平面向量基本定理专题(无答案)

1、平面向量基本定理专题平面向量的基本定理：如果e1 ， e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1，2，使a 1 e12 e2注意： 其中不共线向量e1 ， e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 同一平面内可以做基底的向量有无数组，只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底。不同基底对应向量 a的表示式不相同。 特别地，若a =0 ，则有且只有1 = 2题型一、平面向量基本概念的判断例1、判断(正确的打“，”，错误的打“x”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底 ()(2)若ei, 62是同一平面内两个不共线向

2、量，则为8+加2(入，入2为实数)可以表示该平面内所有向量()(3)若 aei + be2 = cei + de2(a, b, c, dCR),则 a = c, b = d.()例2、如图所示，ei, e2是两个不共线的向量，试用ei, e2表示向量AB, CD, EF, GH, HG, a.例3、如果ei, &是平面a内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是Qi+e2（人 代R）可以表小平面a内的所有向量；对于平面a内任一向量a,使a= Qi+毕的实数对（A曲有无穷多个；若向量 为ei+世e2与22ei+区e2共线，则有且只有一个实数 A,使得大ei+以e2=l2e1-区e2）；

3、若存在实数 A仙使得 冷+因2 = 0,则 壮产0.例4、设ei、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：ei与ei + e2；ei2e2与e22e1；ei 2金与4e22e1；e1 + e2与ei一金.其中能作为平面内 所有向量的一组基底的序号是 .（写出所有满足条件的序号）例5、设ei, e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中, 不能作为基底的是（）A . ei + e2 和 ei e2B. 3e 4金和 6ei 82C. ei + 2e2和 2e1 + e2D. ei 和 ei + e题型二 用基底表示向量将两个不共线的向量作为基底表示其他向量， 基本方法有两种：一种 是运用

4、向量的线性运算法则对待求向量不断转化， 直到用基底表示为 止，另一种是通过列向量方程或方程组的形式， 利用基底表示向量的 唯一性求解例1如图所示，已知？ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中 点，若AB=a, Ah = b,试以a、b为基底表示DE、bF.例2 (1)如图，已知 ABC中，D为BC的中点，E, F为BC的三等分点,若AB= a, AC=b,用 a、b 表示AD、AE、Af.(2)如图2 33,设点P, Q是线段AB的三等分点，若OA=a, OB=b,则 OP=, OQ =.用 a, b 表木）. .一 ., uuu r uur r 一 r例3.如图，平行四边形ABCD的对角

5、线交于点M ,若AB a, AD b,用a、r-皿加/ b表小MD为(C.ia ibD.b 2例4.uuuruuur iuur1 uuu 2 uurA.3 AB 3 AC1 uuu 2 uur CAB -AC332 uuu 1 uuur B. AB AC3 32 uuu 1 uuur D.-AB AC3 3例5.如图所示，平行四边形ABCD中，点E、F分别为BC、DC边上的中点,uuuDE与BF交于点G ,若ABr uuur r a, AD b ,r r 上一目 uuuruuur试用a、b表小向重DE、BF .设 ABC中BC边上的中线为 AD，点。满足ao 2OD，则OC1 _、,例6.如图

6、，已知 ABC中，D为BC的中点，AE 2 EC , AD, BE交于点F ,h uuur r uuur r设 AC a, AD b .（i）用a,b分别表示向量ab,uuuEB ；(2)umr 若AFULUTtAD ,求实数t的值.一 ,v v ,例7.已知苫，f为两个不共线的向量，若四边形 ABCD满足uuuv v v uuuv v uuu v vAB e 2f,BC4e f , CD5e 3fuuu v v 上一（1）将AD用e, f表小；（2）证明四边形ABCD为梯形.例8.在等腰梯形ABCD中，已知ABDC , AB 4 , BC 2,ABC 60o,动点E和F分别在线段BC和DC上

7、（含端点），且BEuuir uuuruuu 厂mBC , DF nDC 且(m、旺,物、几 uuur r uur rn为常数），设AB a , BC b.uur uuur ,(H )右m n 1,求AE AF的取小值.题型三、向量的夹角(确定两个向量夹角时要注意先使向量的始点相同)1.夹角：已知两个非零向量 a和b,作OA=a, OB=b,则/ AOB= 8叫做向量a 与 b 的夹角(1)范围：向量a与b的夹角的范围是0° < 80180°当8= 0°时，a与b同向；当 仁180°时，a与b反向.2垂直：如果a 与 b 的夹角是90 度，我们说a与

8、b垂直，记a±b.例1、如图23 2,在4ABC中，AC, AB的夹角与CA, AB的夹角的关系为例2、已知OA=2a, OB=2b, OC=-a+3b,求向量BA与吃的夹角.例3 已知同=|b|= 2,且a与b的夹角为60°,设a+ b与a的夹角为a, a-b与a的夹角是就求a+ 6方法总结：求两个向量夹角的方法求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角题型四、平面向量基本定理的唯一性以及应用1. 平面向量基本定理唯一性应用设 a， b 是同一平面内的两个不共线向量，若x1ay1bx2ay2b

9、 ， 则x1x2,y1y22. 重要结论 设 e1 ,e2 是平面内的一组基底当 1 el2 e2=0时，恒有若a i ei 2 e2 , 当2 0时,a与ei共线当10时，2与32共线i 20时，a 0例1、如图所示，在 OAB中，OA= a, OB=b，点M是AB的靠近B的一个三等分点，点N是OA的靠近A的一个四等分点.若OM与BN相交于点P,求OP.1例2.如图所示，在ABC,点M是AB的中点，且AN= 2NC BN与CM1目交于E, 设A五a, A最b,试用基底a, b表示向量AE例3、如图2 3 6所示，在 OAB中，OA=a, OB=b，点M是AB的靠近B 的一个三等分点，点N是O

10、A的靠近A的一个四等分点.若OM与BN相交于点 P,求 OP例4.已知A, B, D三点共线，且对任一点C,有CD=4CA+心B,则入=()3B.A.D.练习题一、选择题1.下列关于基底的说法正确的是 （）平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；基底中的向量可以是零向量；平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.A.B.C.D.2.如图所示，矩形一 、C.2(3e2 5ei)a, AD = b,用a、b表示AG等于（11A.4a+4bC.3a-b44B."a+"b3333D/+4b4.设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底,若 3

11、xe1 + (10-y)e2= (4y 7)e1+ 2xe2,则实数y的值为（）A. 3B. 41C-4D.ABCD 中，BC=5ei, DC = 82,则 OC等于(1A.£(5ei + 3e2)_1,一 一D.2(5e2 3ei)3.如图，已知 E、F分别是矩形 ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G,若AB =5.若D点在三角形ABC 的边 BC 上，且 CD=4DB = rAB + sAC,则 3r+s 的值为()16A.石12B.58C.54D.5二、填空题6.已知ei、e2不共线,a=ei+2e2, b=2ei+怕2,要使a、b能作为平面内的一组基底，则实数入的

12、取值范围为7.如图，在四边形 ABCD中，AC和BD相交于点O,设A=a, AB = b,若AB=2dC,则AO =（用a和b表本）.8.若 |a|=|b|= |ab|=r(r>0),则 a 与 b 的夹角为 .一 . . 一 一 -9.如图，在平行四边形 ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC= AE + MAF ,其中入 衣R ,贝U 计（1=10.设D, E分别是 ABC的边AB, BC上的点,若是=众B+ MC （比 加为实数），则为十力的值为三、解答题11.判断下列命题的正误，并说明理由：（1）若 ae1 + be2= ce1+ de2（a、b、c、dCR）,贝Ua=c, b=d；（2）若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用 e1 e2表不出来.e1十必12 .如图，平面内有三个向量 oA、ob> oc,其中6A与6B的夹角为120°, 6A与6C的夹角 为30