矩阵行列式的概念与运算(标准答案)

1、矩阵、行列式的概念与运算知识点总结:、矩阵的概念与运算矩阵a11a12a!3中的行向量是2、如:ACa21a22a23ra11a12a13 ，ba21a22a23a11a12a21a22,Bb11b21bl2b22,Cc11c12c13,那么c21c22c23a11a21b1b21a12a22b12b22,3A3a113a213a123a22a11c11a21C11a12c21a11c12a22c21a21G2a12c22a22c22a11c13a21G3加法满足交换律和结合律，即B A, A (B C) (AB) C 。同理如果矩阵A, B是两个同阶矩阵,a12c23a22c23如果A,B,

2、C是同阶的矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵那么有：C叫做矩阵A与B的差，记作C A Bo实数与矩阵的乘法满足分配律：即a(A B) aA aB。矩阵对乘法满足： A(B C) AB AC , (B C )A BA CA , a(AB) (aA)B A(aB)(AB)C A(BC)3、矩阵乘法不满足交换率，如a1a2bib2ci2d1d2c1c2d1a1bd2a2b2矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A的列数与右边矩阵B的行数相等,足交换率，不满足消去律。二、行列式概念及运算1.用记号a1bia2b2表不算式a1b2a1a2bb2=abza2b淇中a1a2而且矩阵的乘法不满b1人/

3、 ,叫做二阶行列式b2算式a1 b2 a2b1叫做二阶行列式的展开式；其计算结果叫做行列式的值；a1,a2,bi,b2都叫做行,* 一八 a14, ,一，列式的元素.利用对角线可把二阶行式写成它的展开式，这种方法叫做二阶行列式展开的a2 b2对角线法则；即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积2.二元一次方程组的解次方程组aixa?xbiyb2 yG（其中ai,a2,bi,b2不全为零）;记C2aibia2b2叫做方程组的系数行列式;记Dxc2bib2，Dya2c2即用常数项分别替换行列式D中x的系数或y的系数后得到的0,则方程组有唯一一组解,xDx6，yDyD(2)0,且Dx，D

4、y中至少有一个不为零，则方程组无解； Dx Dy 0,则方程组有无穷多解.3。三阶行列式及对角线法则aia2a3bi b2 b3CiC2C3我们把a2a3bib2b3表示算式；其结果是 ab2c3a2b3Ga3biC2a3b2Cia2biC3a1b3c2.CiC2C3叫做三阶行列式；a1b2c3a2b3cla3ble2a3b2cla2ble3a1b3c2 叫做三阶行列式的展开式.其计算结果叫做行列式的值;ai ,bi, q （i i,2,3）都叫做三阶行列式的元素.4.三阶行列式按一行（或一列）展开把行列式中某一元素所在的行和列去后，剩下的元素保持原来的位置关系组成的二阶行列式叫做该元素的余子

5、式；余子式前添上相应的正负号叫做该元素的代数余子式;其中第i行与第j列的代数余子式的符号为（i）i三阶行列式可以按其一行或一列）展开成该行（或该列）元素与其对应的代数余子式的乘积之和三阶行列式有有两种展开方式：（1）按对角线法则展开，（2）按一行（或一列）展开.5.次方程组的解aixbiycza2xb2 yc2za3xb3 yc3Z次方程组Cidid2 (其中(ai,bi,G(id31,2,3）不全为零）;a2a3bi b2 b3C2C3dibiciaidicid2b2c2，Dya2d2c2d3b3c3a3d3c3为方程组的系数行列式；记DxaiDza2a3bib2b3di d2 d3，即用常

6、数项分别替换行列式D中x或y或z的系数后得到的(1)当D 0时，方程组有惟一解DxDDyDDzD(2)当D 0时，方程组有无穷多组解或无解举例应用:、填空题:已知A.B，则 3A B解:3A B2、已知A解:3、解:11,B10ABABBA已知A,B,C1510则(AB)C(AB)C151012371292 ;A(BC)5 A(BC)6151012371292a b4。矩阵的一种运算c daxcxby该运算的几何意义为平面上的点（x, y）在矩阵dy 'a b .的作用下变换成点c d(axby,cxdy）,若曲线x2 4xy 2y2 1在矩阵1 a.入的作用下变换成曲线x22y21,

7、则a b的值为1解：由题息bxay2,代入xy2y2 1 ,整理可得令bxayx'y,'2(x ay)2(bxy)2(12、 22b )x_2_22(a 2b)xy (a 2)y1 ,用待定系数法1 2b2 12(a 2b) a2 2 2二、选择题5、给出下列三个式子:(1)a11ai2a22b12b22bnb21b12a11b22a21ai2a22(2)ana12a13bnb21 b31a11blia12b21a13b31(3)a11a12a13a11呢a13bnb21b31其中正确的式子的个数是解：由于上面各命题都不对,所以选择（A)6.下面给出矩阵的一些性质中正确的是（=

8、BAB 若 AB=(0)则 A=(0)或 B=(0)C.若 AB=AC贝U B=C D.(AB)C=A(BC)解：根据矩阵的性质，知道（ A）, （B）, （C）都不对，所以选取（D）4x7、已知A2y,B,若A=2B则x,y的值分别为,2B22,1D.不存在解：由A 2B2y2y 18、下列说法正确的是（A.任意两个矩阵都可以相加B.任意两个矩阵都可以相乘C.一个m k阶矩阵与一个n阶矩阵相乘得到一个8 2y2xn阶矩阵D.一个k m阶矩阵与一个k阶矩阵相乘得到一个n阶矩阵解：根据矩阵的乘法性质，得到0成立。三、解答题9、已知矩阵解：设X由 2A 3XB,10 .给出方程组,ax 2y解：由

9、ax2xa 23,B6 3a11103X3aii3a21X ,使 2A 3X B3a123a2210 3a138 3a233a123a1：3a23a223a23a12a13a22a232y 36y 1 03 J 3 3有唯一解的充要条件2x 6y1即对应2 3a 03a3 8a2 3a8即2V(22 3a)x8a一8,所以当且仅当3a2 一一时有唯一解。3(2)解：(1)(2)证明:(2)那么则当根据31的值;1由此猜想:(1)当 nk(k(n2,n2时,2,k等式成立:)时,下面用数学归纳法加以证明等式成立,1时,等式成立。(2)的证明知等式对2,n都成立。该商场的供货渠道主要是甲、乙两12

10、、某电器商场销售的彩电、U盘和MP3播放器三种产品。个品牌的二级代理商。今年 9月份，该商场从每个代理商处各购得彩电100台、U盘52个、彩电U盘MP3播放器甲代理商单价23501200750乙代理商单价2100920700MP3播放器180台。而10月份，该商场从每个代理商处购得的产品数量都是9月份的倍。现知甲、乙两个代理商给出的产品单价(元)入下表所示:(1) 计算 1100 52 180 ,并指出结果的实际意义;1.5(2) 用矩阵求该商场在这两个月中分别支付给两个代理商的购货费用。“100 52 180解：(1),第一行表木 9月份该商场从两个代理商处购得的彩电、U盘、150 78 2

11、70MP3播放器的数量，第二行表示10月份该商场从两个代理商处购得的彩电、U盘、播放器的数量。2350 2100100 52 180(2)1200 920150 78 270750700432400 383840648600 575760即9月份付给甲代理商的购货费为432400元，付给乙代理商的购货费为 383840元；10月份付给甲代理商的购货费为648600元，付给乙代理商的购货费为575760元。13.关于x,y的二元方程组解x my 2mmx y m0、，并讨论解的情况1(1 m)(1 m)2m mDx2m m(m 1)m 1 1m(1 m)Dy1 2m2m 1 2mm m 1(2m

12、 1)(1 m)(1)当 D0,即m1,且m 1时方程组有唯一解mm 12m 1m 1(2)当m 1时，D Dx Dy 0,方程组有无穷多组解，此时方程组可化为令 x t(t(3)当 mR)，则原方程组的解可表示为1时，D 0,但Dx 2 0,方程组无解。14.已知函数f(x)(1) 当a 2时,xx /e ae 12ex解不等式f(x)7；(2)求a的取值范围，使得解(1)：原不等式即为(ex)2f (x)在 1,1上是单调函数。2( 2ex 1) 7,解得 x ln5 ；(2) f (x) (ex)2 2aexx 、22x2 (e a) 2 a ,且 e1,e，当 a ee,或a1 ,一时

13、, ef(x)在 1,1上是单调函数。a 1解：D 1 a11ax y z 115.解方程组：x ay z a a R2x y az a12_2_1 a 3a 2 (a 1) (a 2)a111Dx aa12.a1aa11Dy1a1d21aaa11Dz1aa11a22(a 1) (a 1),(a 1)2,(a 1)2(a 1)2,a 1a 2(1)当a 1且a2时，方程组有唯一解1a 2(a 1)2a 2(2)当 a2时，原方程组为2x y z 1 y zx 2y z2消去x得y zx y 2z 41，所以方程组无解3z 1z 1，所以方程组有无穷多解z 1x y当a 1时原方程组为x yx

14、yabc116.已知行列式bac1cab1(1)写成元素bc的余子式，代数余子式B;(2)将该行列式按第二列展开abc 1b a0bac 10c acab 100 c0求证:0b(4)若a,b,c为整数,试判断该行列式的值能否被b整除;解：(1) bc的余子式为，代数余子式Bibc(2)按第二列展开为bcacbcacabbcacababacabbc(bc)ac(a c) ab(a b)=(ba)(ca)(cb)(4)值能被bcacab(b a)(c a)(cb)，又a,b, c为整数，所以c a, cb也为整数，该行列式的a b整除.X1y1X2y2X3y3的值的D17.顶点为A(x1,y1)

15、, B(x2,y2),C(x3,y3)的 ABC的面积等于行列式绝对值的半。试用此结论求:(1)求以(1,1), (3,4),(5, 2),(4, 7)为顶点的四边形的面积;(2)已知0 ,若(1,4), (6,5)和(4,3)所对应的点分别为P,Q, R ,你能得出什么结论解：作图可知四边形ABCD由两个三角形 ABC与CDA组成。由已知可得:S ABC，一一 1的绝对值=62(2)(26)的绝对值=9。S CDA的绝对值5)(1)27的绝对值232所以所求四边形的面积为ABCS CDA23241o2(3) 依题息：S PQR的绝对值所以 PQR的面积为0,从而点P,Q, R三点共线。sin x18。已知函数 f(x)sin xV3cosxsinx的定义域为0, ,最大值为4.试求函数2mg(x) msin x 2cos x (x