河北省石家庄市2020届高三数学毕业班模拟考试试题(一)(A卷)理(含解析)

1、河北省石家庄市2020届高三数学毕业班模拟考试试题（一）（A卷）理（含解析）一、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1 .已知集合力三I>0 xeZx< 1 ），则（）A. :M；| B.阖。号:歹 1c.iD. .；Hs|【答案】C【解析】【分析】由题意可得：力二卜懊> -1田=1，,，-2,-101）,结合交集的定义确定/inm即可.【详解】由题意可得：力=3r> _ 1）,6=2,-101,结合交集的定义可知：本题选择C选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义等知识， 意在考查学生的

2、转化能力和计算求解能力.2 .若复数"白（为虚数单位），则纭（）【解析】1C. AD.【分析】易知卜. N =怪，结合复数模的运算法则求解其值即可.【详解】由题意可得：£ ,彳二|?产=匕：,二匚;本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则及其应用，属于中等题3.已知3 + q=2cos(ir-a),则A. -3【答案】A【解析】B.C.D. !【分析】由题意结合诱导公式可得：t川3=2,结合两角和的正切公式可得 m+ q的值.【详解】由题意结合诱导公式可得：-s由叮=巴吧=2 ,COSKTT据此有:2 + 11-2x1白博 + tanaltcin- - tuner

3、44本题选择A选项.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，两角和的正切公式等知识，意在考查学生的转化能 力和计算求解能力4 .下列说法中正确的是（）A.若数列%为常数列，则既是等差数列也是等比数列；b.若函数”均为奇函数，则f（o）= q；C.在*?C中，71 >0是的充要条件；D.若两个变量工厅的相关系数为，则越大，工与y之间的相关性越强.【答案】C【解析】【分析】对于选项 AB给出反例可说明命题错误，C由正弦定理可知命题正确，D由相关系数的定义确定其真伪即可.【详解】逐一考查所给的说法:则数列为常数列，则4是等差数列但不是等比数列，该说法错误;为奇函数，但是不满足 （0） = 0 ,该

4、说法错误;C由正弦定理可得在中，同券仃是的充要条件，该说法正确；D两个随机变量相关性越强，则相关系数 r的绝对值越接近于1,题中说法错误本题选择c选项.【点睛】本题主要考查奇函数的性质，正弦定理的应用，相关系数的含义，常数列与等差数列、等比数列的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力5 .已知平面向量&与占的夹角为彳，且刖=1,1 +的=2,则£|=| ()A.B|C.D.【答案】B【解析】【分析】将Z +国=2两边平方，利用向量模的性质和运算法则计算a的值即可.【详解】由题意可得：a + 2S|Z = a2 + 4a - 6 += |a|2 + 4 向 x |5

5、x cos-tf + 4x1= 2 句+4 = 4,则：由=0,据此可得：问=2.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查向量的运算法则，向量的模的计算等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6 .袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的红球，则第一次摸到红球的概率为()11111A.B.C. D. ,4325【答案】B【解析】【分析】由题意，分别列出第二次摸到的红球的所有可能结果和第一次摸到红球的事件，利用古典概型计算公式确定去概率值即可 .【详解】设两个红球为 /，*两个白球为wyw2 ,则第二次摸到的红球的所有可能结果为：W&quo

6、t;俨消声/评/*此小网共6种，其中第一次摸到红球的事件包括：通酒2共2种，结合排列组合公式可知第一次摸到红球的概率为P=f=意在考查学生的转化能力和计算【点睛】本题主要考查古典概型计算公式及其应用等知识, 求解能力.+ 2y2 t 07 .设变量满足约束条件Jx2y + 2 < 0 ,则目标函数|z = x + 3y的最小值为() t y>2A.B.闾C.D.【答案】C【解析】【分析】首先绘制出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数取得最小值的点的坐标，据此确定目标函数的最小值即可 .【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，a目标函数即:1什，¥ = 一2

7、+肛 其中z取得最小值时,其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小,据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最小值,联立直线方程:O - 22,可得点的坐标为： 伙-2Z,据此可知目标函数最小值为：F而=¥ +-2 + 3 X 2 = 4.本题选择C选项.【点睛】求线性目标函数 z = ax+by(abw 0)的最值，当b>0时，直线过可行域且在 y轴上 截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b< 0时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.8 .已知fa 是定义在月上的奇函数，且满足/（，）=2冷，当* EO

8、,1时，工）=1-小 则在,1,3,上，/（疔$1的解集是（）33 53A. （1引B.扇C. /D. 2,3）【答案】C【解析】【分析】 首先结合函数的对称性和函数的奇偶性绘制函数图像，原问题等价于求解函数位于直线y=1下方点的横坐标，数形结合确定不等式的解集即可【详解】函数满足/（，）=f2 -此,则函数关于直线M二对称，结合函数为奇函数绘制函数的图像如图所示：< 1的解集即函数位于直线 y =下方点的横坐标，当卜0周时，由.一1二1可得弟=；,结合f（幻二-为可得函数f（"与函数y = l交点的横坐标为* = |据此可得：fM < 1的解集是-.3）.本题选择C选项

9、【点睛】本题主要考查函数奇偶性，函数的对称性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力9 .已知椭圆也十2二共仃 > 占 >点|F为左焦点，点户为下顶点，平行于FF的直线交椭圆于A,R两点，且阳的中点为叫I占,1则椭圆的离心率为（）A.BB.21C. 一 4D.二0,由于：竹1 +勺=2必+为=1,故:2由于F（屯0）AO,-b）,故即尸=2yba2 c【解析】 【分析】 由题意，利用点差法求得直线 AB的斜率，然后利用斜率公式求解直线 AB的斜率，两斜率相等可得关于a, c的齐次方程，据此即可确定椭圆的离心率【详解】设 川修了。应小，心），直线AB的斜率为|fc, 点在椭圆上，

10、则:两式作差可得:整理可得：二 口4r（口2-2昌2 = 0 ,（或离心率的取值范围）,II【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率 常见有两种方法:求出a, c,代入公式;只需要根据一个条件得到关于a,b, c的齐次式，结合b2=a2c2转化为a, c的齐次式,然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即 可得e（e的取值范围）.10 .已知函数fW = 2/。nox +叫u>0恻 <刍的部分函数图像如图所示，点 月（。,嚓0则函数应£图像的一条对称轴方程为（）A.B. x =TT12nC. =iy17D.=

11、24【解析】【分析】由题意结合函数图像可得的解析式为fg = 2叫4#-) 结合三角函数的性质确定函数的对称轴即可.【详解】由题意可得:,结合函数图像可知伊=7T.3当片=。时， 2£OS(p ='、区t05和二 2故函数的解析式为：5M令4"一2=4开可得函数的对称轴方程为:6* = TT +4A BA L TT令4二。可得一条对称轴万程为. = 本题选择D选项.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数的对称轴的求解等知识，意在考查 学生的转化能力和计算求解能力11 .如图，某几何体的三视图都是边长为】的正方形，则该几何体的体积为()C. 1【解析】【分

12、析】 首先由三视图还原几何体，然后结合几何体的空间结构特征求解其体积即可【详解】如图所示，在棱长为1的正方体/I股力-公比6明中,三视图所对的几何体为该正方体去掉三棱锥出R和三棱锥AA HD所得的组合体,DyDH,1 J 1其体积为：/ = P-2x|-x-x 1 X! x本题选择D选项.(2)若所给几何体的体【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状 以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解;积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.12.对任意mE,都存在，勺（71七E 4吊 牛工自，使得c 1= = ml

13、nm-m，其 中£，为自然对数的底数，则实数 d的取值范围是（）A.B. 匕-7C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求函数f（x） =*伤了一可1M与与e的值域，将原问题转化为方程/ =此"E -L叫至少有两个实数根，利用切线的性质考查临界条件可得实数口的取值范围.【详解】令,3 = #历注-七m万与/卜则/=Im,据此可得函数在区间（；/）上单调递减，在区间上单调递增，12注意到=-"f（l） = -（，）=/,故函数的值域为一1声勺.则原问题等价于方程 axex = k,k E - 1刈至少有两个实数根，即/ =一以w 一 1/至少有两个实数根，考查临界情

14、况，当1fcr=/时，直线1y = 口式/与指数函数|y二F相切，由|y = #可得V = #,则切点坐标为 ,0声”卜切线斜率足=3nu = J0,切线方程为：y_g Q二色工一工。），切线过点（0,-J ,故一日。很明显方程的根为 卜o = 2 ,此时切线的斜率据此可得实数口的取值范围是（用+*.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查导数研究函数的最值，导数研究函数的切线方程等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题（每题 5分，？茜分20分，将答案填在答题纸上）13 .已知随机变量/服从正态分布若周*三日-2）二收*占2。+ 3）,则口二【答案】1【解析】 【分析】由正态分布

15、的性质可得正态分布的图像对称轴为X = 2,据此得到关于 a的方程，解方程可得a的值.X=2,结合题意有:(a-2) +(2a+3)【详解】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法熟记P(j1 CT<XW(1+b),P(1 2 CT <XW(l+2cr),P(jl 3(7<Xw+ 3 CT )的值.充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.14 .已知双曲线一4/ = 1|，过点的直线与c有唯一公共点，则直线的方程为1 1【答案】y =- 1或尸=- 5= + 1 U-£i【解析】【分析】易知点P位于双曲线1-

16、4/二1内部，则直线与渐近线平行时，直线与 。有唯一公共点，据 此确定直线方程即可.【详解】如图所示，点 P位于双曲线1-4/= 1内部，由双曲线的几何性质可知，当直线与渐近线平行时，直线与。有唯一公共点, 由于双曲线的渐近线为 y=土枭,故直线的方程为11ry =/2：或尸=普即1y =3一 或p =【点睛】本题主要考查双曲线的性质及其应用，属于中等题15 .在棱长为1的透明密闭的正方形容器 /IHCD八出£1%中,装有容器总体积一般的水(不 计容器壁的厚度)，将该正方体容器绕口。1旋转，并始终保持日外所在直线与水平平面平行， 则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为 .【答案】

17、【解析】【分析】设点1:在/上，点F在CD上，满足力曲二代，则原问题等价于求解四边形 OF%耳的最大值. 建立空间直角坐标系，结合二次函数的性质可得旋转过程中容器中水的水面面积的最大值.【详解】如图所示，在棱长为 1的正方体产5-力/£豆中，点*在片上，点怛在fZJ上，满足&E = CF,则原问题等价于求解四边形的最大值.作£心门。于点6,当EL最大时，四边形 /%£有最大值.建立如图所示的空间直角坐标系，设战矶0.1)(0 =闭七1 ,设G(xjn),由于8(1北0)4(01。，由的= )/?/可得：fX = -2+1|(x-1,¥3)=*-1

18、,1,1),则：! y - A,故G-A + 1D),I z - A故：fi = (m+A-X-41-AX 丽= (一/)，由行柠 *市1+ J =。可得：k =2-m力一in + li t /2-孙2/2 - m 、故：|GE| 二-)+M+(-1)结合二次函数的性质可知：当 血=01或而=1时，GE取得最大值，此时S取得最大值，最大值 为:【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，空间向量的应用，函数最值的求解等知识，意 在考查学生的转化能力和计算求解能力16 .已知数列%的前"项和为部,且5： 值时【解析】【分析】由题意结合递推关系可得品-一%=1(口之号,即数列为隔项等差数列，

19、结合数列的性质可得*,取最小值时打的值.两式作差可得：T),即12“ + 1 + %产H-10 5-2),由口, + + 4 = h_io, %两式作差可得：% * 2- = 1(«>2),进一步可得:口1<白小口6<17再8<白9内0口1，又"10 + 41 = 0,则"1口<0<511,则5n取最小值日H=10.【点睛】本题主要考查数列的递推关系，数列中最值问题的处理方法等知识，意在考查学生 的转化能力和计算求解能力三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 .已知A"4

20、的面积为3心，且内角儿 氏1依次成等差数列.(1)若苜泊。=3节iM,求边力。的长；(2)设。为边传的中点，求线段RD长的最小值.【答案】(1)即(2) 工【解析】【分析】(1)由题意可得/? = 60。，结合面积公式得|的:= 12.利用正弦定理角化边，据此可得a,c的值，最后由余弦定理可得|/1C|的长.(2)由题意可得曰力=!(由；+日小，利用向量的运算法则和均值不等式的结论可得AD长的最小值.【详解】(1) 三内角儿氏C依次成等差数列，卜二60。-1设丸工匚所对的边分别为。也a由5 =又。=17GM月可得亚=1.2.y sinC = 3sinA,由正弦定理知二 3。".q=2

21、/= 6.#lfC中,由余弦定理可得 b* = a* + d 一= 2 & *. b = 27.即.4C的长为绅(2) ,一口。是桢边上的中线，:，丽=：曲+网/,曲2 = 3而2 + 而* + 2SC ffA) = j(a2 + c2+ ZaccosB) = c? + 1 + %>2acA-ac)= 9当且仅当 y 时取 =上的| 之可即BD长的最小值为3.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范

22、围.18.已知三棱锥取一/1/?。中，PC 1同比山IH匚是边长为2的正三角形，=4XJWC = 60"；(1)证明：平面 日人。J.平面(2)设F为棱凡4的中点，求二面角p一8C-F的余弦值.【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】(1)由题意结合正弦定理可得 PC二人; 据此可证得PC1平面小泪，从而可得题中的结论;(2)在平面北中，过点。作f：M以CACM£P所在的直线分别为xj4轴建立空间直角坐标系C-町名由空间向量的结论求得半平面的法向量，然后求解二面角P-BO-F的余弦值即可.【详解】(1)证明：在 必贸:中，dUC二G0揽：二2, PR=4,由余弦定理可得=

23、2 + 8d =py2, ；*PC L 优,X'.'PC lABrAHr3C = B,LAHC, 丁2。仁|平面。内。，.平面J.平面/1HQ.(2)在平面HUQ中，过点。作CMlGl,以口!£M£P所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系C-*”：口丽丽丽冏2乩0网诵0)|. 也0询设平面PBC的一个法向量为m = jfj + 平 % 0= 2、取=0解得打工丫丸y1 =-1 , |=0设平面'的一个法向量为懵二(勺/也)(C7?*n = jr3 + J3y? 0则1t一工'/匹卜抑二4+ <3孙=0解得勺=/，炎=T, z2= -1即日

24、=(*§-I,-1)m'n|3 + 1 + 0| 阳血阿 2 x 3 + (- I)2 +(- I)25由图可知二面角P-HC-*为锐角，所以二面角|P-fiC-/的余弦值为 "【点睛】本题主要考查面面垂直的证明方法，空间向量的应用等知识， 意在考查学生的转化 能力和计算求解能力19.东方商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该食品一次(购进时，该食g元，售价12元，如果两天内无法售出,品为刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如下表：销售盘（份）1

25、51617但天数刘3Q40110 J（视样本频率为概率）（1）根据该产品|100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为，求的分布列与期望（2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或旧份，哪一种得到的利润更大？【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）根据题意可得的取值为30,313233,34,3536,计算相应的概率值即可确定分布列和数学期望;（2）分别求解当购进32份时的利润和购进33份时的利润即可确定利润更高的决策【详解】（1）根据题意可得.111也=3。)=4广元133p = 3=-x x2 = , 5 1025'1 233】P(f =

26、32) = X X 2 HX =一5 510 10 A11-32-7= 33) = -x x2 + x-x2 = ,5 IC 1(J 52S,31,22 11巴 £ = 34) = X x2 + -x- = 1口 1055 50'217巴£ = 35) = X x2 = 5 1025,.、111巴£ = 36) = x 一二III 1(1 1UU'的分布列如下:|3031|323334|353611311 7111121P2S|4|252S100(0 = 30 X 2511b 31 X _ _ + 3 2 X + X _ _ + 4 X + 35

27、x + 36 X25255025= 32,8(2)当购进32份时，利润为. 2131 ,32x4x+(31 x 4-8) X +(30x4-16) X |=10752+13.92+ 446= 12MU -kJ乙 kJ/口，当购进32份时，利润为591I- r30 x 4 - 24) x 25 %J 2533 X 4 X 4-(32 X 4- 81 X - + ；31 X 4 - 16) X =77B8 + 30 + 12.96 + 3.H4 = 124.68, 125£> 124.68可见，当购进32份时，禾U润更高.概率统计的预测作用等【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布

28、列与数学期望的计算, 知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力20.已知抛物线在/=即即> 0)上一点P1%2)到焦点F的距离"| = 2”(1)求抛物线。的方程；(2)过点卜引圆财：(,一3尸+/=产0<,£隹)的两条切线以、FB ,切线JX. /网与抛物线。的 另一交点分别为 ( 凰 线段4"中点的横坐标记为，求的取值范围.【答案】(1) /二心(2)见解析【解析】【分析】(1)由题意确定p值即可确定抛物线方程；(2)很明显切线斜率存在，由圆心到直线的距离等于半径可得卜卜修是方程k/. 4)M _侦+/_ 4=0的两根，联立直线方程与抛物线方程可

29、得点D的横坐标4=2+ 江-汉储+卜/-3 .结合韦达定理将原问题转化为求解函数的值域的问题即可.【详解】(1)由抛物线定义，得叩产与+ 由题意得：所以，抛物线的方程为 由题意知，过P引圆炉.3）2 + / =/（0父尸&1%的切线斜率存在，设切线 P/1的方程为2k. + 2|卜=- 1） + 2,则圆心M到切线PM的距离d =,=十,整理得,出、1（r2- 4求-+，- 4 =。.设切线3的方程为卜=后犬-1） + 2,同理可得（/-4）&2-R& +产-4 = 0.所以，是方程（J 4）廿-g* + 1 - 4 = 0 两根，K + g =设的曲,殴士办）由|得，

30、幻/- 4y - 4A + 8=。,日-4%由韦达定理知，2yl = r"14 2k 14,所以尸=2 = 4k工-2 ,同理可得,2二- 2 .设点”的横坐标为方,则%十2=2也,+ #/) 2囱 + #/+ 1 = 2(/ + k2)2- 2出 + Jc2) - 3| .所以，, 一， 1 =2。' -21-3,对称轴。=三-/,所以【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解，直线与抛物2的转化能力和计算求解能力a 121.已知函数 =ti(sinx + 1)-2 g(>) 二霜 E（1）求函数/（X）的极小值;（2）求证：当= 1时，）©（，）.887生勺_

31、W +觉_ (缄工-2)? + (4- 2尸【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得f=（ci - 1） ,.、,* -1 。）分类讨论函数的极小值即可 x（2）令网力0（篮）=0工+a - 1 afsinr +1)-2 xlruc- asinx + 口0）,原问题等口 = 0和-1三种情况即价于尸（幻 0,即证壮冰 asinx - 1.据此分类讨论0a,可证得题中的结论.言、1 U-lv【详解】（1 ） j=-=；,（*> 0）*XX当白-1W0时，即口 Ml时，（口0，函数月婢在（0, + 9：上单调递增，无极小值；当白一1>。时，即>时，（）式o

32、qo<x<_ 1,函数无：在n.0-1;上单调递减；，> 0,A*1,函数f* ；在（吁L + 3）上单调递增；（X）- 1）= I + 加3 - 1），综上所述，当口三1时，/“无极小值；当口 >1时，粮小=1+精（。-1）“、人c. u-1 u（sinx + 1）-2 Aff/w:- aainx + 1（2）令 F（*） = f4） 一 轨工）=/下 +=.（* > 口）XXX当-1£口£1时，要证：*）>讥幻，即证/（£）>0,即证川+ 1 ）0 , 要证 drjx- tisinj（ + 1 > 0,即证 了f

33、mc> 口sMjt - 1|.当0<口£1时，令h二M-酊吐,“幻二1 -8SH之0,所以W*：在电+s）单调递增，故帆0> h（0） = 0,即工5MH士 白t - 1 > asinr -1 （*）,令卜（工）=上加#-x + l|, / =inx，当kE（0）（xKO, ¥3在0,1）单调递减；上E （1, +用跳）。，q在I + 8）单调递增，故W（，）> Q（l） = 0,即.dmr 2x - 1.当且仅当x = 1时取等号又,.xln.x>x - 1 > a;r- 1 （* *）由*）、 i* *）可知 xlmr? jt

34、- i 叮-1 >1所以当 0<口£1 时，WnJf>usinx- 1|当日=0时，即证Ng：>-1.令=m""） = £心+ 1, m（A）在0,3上单调递减，在d + 8：上单调递增，mg曲讥= - - > - 1 ,故近似> -1 ae t?1| |当-1 W 口< 0时，当X £ 10刀时，- 1 < - 1 ,由知 = mIhx > 一>而一> 一 1， 故Hmt >心血一1；当年E （L + uo）时，astnx - 1 < 0,由知 m（幻=,历# A=。，故工心再行= 1 ;所以，当年£ （0,+s）时，以行> 心讪*-1.综上可知，当-IMOMI时，/口）>成处.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.（3）利用