圆中的分类讨论

1、精选优质文档-倾情为你奉上圆中的分类讨论湖北省黄石市下陆中学宋毓彬由于圆中的点、线在圆中的位置分布可能有多种情况，经常会导致其答案的不唯一性。如：点与圆的位置关系，点可能在圆内，也可能在圆外；两条弦的位置关系，可能在某一条直径的同侧，也可能在直径的异侧；圆与圆相切，可能外切，也可能内切，等等。因此，求解圆的有关问题时，要注意分类讨论思想。 一、点与圆的位置关系不唯一性 例1.若所在O所在平面内一点P到O上的点的最大距离为a，最小距离为b（ab），则此圆的半径为（   ）。 （A）   （B） &

2、#160;（C）或    （D）a+b或ab 分析：P可能在圆内，也可能在圆外。              图11                      图12  &

3、#160;P在圆内时。如图11。 连接O、P所在的直线交O于A、B。 则PA=a，PB=b  直径AB=PA+PB=a+b，半径OA=OB=AB=（a+b） P在圆外时。如图12。 此时直径AB=PAPB=ab，半径OA=OB=AB=（ab） 由可知，应选（C）。 二、弦与弦的位置关系不唯一性 例2.O的半径为5cm，弦ABCD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD之间的距离是（   ）。 （A）7cm    （B）8cm

4、   （C）7cm或1cm     （D1cm 分析：弦AB与CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。               图21                  &#

5、160;      图22 弦AB与CD在圆心的同侧。如图21。 过O作弦AB的垂线，交AB于M，交CD于N。连接OB，OD。 ABCD，OMAB，ONCD 由垂径定理，BM=AB=3cm，DN=CD=4cm，又OB=OD=5cm 在RtBMO中，OM=4cm，同理ON=3cm MN= OMON=43=1 cm 弦AB与CD在圆心的异侧。如图22。 此时，MN=OM+ON=4+3=7cm      

6、;  故选（C）。 例3如图，已知AB是O的直径，AC是O的弦，AB=2，AC=，在图中画出弦AD，使AD等于1，并求出CAD的度数。 分析：弦AC与弦AD可能在直径AB的同侧，可能在直径AB的异侧。  弦AC与弦AD在直径AB的同侧。如图31。 连OC、OD。由OC=OD=AB=1，AC= OC+OD=AC AOC=90°，CAO=ACO=45° 又OA=OD=AD，DAO=60° DAC=DAOCAO=15° 弦AC与弦AD在直径A

7、B的异侧。 此时，DAC=DAO+CAO=115° 三、点在直径上的位置不唯一性 例4已知O的直径AB=10cm，弦CDAB于点于点M。若OM：OA=3：5，则弦AC的长为多少？ 分析：垂足M可能在半径OA上，也可能在半径OB上。  M在半径OA上。如图41。 连接OC。OC=OA=AB=5cm，  又OM：OA=3：5，OM=3cm AB是直径，弦CDAB     在RtOMC中，  MC=4cm 又AM=OAOM

8、=2cm 在RtAMC中，AC=2（cm） M在半径OB上。如图42. 此时，AM=OA+OM=8cm AC=4（cm） 四、弦所对圆周角的不唯一性 例5圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（   ）。 30°或60°（B）60°（C）150°（D）30°或150°（A）       （B）     &#

9、160;分析：弦（不是直径）所对的弧有两条，一条优弧，一条劣弧， 因此，一条弦所对的圆周角也有两个，并且这两个圆周角互补。 如图5。劣弧所对的角为ACB，优弧所对的角为ADB。  由AB=0A=OB，AOB=60° ACB=AOB=30° ADB=（360°AOB）=（360°60°）=150°   故选（D） 五、圆与圆的位置关系不唯一性 例6如果两圆相切，两圆的圆心距为8cm，圆A的半径为3cm，则圆B的半径是（ 

10、;  ）。 5cm （B）11cm （C）3cm （D）11cm或5cm（A）       （B）      分析：圆与圆相切，可能是内切，也可能是外切。              两圆外切。如图61。AB=8+3=11cm 两圆内切。如图62。AB=83=5cm    故选（D） 六、相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一性 例7已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长6cm，则这两个圆的圆心距为           。 分析：两圆圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧。    圆心在公共弦的异侧。如图71。 连接OA，OA。由圆的对称性，O O垂直平分公共弦AB。 AD