o 115.6 米，tan 60 MN MD DN AB 215.6 米即A, B两点之间的距离约为 215.6米.【点睛】本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键8.在平面直角坐标系中，四边形 OABC是矩形，点O 0,0，点A 3,0，点C 0,4 ,连接OB,以点A为中心，顺时针旋转矩形 AOCB,旋转角为 0360 ,得到矩形ADEF，点O,C, B的对应点分别为D,E,F.(I)如图，当点D落在对角线OB上时，求点D的坐标；(n )在(I )的情况下，AB与DE交于点H .求证 B

26、DE DBA ；求点H的坐标.（出）为何值时，FB FA.（直接写出结果即可）.O点H的坐标为（3,25万）；_ 54 72【答案】（I *D的坐标为（，一）；（n）证明见解析;25 25（出）60 或 300 .【解析】【分析】（I ）过A、D分别作AM OB,DN OA ,根据点A、点C的坐标可得出OA、OC的 长，根据矩形的性质可得 AB、OB的长，在RtA OAM中，利用/ BOA的余弦求出OM的长，由旋转的性质可得 OA=AD,利用等腰三角形的性质可得OD=2OM,在RtODN中，利用/ BOA的正弦和余弦可求出 DN和ON的长，即可得答案；（n ）由等腰三角形性质可得/DOA=/

27、ODA,根据锐角互余白关系可得ABD BDE ,利用SAS即可证明 DBA0 BDE; 根据 DBA BDE可得 / BEH=Z DAH, BE=AD,即可证明 BHEADHA,可得DH=BH,设AH=x,在RtADH中，利用勾股定理求出 x的值即可得答案；（出）如图，过F作FOLAB,由性质性质可得 Z BAF=,分别讨论0< w 180寸和 180 < <360 °时两种情况，根据 FB=FA可彳导OA=OB,利用勾股定理求出 FO的长，由余弦 的定义即可求出/ BAF的度数.【详解】(I).点 A 3,0，点 C 0,4 ,OA 3,OC 4. 四边形OABC

28、是矩形， .AB=OC=4,;矩形DAFE是由矩形AOBC旋转得到的AD AO 3.在 Rt OAB 中，ob Joa2 AB2 5，过A D分别作AM OB,DN OA在 Rt AOAM 中，cos BOA OM OAOA OB OM,. AD=OA, AM ±OB,-18 . OD 2OM在 RtAODN 中：sin BOADN 4ON 3 , cos/ BOA=-j-=5425(n )矩形dafe是由矩形AOBC旋转得至U的, OA AD 3, ADE 90 ,DE AB 4.OD AD .DOA ODA.又 DOA OBA 90 , BDH ADO 90ABD BDE .又.

29、BD BD ,相DE ADBA .由 ABDE ADBA ,得 BEH DAH , BE AD 3 ,又 BHE DHA ,出HE ADHA . .DH=BH,设 AH x ,则 DH BH 4 x ,在 RtAADH 中，AH2 AD2 DH2，O225即 x 34 x ，得 x ,8AH258.点H的坐标为（出）如图，过 F作FO>±AB, 当 0< oc< 18叫， 点B与点F是对应点，A为旋转中心， /BAF为旋转角，即 /BAF=a, AB=AF=4, FA=FB FOX AB, .OA=1 AB=2, 2OA 1cos/ BAF=,AF 2 . / BA

30、F=60 , ° 即 a=60 °, 当 180° < a<360 的， 同理解得：/BAF =6Q° ，旋转角。=360 -60 =300 °.综上所述：a 60或300 .【点睛】本题考查矩形的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，正确找出对应边与旋转角并熟记特殊角的三角函数值是解题关键9.如图，在正方形 ABCD中，E是边AB上的一动点，点 F在边BC的延长线上，且CF AE ,连接 DE, DF, EE FH 平分 EFB 交 BD于点 H.(1)求证：DE DF ;(2)求证：DH DF :(3

31、)过点H作HM ± EF于点M,用等式表示线段 AB, HM与EF之间的数量关系，并【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） EF 2AB 2HM ,证明详见解析【解析】【分析】(1)根据正方形性质，CF AE得到DE DF .(2)由 AAED 04CFD ,得 DE DF .由 ABC 90, BD 平分 ABC, 得 DBF45 .因为FH平分 EFB,所以EFHBFH.由于DHFDBF BFH 45 BFH ,DFHDFE EFH45 EFH ,所以DH DF .(3)过点H作HN BC于点N ,由正方形ABCD性质，得BD Jab2 ad2 72AB.由 FH 平分

32、EFB, hm EF, HN BC ,得HM HN .因为 HBN 45 , HNB 90 ,所以 BH HNV2HN 72HM .sin 45由EFDFcos45V2DF V2DH ,得 EF 2AB 2HM（1）证明：.四边形ABCD是正方形,AD CD , EAD BCD ADC 90 .EAD FCD 90 . CF AE。AAEDACFD .ADE CDF .EDF EDC CDF EDC ADE ADC 90 DE DF .(2)证明： AAED ACFD ,DE DF . EDF 90 , DEF DFE 45 . ABC 90 , BD 平分 ABC, DBF 45 .FH 平

33、分 EFB , EFH BFH .DHF DBF BFH 45 BFH ,DFH DFE EFH 45 EFH , DHF DFH .DH DF .(3) EF 2AB 2HM .证明：过点H作HN BC于点N ,如图，.正方形 ABCD 中，AB AD, BAD 90 , BD AB2 AD2、2AB. FH 平分 EFB, HM EF, HNBC, HM HN .HBN 45 , HNB 90 ,BHDHHNsin 452HN 2HMBD BH .2aB 2HM. EFDFcos45V2df T2dh , EF 2AB 2HM【点睛】 本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函

34、数，题目难度较大，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数10.如图所示的是一个地球仪及它的平面图，在平面图中，点A、B分别为地球仪的南、北极点，直线 AB与放置地球仪的平面交于点 D,所夹的角度约为 67°,半径OC所在的直线与放置它的平面垂直，垂足为点E, DE=15cm , AD=14cm.(1)求半径 OA的长(结果精确到 0.1cm,参考数据：sin67° =0.92cos67° =0.39 tan67 ° 2.36(2)求扇形BOC的面积(兀取3.14,结果精确到1cm)【答案】(1)半径OA的长约为24.5cm

35、; (2)扇形BOC的面积约为822cm2 .【解析】【分析】在RtODE中，DE=15, /ODE=67,根据/ODE的余弦值，即可求得 OD长，减去 AD 即为OA.(2)用扇形面积公式即可求得【详解】在 RtODE 中，DE 15cm, ODE 67. cos ODEDEDO '150.39 OA OD AD 38.46 14 24.5 cm ,答：半径OA的长约为24.5cm .(2) ODE 67 , BOC 157 ,-S扇形BOC360157 3.14 24.522360822 cm2答：扇形BOC的面积约为822cm2 .【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，本题把

36、实际问题转化成数学问题，利用三角函数中 余弦定义来解题是解题关键.11 .已知AB是。的直径，弦 CD± AB于H,过CD延长线上一点 E作。的切线交 AB的 延长线于F,切点为G,连接AG交CD于K.(1)如图1,求证：K已GE;1(2)如图 2,连接 CABG 若/FGB=/ACH,求证：CA/ FE;2. 3(3)如图3,在(2)的条件下，连接 CG交AB于点N,若sinE= - , AK= 屈，求CN的长.【答案】(1)证明见解析；(2) AEAD是等腰三角形.证明见解析；(3) 20 .10.13【解析】试题分析：(1)连接 OG,则由已知易得 /OGE=/ AHK=90

37、,由OG=OA可得/ AGO=/ OAG,从而可得/ KGE4 AKH=Z EKG,这样即可得至ij KE=GE(2)设/FGB形，由AB是直径可得 /AGB=90,从而可得 Z KGE=90- a,结合 GE=KE可得1 ,ZEKG=90- a,这样在 4GKE中可得/ E=2 a由/ FGB=-/ ACH可得/ ACH=2 a这样可得2/E=/ACH,由此即可得到 CA/ EF；(3)如下图2,作NP, AC于P, AH 3由(2)可知 /ACH=/ E,由此可得 sinE=sinZ ACH= 一，设 AH=3a,可得 AC=5a,AC 5一 一 CH 4CH=4a,贝U tan Z CA

38、H= 一，由(2)中结论易得 / CAK之 EGK士 EKG=Z AKC,从而可AH 3AH得 CK=AC=5a 由此可得 HK=a, tan / AKH= 3, AK=J10 a,结合 AK=Ji0 可得 a=1,HK贝U AC=5;在四边形 BGKH中，由 /BHK=/ BKG=90 ,可得 ZABG+Z HKG=180,结合 ZAKH+Z GKG=180 ； / ACG=Z ABG 可得 / ACG=Z AKH,在 RtAPN 中，由 tan Z CAH=4 EN 可设 PN=12b, AP=9b,由3 APtan/ACG=里 tan/AKH=3可得 CP=4b,由此可得 AC=AP+C

39、P13b =5,贝U可得 b=,由 CP13此即可在RtA CPN中由勾股定理解出 CN的长.试题解析：(1)如图1,连接OG.031 EF切。于 G, OGXEF, / AGO+/ AGE=90 ；,. CDLAB于 H,/ AHD=90 ；/ OAG=Z AKH=90 ；1 .OA=OG,/ AGO=Z OAG,/ AGE=/AKH,3 / EKG4 AKH,4 / EKG4 AGE,KE=GE(2)设/FGB形，, AB是直径，/ AGB=90 ,°/ AGE = Z EKG=90 - %/ E=180 - / AGE- / EKG=2 pc 15 / FGB=- ZACH,2

40、/ ACH=2 3/ ACH=Z E,6 .CA/ FE.(3)作 NF)±AC于 P.7 / ACH=Z E,AH 3 、一1. sin Z E=sinZ ACH= 一，设 AH=3a, AC=5a,AC 5 CH 4贝U CH=J AC CH 4a，tan z CAH=T7T -， AH 31. CA/ FE,/ CAK=Z AGE, / AGE=/AKH,/ CAK=Z AKH,.AC=CK=5a HK=CK- CH=4a, tan Z AKH=AH- =3, AK=7AH2HK2 710a，HK-AK=>J1o, ,10a.10 ,a=1. AC=5, / BHD=Z AGB=90 ； / BHD+/ AGB=180 ,°在四边形 BGKH 中,/ BHD+Z HKG+Z AGB+Z ABG=360 , / ABG+Z HKG=180 ； / AKH+Z HKG=180 ,°/ AKH=Z ABG, / ACN=Z ABG,/ AKH=Z ACNI,