湖北省武汉市外国语学校高一下学期期中数学试题(解析版)

1、湖北省武汉市外国语学校高一下学期期中数学试题、单选题_ 一 21 .式子1 5 55n n N的结果为（n 1.C. 5_1D.以上都不对第21页共19页【答案】C【解析】 直接根据等比数列的前 n项和公式即可得出结果【详解】由等比数列前n项和公式可得1 5 525n故选：C.【点睛】本题主要考查了等比数列前 n项和公式的应用，属于基础题 .uur uu r2 .已知O, A, B是平面上的三个点，直线 AB上有一点C,满足AC 3CB 0,uuu则 OB ()1 uur2uur2 uuu1 uurA. -OA -OCB. -OA -OC33332 uuu1uur1 uuu2 uurC. -O

2、A -OCD. -OA -OC3333【答案】D【解析】根据题意，画出示意图.由平面向量的线性运算及平面向量基本定理即可表示出uuuOB .uuuruuu r根据题意O, A, B是平面上的三个点线，且AB上一点C满足AC 3CB 0则位置关系可用下图表示所以B为线段AC上靠近C的三等分点 则由平面向量的线性运算可得uuu uur uurOB OA ABuuu 2 uuir OA AC3uuu 2 uuur uuuOA OC OA 31 uur 2 uuur-OA -OC33故选：D【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理的简单应用，属于基础题3 .在 ABC中，角B,C所对的边

3、分边为b,c,已知b 40,c 20,C 60 ,则此三角形的解的情况是（）A .有一解B.有两解C.无解D .有解但解的个数不确定【答案】C【解析】由三角形正弦定理 b 可知二40-20 o sin B J3 B无解,sin B sin C sin B sin 60所以三角形无解，选 C.4 .等差数列 an的通项公式为an 2n 8 ,有如下四个结论：P :数列an是递增数dn2列；F2:数列nan是递增数列；P3:数列一是递增数列；R :数列4是递增数n列.其中结论正确的是（）A. P,P3B,P2,PlC,P3,P4D. B,P3【解析】根据一次函数的性质可判断P ；根据二次函数的性质

4、可判断P2 , Pt；根据反比例类型函数的性质可判断P3.【详解】.an 2n 8,由一次函数的单调性可知数列a 是递增数列，即 P-正确;2nan 2n 8n ,由二次函数的单调性可得，其先减后增，即P2错误；an _ 8an_2反比例类型函数的单调性可得是递增数列，即P3正确；n nn2. 2an 4n 32n 64 ,由二次函数的单调性可得，其先减后增，即P4错误，故选：A.【点睛】本题主要考查通过数列的函数特征判断数列的单调性，属于基础题uur r urn r uuuc,uuu CF5 .已知D,E,F分别是 ABC的边BC,CA,AB的中点，且BC a,CA b , ABuuv r

5、1 r 4 uuv r 1 J UUU 1 r 1,r _ uuiv uuv 则 AD =- b 3a； BE = a+b； CF =- -a + -b AD + BE +=0.其中正确的等式的个数为（）A. 1B . 2C. 3D . 4【解析】本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义、及零向量，我们根据已知中 的图形，结合向量加减法的三角形法则，对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到 答案.【详解】uuiv uuuv uuu uuuv 1 uuvuuv 1 uuuv如图可知 AD = AC + CD = AC + - CB = CA BC 22r 1 r 一一八=-b - -a ,故正

6、确.uuv uuu uuv uuu 1 uuv BE = BC + CE= BC + CA2=a+1b,故正确.2uuu uuv uuv uuv 1 uuuv r 1 r r CF =CA+ AE = CA+ 2 AB = b + (- a-b)uuu/ uuv uuu uuiv uuv uuu AD + BE + CF = DA + BE + CFuuiv uuv uuv uuu=(DC + CA)+ BE + CF=(-a + b)+ a + b a + b=0,故正确.2222故选D.【点睛】本题考查的主要知识点是向量加减法及其几何意义，关键是要根据向量加减法及其几何意义，将未知的向量分

7、解为已知向量.6.在 ABC 中，已知(a2 b2)sin (A是()A.等腰三角形C.等腰直角三角形【答案】B22【解析】解：因为(a2 b2)sin (A B)B) (a2 b2)sin (A B),则 ABC 的形状B.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形(a2 b2)sin (A B)将边化为角，利用分解因式和降哥的变形得到三角形的形状为直角三角形，选B7 .已知由实数组成的等比数列an的前n项和为Sn ,若$0 21 , S30 49 ,则。是()A.7B . 9C. 63D.7 或 63【答案】A【解析】由等比数列的求和公式， 结合条件，求出q10 2, 鲁 7,代入可求S10.1

8、 q【详解】由题意显然可知公比q 1 ,/20/3049,ai 1 q c a 1 q-21，S301 q1 q上述两式相除可得q102,37,1 q107,a 1 qS101 q故选：A.【点睛】本题主要考查了等比数列的求和公式，考查学生的计算能力，属于中档题 8 .数学九章中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，虽与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平,其求法是：“以小斜哥并大斜哥减中斜哥，余半之，自乘于上，以小斜哥乘大斜哥减上,22.22cab余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即(S, a, b,

9、c分别表示三角形的面积及三边长)现有周长为 4应 2J5的VABC ,满足 sinA:sinB:sinC (J2 1):J5:(J2 1),试用以上给出的公式，求得VABC的面积为()A. 73B . 2百C. 75D. 2君【答案】A【解析】根据正弦定理可得：a:b:c (J2 1):J5:(J2 1),周长为4衣 2石,可得a , b , c的值，代入公式可得答案；【详解】由题意 sinA:sinB:sinC (J2 1):J5:(J2 1),根据正弦定理：可得 a:b:c (72 1):T5:(J2 1),周长为442而，即a b c 4我2瓜可得 a 2 72 2, b=2而，c 2

10、72 2,J 222 .2 212 2c a b-c a J3,42故选：A.【点睛】本题考查三角形的正弦定理的运用，考查了学生的运算能力，求出三边的长是解题的关 键，属于基础题.9.VABC 中，AC 6 ,点 P 为 AC 中点.若 BP 历，AB 3BC ,则 AB ()A. 4B . 275C. 6D . 375【答案】C【解析】设BC x,则AB 3BC 3x ,在VABC和 ABP中分别运用余弦定理即可求出x ,进而可求得结果.【详解】设 BC x,则 AB 3BC 3x,由余弦定理可得：在VABC 中，cos A222AC2 AB2 BC22AC AB29 2x29x*AB2 A

11、P2 BP2 9x2 2在 4ABP 中，cosA :2AB AP 18x9 2x2 9x2 2人所以9二一2,解得x 2或x 2 (舍去)9x 18x所以AB 3x 6,故选：C.【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题10 .已知VABC是长为2的等边三角形,uuv uuv uuvP为平面ABC内一点，则PA (PB PC)的最小值是()A.2B.3C.4D.123【答案】B【解析】以BC为x轴，BC的垂直平分线 DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐uuu uuu uuu uuu uur UULT_ 2标系，表不出向量 PA, PB , PC,得

12、到PA (PB PC) 2x 2y(J3 y),进而可求出结果.【详解】如图，以BC为x轴，BC的垂直平分线 DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标 系，则 A(0,m)，B( 1,0),C(1,0),设 P(x,y),所以uuuPA(x, .3 y)uuuPBuur(1 x, y) , PC (1x,y)所以uuuPBuuirPC2x,2y),uurPAuuu (PBuurPC)2x22y( .323 2y) 2x 2(y -y)、3.当 P(0,)时,2所求的最小值为故选：B本题主要考查求向量数量积的最值,通过建系的方法处理,熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型11 .已知 ABC

13、的外接圆半径为uuu且3OAuuu4OBuur r5OC 0 ,则uuur uuu OC AB的值为(B7C.【解析】【详解】uuu因为3OAuuu4OBuuir 5OCuuu4OBuur5OCuuu3OA,所以uuu 2 16OBuuu40OBuuurOCuur 2 25OCuuu29OA又因为uuuOAuumOBuuurOCuuuOBuuurOCuuur同理可求OAuuirOC所以uuurOCuuuABuuurOCuuuOBuuuOA故选C.12 .已知等差数列an的前项和为Sn,若3a3，a2019321a2019 1则有（）A. a3a2019 且 S20212021B -a3a201

14、9 且 S2021202122019 且 S20214042D.a3a2019 且 S20214042【解析】对已知等式进行构造为a332a32 1 和a20192a201921，通过提取公因式可得a3a2019两式相加因式分解可得a3a20194 ,最后根据等差数列前n项和公式即可得结果a3a3,易知aa3a3a30,又,a20191a2019，a2019a201921,即a20192 a2019易知a20190,即 a20192,故而a3a2019.可得a3a20192 a20190,a3 2a20192a32a2019a32a201920,由于a32a2019a32 a20192a32a

15、201920,即 a3a20194 ,S2021aa_22i20212a3 a2019202124042.故选：C.本题主要考查了等差数列的性质及其前n项和,考查了学生的计算能力,利用立方和公式进行因式分解是解题的关键，属于中档题二、填空题13 .已知VABC角A, B, C所对的边分别为8, C 60,uur uur则 BC CA【答案】20【解析】直接利用数量积的定义即可得出结果【详解】uuur uuuBC CAuurBCuuuCA cos 180o20,故答案为： 20.【点睛】本题考查了数量积的定义，考查了计算能力，理解向量夹角的概念是解题的关键，属于 属于题.14 .已知等比数列an

16、的前n项和为Sn,若a3 = 3 , S3 = 9 ,则ai的值为 223【答案】3或62【解析】由题意，要分公比q 1,q 1两种情况分类讨论，当 q = 1时，S3 = 3a1即可求解，当qw1时，根据求和公式求解当 q=1 时，S3 = 3a1 = 3a3=3x = 符合题意，所以 a = 3 ； 2223、“八 41 q29当 qw1时，S3= a(1+q + q2)= ，1 q2-23m 3又a3 = a1q=一得a1=2 ,代入上式,2 2q2 ，32q22、9(1 +q+q )=- 21+ - -2 = 0, q解得1 = 2或。=1（舍去）. qq31 ,7 一因为q =-,所

17、以a1=-1= 6 ,2 223八 综上可得a=一或6.2【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的求和公式,涉及分类讨论的思想，属于中档题.15. zXABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c .已知sin B sinA(sinC cosC) 0, a 2, c /2,则C=【解析】由B (A C)代入方程消去一个未知数，转化成关于A,C的方程，再利用正弦定理求C的正弦值.【详解】由题可得 sin AcosC cosAsinC sin Asin C sin AcosC 0 ,即 sinC(sinA cos A) J2sinCsin(A -) 0,所以 A 44由正弦定理as

18、in Ac1可得.3 冗 sin C，即 sin C 二，sin C sin24-一 一一.一 一一.一 九因为c a ,所以C A,所以C -.6【点睛】本题由于给定边a,c的长，所以三角方程中选择消去B这一未知数，为正弦定理的使用做铺垫.1 一 *16 .数列 an满足a1 一，且对任意n N , an 132 anan ，右 cn1:,数列cnan1前n项和为Sn ,则S2019勺整数部分是【解析】由已知可得an1an,计算出a4 114时，一an0,1 ,对已知等式取倒数可得:an 11一；,即an 1cnan“裂项求和”方法即可得出2an 1 ana1 an 1an,5281a452

19、81528169166561n 4 时,-0,1 an2111 an 1 anan , 7 ,可得:an 1anan1111an 1 anan 1cn11, anan 1，数列cn的前n项和Snaa2a2a3an1, a an 1C 11-1”S2019 3 2,3 ,其整数部分为2,a1a2020 a2020故答案为：2.【点睛】 本题考查了数列递推关系、裂项求和方法、数列的单调性、实数的性质，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题.三、解答题2/Vr b1rbr r r17 .右平面向重a、b满足|a_ r rr ,一（1）右a b平仃于x轴，求向重 a的坐标;,r , ,. r r ,一

20、(2)若 |a | 4 ,求 |2a b | 的值.【答案】（1）a 3,1 或a 1,1 ；（2）VT09,r ，一 ，.、一【解析】（1）设出a x,y ,根据平行关系及模长列出方程组，求出方程组的解即可 得结果；rr rr r(2)通过对|a b | 1两边同时平万可求出 a b,然后求出|2a b |的平万再开万即 可.【详解】，八5 r(1)设 a x, y ,r rr |a b | 1 , a b 平行于 x 轴，b ( 2, 1),r J解得 . a b x 2,y 1 , 2 x 2 y y 1 01,1rra 3,1 或 a(2) . b ( 2, 1), b 娓, r r

21、, r ,又|a b | 1 , | a | 4 ,r2 r 2_ r r 谶r r 曰 r r2 a b2a b1 ,即16 5 2ab1，斛得 a b10，rr2 r 2 r r r 23 |2a b |2 4 a 4ab b 64 40 5 109,4 |2a b| .109.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 ，平面向量共线(平行)的坐标 表示，考查了学生的计算能力，属于基础题.18 . ZXABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c.已知 2cosc(acosB bcosA) c.(1)求角C；(2)若c 币,SABC 挈，求 ABC的周长.【答案

22、】(1) C 一(2) 5日3【解析】【详解】试题分析：(1)根据正弦定理把 2cosc(acosB bcosA) c化成1.一2cosc(sin AcosB sin BcosA) sin C ,利用和角公式可得 cosC ,从而求得角C；(2)根据三角形的面积和角C的值求得ab 6,由余弦定理求得边 a得到 ABC的周长.试题解析：(1)由已知可得 2cosc(sin AcosB sin BcosA) sinC2cosC sin( A B) sin C cosC(2)SABC - absinC23、3一 ab 2ab 6又 Qa2 b2 2abcosC c2a2 b2 13, (a b)2

23、25 a b 5 ABC的周长为5 J7【考点】 正余弦定理解三角形.19 .在 ABC中，A, B,C的对边分别是a,b,c,已知a 1 ,平面向量rrr r _ _ .m (sin( C), cosC), n (sin( B ),sin B),且 m n sin 2 A .(1 )求 ABC外接圆的面积;(2)已知O为AABC的外心，由O向边BC、CA、AB引垂线，垂足分别为D、E、F,求uurODuurOEuuur OF的值.cosAcosBcosC【答案】(1)万；(2)石【解析】【详解】(1)由题意，sin 2A sinCcosB sinBcosC得 2sin AcosA sin(

24、B C) sin A1由于 ABC 中 sin A 0, 2cos A 1, cosA 21 sin A 1 cos2 Aa 212R= 一，R , S -sin A ,3. 33(2)因为。为ABC的外心，由O向边BC、CA、AB引垂线，垂足分别为 D、E、F,延长CO交圆于G点,CG为圆的直径,三 90 r ODLBC r二 ODffBG r丁 Z/l = ZG r DOC = A BOD dBOD - ZA rOD =39 ZBOE . OHODOB。同理可知-Cutj BODOEOFcost A eas B V3&/i二 3 K =20 .已知数列 an是等差数列，a1 f(x 1),

25、 a20, a3 f(x 1),其中-，、2一f (x) x 4x 2 .(1)求数列an的通项公式an；(2)若an是递增数列，数列 bn是以p为首项，p为公比的等比数列(其 an 4 bn , 一.非零实常数)，求数列 的n项和Tn.2【答案】(1) an 2n 4或an/ * / 一 、2n 4, n N ; (2)Tn【解析】(1)由& a3 2a20f x 1 f x 10,即 x2 4x 3n ip np n 1 p2, p1 p出x,从而可得首项和公差，即得结果;1两种情(2)由(1)以及等比数列的定义可得an 4 bn n pn,分为p 1和p2形，结合错位相减法即可得其前n项

26、和Tn.【详解】22 八 一(1)af x 1 x 2x1,a2 0, a3f x 1 x 6x 7,. aa30, x2 4x 30 , x 1 或 3,当 x 1时，a2 , d 2,即 an 2n 4 , n N ;当 x 3时，a1 2 , d 2,即 an2n 4 , n n *;综上可得数列an的通项公式为an 2n 4, n N或an2n 4, n(2)由于an是递增数列，数列bn是以p为首项，p为公比的等比数列an 4 bn2当p 1时,an 4 bn2当p 1时,Tn p 2p23p3 Lnnp2p3 3p4nnp由得p Tnpn n 1p np化简解：Tnn 1p np n

27、综上可得：Tnn 1p np n 11 p本题主要考查了数列的递推式，考查了利用错位相减法求和,属于中档题21 .如图，某学校拟建一块五边形区域的“读书角”,三角形区域ABE为书籍摆放区,四边形区域为BCDE为阅读区,沿着AB、AE处摆放折线形书架（书架宽度不计）（2）若区域ABE为锐角三角形，求书架总长度oDE =3BC = 3CD= 3庭 m .AB +AE的取值范围.【答案】（1） BE6m(2) 66,12【解析】（1）连接由余弦定理可得 BD ,由已知可求/ CDB = / CBD = 30 ,/ CDE =120BDE = 90,利用勾股定理即可得解 BE的值；（2）设/ABE=a

28、 ,由正弦定理，可得AB = 4 73 sin (120a), AE = 4 J3 sin a ,利用三角函数恒等变换的应用化简可得AB +AE = 12sin ( a+30 ),结合范围 60 v a +30 120 ,利用正弦函数的性质可求AB+AE的最大值，从而得解.连接BDBDC 中，BCCD 、3,/BCD=120由余弦定理BD2BC2 CD22BC CD cos BCD ,得BD22 一 一由 2串 5/3cos120 ,得BD3m又 BC=CD,/ BCD=120BDCBDE90 . ABE 中，BD=3 , DE3，3,由勾股定理BE2BD2 DE2 323.3 2 36. 2

29、Sn33第23页共19页故 BE 6m.设 ABE贝 U AEB 180 60120在ABE中,AB由正弦定理sin 120BEAEsin60sin4.3AB 43sin 120AE 473sin ，故 AB AEsin 120= 4.3 sinsin120 coscos120sin4、33 . sin2,3cos212sin30 ABE为锐角三角形,故309030120sin6.3 ABAE12所以暑假的总长度AB+AE的取值范围是673,12 ,本题考查余弦定理，考查正弦定理，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能 力，属于中档题.此类函数的实际应用题，我们要经过析题一建模一解模一还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考 虑.将实际的最大(小)化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大(小)是最优化 问题中，最常见的思路之一.一.2S1 2222 .设数列an的前n项和为Sn ,已知ai1, 一nan 1- n2n - n Nn33(1)求a2的值;(2)求数列 an的通项公式；,121(3)令h(n) a，f(n) 一 n ，证明：对任意n N+,均有 (n) an32 .，、1、，f(n)h(n) h(1) h(2)h