八年级数学下册第9章中心对称图形—平行四边形94矩形、菱形、正方形菱形学案苏科版

1、10 / 9菱形【学习目标】1 .理解矩形、菱形与一般平行四边形之间的共性、特性和从属关系；掌握菱形的概念、性 质与判定.2 .会求菱形的面积及对角线、对角线的交点到边的距离等线段的长度，注意它与其他几何 图形的关系，以及与函数的综合运用.3 .会解答有关菱形的折叠、面积、旋转、动点等问题.【知识点】1.有一组邻边的平行四边形叫做菱形.3 .菱形的性质：菱形的四条边；菱形的对角线.4 .菱形的判定：四条边的四边形是菱形；对角线的四边形是菱形.5 .四边形ABCD勺对角线互相垂直，则这个四边形的面积是对角线长度的乘积的.【例题精讲】考点一：菱形中的线段关系例1.如图，四边形 ABCDW四边形AE

2、CF都是菱形，点 E、F在BD上，已知/ BAD 120° ,/EAF= 30。,贝U AB =.AE例2.如图，已知菱形 ABCD勺对角线 AC= 2, /BAD= 60° , BD边上有2013个不同的点 P1, P2,，P2013,过 Pi (i = 1, 2,，2013)作 PiEi ±AB于 Ei , PiFi LAB于 Fi ,则 P1E1+P1F1+ P2E2+ P2F2+ P2013E2013+ P2013F2013 的值为.例3.如图，在菱形 ABCD43,对角线 AC BD相交于点 O, AC= 6, BD= 8,点P是AC延长线上的一个动点，

3、过点P作PE!AD垂足为E,作CD延长线的垂线，垂足为E,则PE PF考点二：菱形中的角的关系例4.如图，在菱形ABCD43, E、F分别是AR BC边的中点, 则/ FPC的度数是.EP± CD于点 P, /BAD= 110° ,考点三：菱形与面积问题例5.如图，在 Rt/AOB的平分线 ONL上依次取点 C、F、M,过点C作DHOC分另交 OAOB于点D> E,以FM为对角线作菱形FGMH 已知 / DF巳 Z GFH= 120° , FG= FE, 设oc= x,图中阴影部分面积为 v,则y与x之 间的函数关系式是A. y -x2 B . y V3x2

4、2C. y 2由x2 D . y 373x2例6 .如图，在边长为2的菱形 ABC邛，/ B= 45° ,AE为BC边上的高，将 ABE沿AE所在直线翻折得 AB1E,则4AB1E与四边形AECDt叠部分的面积为A. 0.7B. 0.9C. 2 . 2 2D,二2例7.如图，菱形ABCM一个内角是60° ,将它绕对角线的交点O顺时针旋转90。后得到菱形A B' C' D',旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为8J3 8 ,则菱形ABCD考点四：菱形与图形变换问题例8.如图，菱形 OABM顶点O在坐标系原点，顶点 A在x轴上，/B= 120°

5、 , OA= 2,将 菱形OABCg原点。顺时针旋转105。至OA B C'的位置，则点 B'的坐标为A.（近,后B.（衣，正）C. （2, - 2）d.（V3,向）例9.如图，菱形 ABCM, E是AD的中点，将 CDE沿CE折叠后，点A和点D恰好重合,若菱形ABCD勺面积为4用,则菱形ABC曲周长是A. 8版 B. 1672c. 8屈 D. 16.73例10.如图1,已知AC是矩形纸片 ABCM对角线，AB= 3, Z ACB= 30° ,现将矩形 ABCD 沿对角线AC剪开，再把 ABC沿着AD方向平移，得到图 2中A' B' C',当四

6、边形 A ECF是菱形时，平移距离 AA'的长是图图A. .3B. 33C, 2,3D. 922例11.如图，菱形OABC勺面积为3瓜顶点。的坐标为（0, 0）,顶点A的坐标为（3, 0）,顶点B在第一象限，边 BC与y轴交于点D,点E在边OA上，将四边形ABD的直线 DE翻折，使点A落在第四象限的点 F处，且FE± EA则直线OF的解析式为.例12.如图，在坐标系中放置一菱形OABC 已知/ABC= 60° , OA= 1,先将菱形 OABO x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60° ,连续番S转2015次，点B的落点依次为B1,B2, B3,，则 B20

7、15的坐标为.考点五：菱形与一次函数4 例13.如图，直线y x 4与x轴、y轴分别交于点 A、B,点C是线段AB上一点，四 3边形OADO菱形，则OD的长为.例14.如图，菱形 ABO计，对角线 OA在y轴的正半轴上，且点C,则菱形ABOC勺面积是.考点六：菱形中的动点问题例15.如图，在 RtABC中，/ AC由90° , AC= BC= 6cm,动点P从点A出发，沿 AB方向以每秒J2 cm的速度向终点B运动；同时，动点 Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点 C运动，将APQC沿BC翻折，点P的对应点为点P',设Q点运动的时 间为t秒，若四边形 QP CP为菱

8、形，则t的值为例16.如图，在菱形 ABCD43, AB= 45 /ADC= 120° ,点 E、F同时由A、C两点出发,分别沿AR CB方向向点B匀速移动（到点速度为2cm/s,经过秒 DEF为等边三角形.B为止），点E的速度为1cm/s,点F的考点七：菱形中的最值问题例17 .如图，将两张长为 8宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分呈一个菱形，则菱形周长的最大值是.例18.菱形ABCD&平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点 B (2, 0), /DOB= 60° ,点 P是对角线 OC上一个动点，E (0, - 1),当EP+ BP最短时，点 P的坐标为.例19.我

9、们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，等积线被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“等积线段”(例如三角形的中线就是三角形的等积线段).已知菱形的边长为 4,且有一个内角为 60。，设它的 等积线段长为m1则m的取值范围是A. m 4 或 m 473b. 4 m 4J3C 2,3 m 4.3d. 2 3 m 4考点八：菱形与其它综合问题例20.如图，在菱形 ABCD43, AB= BD,点E、F分别在BG CD上，且BE= CF,连接BF、DE交于点 M 延长DE到H使DE= BM 连接AM AH,则以下四 个结论：BDFADCE/ BMD= 120

10、6; ;八卜 MH等边三角形.其中正确结论的个数是A. 0B .1 C . 2 D . 3例20.如图，菱形 ABC邛，E F分别是边AD CD上的两个动点(不与菱形的顶点重合)，且满足 CF= DE, / A= 60° .(1)写出图中一对全等三角形：；(2)求证： BEF是等边三角形；(3)若菱形ABCD勺边长为2,设 DEF的周长为m,请直接写出 m的取值范围；(4)连接AC分别交边 BE BF交于点M N,且/ CBF= 15° ,试说明：MN2+ CN2 = AM2.【针对练习】1 .下列性质中菱形不一定具有的性质是A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直C.对角线

11、相等D.既是轴对称图形又是中心对称图形2 .平面直角坐标系中，四边形ABCD勺顶点坐标分别是 A (-3, 0), B (0, 2), C (3,0), D (0, -2),则四边形ABCD是A .矩形B.菱形 C .正方形 D .平行四边形13 .如图，菱形 ABCM对角线相交于点 O,过点D作DE AC且D已一AC,连接CE OE,2连接AE交0廿点F.若AB= 2, / ABC= 60° ,则 AE的长为A . 73b. 75c. "d. 2724 .如图，在菱形 ABCD4 / A= 60° , AD= 8, F是AB的中点.过点 F作FEL AD,垂足为

12、 E.将AEF沿点A到点B的方向平移，得到 A'E'F'.设P、P'分别是EF、E'F'的中点, 当点A'与点B重合时，四边形 PP'CD的面积为A . 28*B. 24瓶C. 3273D. 3273 85 .如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A (2, 0), B (1, 1).若平移点A到点C,使以点0, A, C, B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是A .向左平移1个单位，再向下平移 1个单位B.向左平移(2位 1)个单位，再向上平移 1个单位C .向右平移J2个单位，再向上平移 1个单位D.向右平移1个单位，再

13、向上平移 1个单位第3题第4题第5题6 .如图，把菱形 ABCDgAH折叠，使B点落在BC上的E点处，若/ B= 70° ,则/ EDC的大小为A . 10° B. 15° C. 20° D. 30°7 .如图，两个完全相同的三角尺ABC DEF在直线l上滑动，可以添加一个条件，使四边形CBFE为菱形，下列选项中错误的是A . BD= AE B . CB= BFC. BEX CF D . BA平分 / CBF第 6 题8 .如图，在 ABC中，/ABC= 90° , BD为AC的中线，过点 C作CE! BD于点E,过点A作BD的平行线

14、，交 CE的延长线于点 F,在AF的延长线上截取 FG= BD,连接BG DF.若CF= 6, AC= AF+2,则四边形 BDFG勺周长为A. 9.5B. 10C. 12.5D. 20第7题第8题9 .如图，ABC皿菱形，AC是对角线，点E是AB的中点，过点E作对角线AC的垂线，垂足 是点 M 交AD边于点F,连结DM若/ BAD= 120° , AE= 2,则DhM=.10 .在菱形ABCD43, /BAD= 120° , BC= 1,点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D (P、D两点不重合)两点间的最短距离为.11 .如

15、图，在菱形 ABCD中，/ BAD= 120°，点 E、F分别在边 AR BC上， BEF与 GEF 关于直线 EF对称，点 B的对称点是 G,且点G在边AD上，若EG±AC, AB= 2,则FG 的长为.12 .如图，在菱形 ABCD, / B= 60° , AB= a,点E, F分别是边 AB, AD上的动点，且 AE + AF= a,则线段EF长度的范围是.第9题第11题第12题13 .如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形.小米的作法是：连接AC,彳AC的垂直平分线 MN别交AD AC, BC于M, O, N,连接AN, CM则四边形ANCM菱形.则

16、 小米的依据是.14 .如图，在正五边形ABCD即，连接AGARCE,CE交AD于点F,连接BF,则线段AGBF、CD之间的关系式是.15 .如图所示，已知平行四边形ABC邛,AB= BC, BC= 10, / BCD= 60° ,两顶点 R D分别在平面直角坐标系的 y轴、x轴的正半轴上滑动，连接 OA则OA的长的最小值是.第14题第15题16 .如图，在 RtABC中，/ BAC= 90° , D是BC的中点，连接 AD, E为AD的中点，过 A 作AF/ BC交BE延长线于F,连接CF.(1)求证：四边形 ADCE菱形；(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与A

17、CD面积相等的三角形(不包含 ACD .17.如图，在 RtABC中，/ ACB= 90°，点 D是边AB的中点，点 E在边BC上,AE= BE,点M是AE的中点，联结 CM点G在线段CM上,DG= DN作/ GDNk / AEB交边BC于N.求证:18.如图， ABC是等边三角形，点 E, F分别在BC,于点G.将 ABC沿AB边折叠得到 ABD结DH连结(1)(2)求证：四边形 DBCA菱形；若菱形DBCA勺面积为8察,-DBDG19.如图,NDAC上，且BE= CF,连结AE与BF相交DG延长EA到点H,使得AH= BG连42 -求 DGH勺面积.5HS四边形 ABCD43,对角线 AG BD相交于点 O, O为AC BD的中点，AB= 10, AC= 16, BD= 12.(1)四边形ABCD什么特殊的四边形？请证明；(2)点P在AO上，点 Q在DO上，且 AP= 2OQ若PQ= BQ 求AP的长.D0P20.4- 已知如图，直线 y x 8与x轴、y轴分别交于点N、M菱形ABCM各顶