概率论复习题讲解

1、19第一章1.假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件为一等品；第二箱内装 30件，其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回)，求：(1)先取出的零件是一等品的概率；(2)在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率。解：设Ai=取到第i个箱子, i=1,2, Bj=第j次取到一等品, j=1,2 (1)由全概率公式110118p(bi = p(a)p(B1 a) pa)p(B1 A?) =2 50 2 30(2)所求概率为P(B2B1) =P(B1B2)P(B1)110911817P( B1B2) = P(A

2、)P(B1B2 A) P(A2)P(B1B2 A2)0.19422504923029故：P(B2 B1)=晒2)= 0.1942 : 0.48562 P(B1)252.某段时间t0,t0+t内，t>0,证券交易所来了 k个股民的概率为 KLe社，k=0,1,2:k!入>0,每个来到交易所的股民购买长虹股票的概率为p,且各股民是否购买这种股票相互独立。(1)求此段时间内，交易所共有 r个股民购买长虹股票的概率；(2)若已知这段时间内有 r个股民购买了长虹股票，求交易所内来了m个股民的概率。解：设Ak=交易所来了 k个股民, k=0,1,2,，B=有r个股民购买长虹股票。(1)由于 P

3、(AJ =(t)-e,k =0,1,2， k!P(BAk) =0,k =0,1,2.r -1,P(BA)=C：pr(1-p产,k=r,r 1.故由全概率公式可得/、krP(B) ='、P(Ak)P(BAk) ='、Clpra-pq-e-'t =T-etpk=0kzrk!r!(2)由Bayes公式得所求概率为P(A B)=P(AJP(BAJP(B)、"1,显然，P(Am B) =0,m=0,1,.r -13.设一射手每次命中目标的概率为p,现对同一目标进行若干次独立射击，直到命中目标5次为止，则射手共射击了10次的概率为(A)ap5(ip)5(B)c；p5(i

4、p)5(C) Ciop4(1-p)5(D) C；p4(1p)5解：B4.设有三个事件 A,B,C,其中P(B)>0,P(C)>0 ,且事件B与事件C相互独立，证明:P(A| B) = P(A | BC)P(C) P(A| BC) P(C)分析：利用关系式 AB = (ABC) (ABC)证明：由于事件 B和事件C相互独立，故事件 B和事件C相互独立，又因为AB = AB',1 = AB(C 一 C) = (ABC) (ABC)所以P(AB) = P(ABC) P(ABC)二P(A | BC)P(BC) P(A| BC)P(BC)二P(A| BC)P(B)P(C) P(A|

5、BC)P(B)P(C)从而有P(A|B)=P(AB)P(B)= P(A|BC)P(C) P(A| BC)P(C)第二章1.假设一厂家生产的每台仪器，以概率 0.70可以直接出厂；以概率 0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂；以概率 0.20定为不合格品不能出厂。现该厂生产了n(n之2)台仪器，假设各台仪器的生产过程相互独立，试求：(1)全部能出厂的概率；(2)其中恰好有两件不能出厂的概率3 ;(3)其中至少有两件不能出厂的概率0。解：设人=一台仪器能出厂, B=一台仪器能直接出厂, C=一台仪器经调试能出厂,则A = B+BC,且B与BC显然互不相容。于是P(A) = P(B)

6、 + P(BC) = P(B) + P(B)P(C|B) = 0.7 + 0.3* 0.8 = 0.94令X表示n台仪器中能出厂的台数，则有XB(n,0.94)。故(1) a = P(X = n) =0.94n;(2) P =P(X =n-2)=比0.9420.062(3)由于至少有两件不能出厂等价于至多有n-2件能出厂，故1 - P(X 三 n _2) = 1 一 P(X = n 一 1) 一 P(X = n) = 1 一 n 0.06 0.94n，一 0.94n112.假设随机变量X的绝对值不大于1, P(X =1)= , P(X =1)=,在事件(1<X<1)84出现的条件下

7、，X在(-1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比， 试求：(1) X的分布函数F(x);(2) X的取负值的概率 p1解： 由条件知，当x<1时 F(x) =0,F(1)=8115P(-1 < X ：二1) =1 - 一一 =-.8 4 8x 1又P(-1 ：二 X <x| -1 :二 X ：二1)=2于是，当1 <x <1时F(x) = P(X < -1) P(-1 :二 X < x)1-P( -1 二 X < x, -1 二 X ：二1) 8 1= P(-1 :二 X 1)P(-1 :二 X < x|-1 :二 X

8、1) 81 5 x 1=十 M8 82 5x 716当x之1 ,时，F(x) =1,故0,x= - 1,57F(x)x ,-1-x： 1,16161,x-1.(2) p = P(X <0) = F(0-0) =F(0)=工.161 ,3.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数为一的指数分布，设备定时开机，出现5故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2个小时便关机，试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数FY(y)解:由题意得，Y = minX,2,于是FY(y) =P(Y 工 y) =P(min 1x2，h y) =1 -P(min <：X,2? . y) = 1-P(

9、X y,2 . y)-，1 r 一，又X的分布函数是参数的 -的指数分布，即其分布函数为5,1xFx(x);1-e 5 ,x 00.其它因此，当y 上2时,P(X > y,2 >y)=0,即Fy(y);4.设随机变量X的概率密度为f(x) 13X273,x1,8l0,其他Fy (y) = i ；当 y<2时，P(X >y,2 >y) = P(X a y),即Fy(y)= 1- P(X y)=P(X M Y)1_cY1-e 5 , y 0 0,y£01,y-21二 y1-e 5 ,0 y 20,Y"05仪)是*的分布函数，试求随机变量 Y= F(

10、X)的分布函数解:Y =F(X)的分布函数为FY(y) = P(YEy) = P(F(X)Wy).注意到F(x)为分布函数，于是有 0MF(x)Ml,因此，当 y <0时，FY(y) =0;当 y 之1 时，Fy(y) =1；当0Ey<1时，由于F(x)为单调增加函数，从而存在反函数，故FyW) =P(F(X) Ey) =P(X *(y)=F(F,(y) = y. ( f ,表示f的反函数)即y的分布函数为：0,y 0FyW iy；iy 1第三章1 .设(X, Y)的联合密度为C Cxy,0 <x <1,0 < y <1.f(x,y)=< 0,其他试求

11、：(1)常数 C;(2 ) P (X=Y); (3) P (X v Y )。解：oci +0(1)由f(x,y)dxdy=1,得 C = 4。(2 ) 由于x=y为平面上的一条直线， 而二维连续型随机变量在平面上任何一条曲线上取 得的概率均为零，故P (X = Y) = 0;(3) P (X v Y )=ii f (x, y)dxdyx:y= ii4xydxdyD1 y=(4xydx)dyo o=J2y3dy=1.022.设连续型随机变量 X, Y相互独立且服从同一分布，证明 P (X < Y)=-.2证明：不妨设X, Y的密度函数为f(x), f(y),于是由X与Y相互独立得(X, Y

12、)的联合密度为 f(x, y)= f(x)f(y)于是 P (X < Y) = 口 f (x) f (y)dxdy. x :y由于被积函数f (x) f (y)关于x, y对称，故ii f(x)f(y)dxdy = f(y)f(x)dxdyx -：yy:：x但 f (x)f (y)dxdy，11 f (y) f (x)dxdy = f (x) f (y)dxdy = 1,x-£yy <xR221其中R表示整个平面，所以 f(x) f (y)dxdy =,x<y2即 P (X & Y)= 1.23.在10件产品中有2件一等品，7件二等品和1件次品，现在从10件

13、产品中无放回地抽 取3件，令X表示其中一等品数，Y表示其中二等品数，试求：(1) (X, Y)的联合分布律(2) (X, Y)关于X和Y的边缘分布律(3) X和丫是否相互独立？(4) 在X=1的条件下Y的条件分布。分析：由题意知X的可能取值为0, 1, 2; Y的可能取值为0, 1, 2, 3。因此用古典概型分别计算它们的概率即可解：(1)因为当 i+j <2 或 i + j>3 时，有 P(X =i,Y = j) = 0.而当 2 Mi j E3时，P(X=i,Y=j)= C2c7G30'T/G3。.分别将i=0时，j=2,3;i=1 时，j=1,2;i=2 时，j=0,

14、1代入计算可得(X, Y)的联合分布律如下表(2)由联合分布律易得两个边缘分布律为Y0 JI42317120402174024(3)因为 P (X=1 , Y=0) =0,但P (X=1 ) = 7 , P (Y=0 )=1,15120故 P(X=1,Y=0) #P (X=1 ) P (Y=0 )。所以X与丫不相互独立一、.15(4)因为 P (Y= j | X=1 ) = p. / p1. = pn , j =0,1,2,3.一 八 147427而 P10 =0, P11 =,P12 = = , P13 = 0,于是在 X=1 的条件下 Y120 60120 20的条件分布为Y = j |

15、X =112Pjli1/43/44.设二维随机变量（X, Y）在区域D上服从均匀分布，其中 D= （X, Y） | 0<x<1,|y|<x, 试求（X, Y）关于X和关于Y的边缘密度和条件密度分析：求边缘密度时，首先确定随机变量的取值范围，X （或Y）的取值范围是二维随机变量（X, Y）的取值范围在 X轴（或Y轴）上的投影，在取值范围外，密度 函数的值为0解： 易知D的面积为1,故（x,y）的联合密度函数为:厂 1, 0 <x <1,| y |<x,f（x,y）=o0,其他因X的取值范围为（0, 1）,于是当0Vx<1时，xfX（x） =f （x,y）

16、dy，1dy = 2x.一-x故fX（x）= 2x又Y的取值范围为（-1, 1）,于是当|y|<1时故:fY（y）;+oCf（x,y）dx 二 3311dx=1-y,0My 1, y 11dx=1 y,-1 y 0.-yfY（y）二1一|y|,|y| 1, 0,其它因为在Y=y的条件下，当 y正(-1,1)时fy(y) = 0 , X的条件下分布不存在；当Ye(_1,1)时，fY(y)=1 |y|,故X的条件密度函数为f(x|y广1 ,|y|：x：1,/ 1-|y|0,其它同理可得:f(y|x2x,|y| x 1,0,其他5.某种商品一周的需求量 X是一个随机变量,其概率密度为f(x)

17、= - xxe ,x 00,其他假设各周的需求量相互独立，以 Uk表示k周的总需求量(1) 求U2,U3的概率密度(2) 求接连三周中的周最大需求量的概率密度。分析： 若以Xi表示第i周的需求量i =1,2,3,则X1,X2,X3相互独立且同分布，U2 =X1 +X2,U3=X1 +X2 +X3,Z=maxX1,X2,X3L 从而问题归结为求随机变量X1,X2,X3的函数的分布解：利用卷积公式设Xi表示第i周的需求量i =1,2,3, Z表示三周中的周最大需求量，于是U2 =X +X2,U3 =X +X2 +X3,Z =maxX1,X2,X3,且*1，*2 ,X3 与 X同分布(1) 由卷积公

18、式，U2的密度为fu(x)=_ fxi(t)fx2(X- t)dt-oO二 f(t)f(x -t)dtoOxte_t(x-t)e-(x4)dt,x 0 0Ox_0.-x3e-x,x 06,x.oM(x)=. fu2(t)fx3(x-t)dt-QUx 1 3 t t3e-t0 60,x<0Ljx-t)e-(x-t)dt,x 0I卷n0 0,x-0(2) 因为Z的分布函数为Fz(z)= P z)故Z的密度函数为=P(max ： X1, X2, X3- - z)=P(Xi ± z,X2 ± z,X3 ' z)=P(X- z)P(X2 £ z)P(X3 &#

19、39; z)3z二 _： f(x)dx0,z_0z 31-(1 z)e-z0,z<0,z 0fz(z)Fz(z)= 3ze-z(1 -e-z-ze-z)2,z 0 0,z-06.设随机变量X与Y相互独立，X的密度函数为f(x), Y的分布律为P(Y = a。= Pi,i = 1,2, W ,n.试求 Z = X + Y 的密度函数分析：这是一个求两个随机变量的和函数的分布问题，两个随机变量中一个为离散型，另一个为连续型，从而写不出“联合密度”，因此在分布函数的求法，也就是概率的计算方法上有所不同解： 因为Z的分布函数为Fz =P(Z < z)= P(X Y < z) n=&#

20、163; P(Y =a)P(X 十丫 EzY =ai),(全概率公式) i =1n=' P(Y =a)P(X Hz-a |Y =ai) i =1n=P PiP(X Ez ai),(因X与丫独立) i 1z，Pi . f(x)dx,因此，Z的密度函数为：nfz(z) =F z(z) = " Pi f (Z -a)i=1第四章1 .设学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，设在各交通岗遇到红灯是相互独立的，其概率均为2/5,求途中遇到红灯次数的数学期望与方差。解：设X表示途中遇到红灯的次数，则 XB(3,2/5),所以E(X尸np=3 X 2/5 = 6/5D(X)=np(1-p)

21、=3 X 2/5X3/5=18/252 .设相互独立的两个随机变量X, Y具有同一分布，且 X的分布律为X01p1/21/2求Z=min(X,Y)的数学期望与方差。解：因X与Y独立同分布，所以(X, Y)的联合分布律为:0101/41/4_L1/41/4由此得Z=min(X,Y)的分布律为:Z=min(X,Y)01p3/41/4因此 E(Z)=0*3/4+1*1/4=1/4E(Z2)=02*3/4+1 2*1/4=1/4D(Z)=E(Z 2)-E(Z) 2=1/4-1/16=3/163 .设随机变量X的概率密度为尸 ax,0<x<2f(x)= c cx+b2 W x M 40 0

22、其他又已知 E(X)=2 , D(X)=2/3 ,求：(1) a,b,c 的值(2) 随机变量Y=eX的数学期望与方差解：(1)因为f(x)为概率密度函数，故二24f (x)dx = ° axdx， (cx b)dx = 1即有：2a+2b+6c=12 o4又 E(X) = xf (x)dx = ° ax dx， x(cx b)dx = 2故有 4a+9b+28c=3因D(X)=2/3 ,于是E(X2); D(X) E(X)2 =14/32： ； 22 o4 o即 E(X ) = x f (x)dx = ° ax dx，I x (cx b)dx = 14/3于是有

23、 6a+28b+90c=7联立(1)、(2)、 (3)解得 a=1/4、 b=1、 c= - 1/4(2)由(1)知l x/40<x<2x一一一f(x)=1 +12 <x <44V0其他于是_ X .“'x _2 x x 4 x x 122E(Y) = E(e )=e f(x)dx = 0 4e dx 2 ( - 4 1)e dx = 4 (e -1)24E(Y2) =E(e2X)二匚e2xf(x)dx = 0 e dx 2 (5 1)e2xdx = * (e4 - 1)21故 D(Y) = E(Y2) -E(Y)2e2(e2 -1)244.设 X-N(1 ,

24、d 2), Y-N(1 ,(t2),且设 X, Y 相互独立，求 Zi= aX+3 Y,乙=a X- 3 Y 的相关系数(其中a 3是不为0的常数)解：Cov(Z1,Z2)=Cov( aX+3 Y, a X- 3 Y)a Cov(Y, X)- 3 2Cov(Y,Y)2一一=a 2Cov(X,X) - a 3 Cov(X,Y)+a 2D(X)- 3 2D(Y)=(a 2- 3 2) d 2又X, Y相互独立，所以D(Z1)=D( a X+3 Y)=a 2D(X)+32D(Y)= (a2+ 32)(r 2D(Z2)=D( a X- 3 Y)=a 2D(X)+32D(Y)= (a2+ 32)(r 2

25、故7 二 _Cov(Zi ,Z2)_ =(二2二2)二2 二二-I2*2D(乙).D(Z2)(二 2/)二2： 2-25.卡车装运水泥，设每袋水泥重量X (以公斤计)服从N(50,2.52),问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05。解：设最多装 n袋水泥使总重量超过 2000的概率不大于0.05, n袋水泥的总重量为 Y, Xi 表示第i袋水泥的重量， i=1,2n ,则 Xi, X2,Xn独立同服从 N(50,2.52),且Y=Xl+X2+Xn,于是E(丫尸E(X 1)+ E(X 2)+ E(X n)=50nD(Y尸 D(X 1)+ D(X 2)+ D(X n)= 2.5

26、2n 即 丫N(50n, 2.52n),PY 2000 M 0.05= PY < 2000 , 0.95Y -50n2000 -50n、, 2000 -50nx 八”PY _ 2000 = P()=(), 0.952.5 . n 2.5 . n2.5 . n查表得2000 -50n2.5. n,1.65= n _ 39.7故最多装39袋水泥。6.(1)求旦和普(星八求X 9团的协方差，并问X。区是仃相关；门)X叮工是否独立？为什么？解；门)E(X) = f支与-叫在二0(因为被积函数为奇函数，积分区域关于原点对称) /-£>叫X)二(2) cov(A;|.Y|)=f(.V

27、|.Y|)- E(X)£(| X |)=J t I T*- “V = 0 DD因而X与|x|不相关(3)对于给定的。(戊有|X 区 a仁X< a且严 fX a<lP| X 恒 a >。故PX . a P| <区 a < P| X |£ <x即PX 4凡| X m a= P| X |£ a本 PX S a P|X|S a)因而|X|与X不独立第五章1.现有一大批种子，其中良种占1/6,现从中任取6000粒种子，试分别用切比雪夫不等式估计和用中心极限定理计算这6000粒种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值不超过0.01的概率。解

28、：设X表示所取的6000粒种子中良种的粒数，由题意可知X B(6000,1/6),因此E(X)=np=1000 , D(X)=np(1-p)=5000/6 ,要估计的概率为P(6000<0.01)。(1)由切比雪夫不等式知,P(X 16000 一 60.01) = P(X -1000 <60) >1-D(X) . 500012- = 1 = 0.768560263600(2)由德莫弗一拉普拉斯中心极限定理知:P(6000<0.01) = P(X -1000 <60) = P(X -10005000T60一)：. 2 0.98124-1500060.96252. 一个食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格 是一个随机变量，它取 1 (元)、1.2 (元)、