点线面的位置关系高考试题及答案

1、ABCD-ABCD 中,AD / BC,AD±点直线平面之间的位置关系二、填空题1. (2012年高考(四川文)如图，在正方体 ABCD AB1GD1中，M、N分别是CD、CC1的中点,则异面直线 AM与DN所成的角的大小是 .2. (2012年高考(大纲文)已知正方形 ABCD AB1c1D1中，E,F分别为BB , CG的中点，那么异面直线 AE与DF所成角的余弦值为 .三、解答题3. . ( 2012 年高考(重庆文)已知直三棱柱 ABC ABC1中，AB =4, AC =BC =3, D 为 AB 的中点.(I )求异面直线CC1和AB的距离；(n )若AR _L AC ,求

2、二面角A1 -CD -B1的平面角的余弦值4. (2012年高考(浙江文)如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥AB,AB=J2.AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD的中点，F是平面 B1CE与直线 AA的交点.(1)证明：(i)EF II A1D1；(ii)BA 1，平面 B1C1EF;(2)求BC与平面B1C1EF所成的角的正弦值e 5. . ( 2012年高考(天津文)如图，在四棱锥PABC斗，底面ABC皿矩形，AD _ PD,BC =1,PC =2、3, PD = CD =2.(I)求异面直线PA与BC所成角的正切值；(II)证明平面PDC _L平面ABCD ;(III)求直线PB与平面A

3、BCD所成角的正弦值.b-khrougof polcy, a nd -aci - innovaton of it, d aop.d out pm.t w o.s of, ad gassr oots we com.66. .( 2012 年高考(四川文)如图，在三棱锥 P-ABC中，2APB =90° , ZPAB =60°, AB = BC =CA，点 P 在平面 ABC 内的射影 O 在 AB上.(I )求直线PC与平面ABC所成的角的大小(n)求二面角B-AP-C的大小.7. (2012年高考(上海文)如图，在三锥 P-ABC43 ,PAL底面 ABCD是PC的中点.已

4、知/ BA(=-2 , AB2 AC：2 J3 ,PA=2.求：三棱锥P-ABC勺体积；(2)异面直线BC与AD所成的角的大小(结果用反三 角函数值表示).8. （2012年高考（陕西文）直三棱柱 ABC- ABC中,AB=A Ai , ZCAB =2(I )证明 CB1 _LBA1;(n )已知AB=2,BC=J5,求三棱锥C1 _ ABA1的体积.9. . （ 2012年高考（山东文）如图，几何体E ABCD是四棱锥, ABD为正三角形，CB =CD,EC _BD .（I ）求证：BE =DE；（n）若/ BCD =120* M为线段AE的中点， 求证：DM /平面BEC .10. （20

5、12年高考（辽宁文）如图，直三棱柱 ABC -A/B/C/, /BAC =90、AB=AC=J2,AA，=1,点 MN分别为 A/B 和 B/C/的中点.(I )证明：MN /平面 A/ACC /;(n )求三棱锥 A/ -MNC的体积.(椎体体积公式 V=1Sh,其中S为地面面积，h为高)311. . ( 2012年高考(课标文)如图，三棱柱ABC-ABCi中，侧棱垂直底面，/一 1 一 ，一，ACB=90 ,AC=BC=2AA,D 是棱 AA 的中点.(I)证明：平面BDC1，平面BDC1(n )平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比12. （2012年高考（湖南文）如图6,在四

6、棱锥 P-ABCD中，PAL平面 ABCD底面ABC皿等腰 梯形,AD / BC,AC± BD.（I ）证明:BD±PC;（n ）若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30° ,求四棱锥P-ABCD勺体积.13. （2012年高考（广东文）（立体几何）如图5所示，在四锥P - ABCD中，AB_L平面PAD , AB / CD , PD = AD , E是PB的中点，F是DC上的点且1DF = AB, PH为APAD中AD边上的局.2(I )证明：PH _L 平面 ABCD ;(n )若 PH =1, AD = J2, FC =1,求三棱锥 E -B

7、CF 的体积；(m )证明：EF，平面PAB .14 .(2012年高考(福建文)如图，在长方体 ABCDAB1C1D1中，AB = AD=1, AA=2,M为棱DDi上的一点.(1)求三棱锥A MCC1的体积；(2)当AM +MC取得最小值时，求证：B1M _L平面MAC .15. (2012年高考(大纲文)如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为菱形，PA _L底面ABCD , AC=2J2, PA=2, E 是 PC 上的一点，PE=2EC.(I )证明：PC，平面BED ；(n )设二面角A - PB C为90。，求PD与平面PBC所成角的大小breakthrough of poli

8、 cy, a nd execi se inovaton of it, develped out pmet w o.s of, ad gassr oots we come916. (2012年高考(江苏)如图,在直三棱柱ABCAB1cl中，AB1MAC1, D , E分别是棱BC , CCi上的点(点D不同于点C ),且AD _L DE , F为BQi的中点.求证:(1)平面ADE_L平面BCC1B1；(2)直线AF /平面ADE .e 参考答案一、选择题1 .【答案】B【命题意图】本题考查的是平面几何的基本知识，具体为线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性质.【解析】利用排除法可得选

9、项 B是正确的，l / a, l，3 ,则a，3 .如选项A: l / a, l /3 时，a，3 或 a/ 3 ;选项 C:若 a, 3 , l ±a, l / 3 或 l u P ;选项 D:若若 a1 3 , l 1a, l / 3 或 l，3 .2 .答案C解析若两条直线和同一平面所成角相等 ，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也 可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行 ，也可以垂直；故D错； 故选项C正确.点评本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练

10、掌握课本基础知识的定义、定理及公式.3 . D二、填空题4 .答案90 0解析方法一：连接DM,易得DNL A1D1 ,DN ±DM,所以，DNL平面AMD,又A1M匚平面A1MD,所以，DNAQ,故夹角为 900方法二：以D为原点，分别以DA, DC, DD 1为x, y, z轴，建立空间直角坐标系D-xyz.设正方体边长为 2,则 D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A1(2,0,2)故，DN = (0,2,1) ,MA1 =(2, -1,2)所以，cos< <DN,MA1 )= DN *MA1 = 0,故 DNL DM,所以夹角为 90o |DN |

11、MA1 |点评异面直线夹角问题通常可以采用两种途径：第一，把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理；第二，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式解决.5 .【解析】正确的是四面体ABCD每个面是全等三角形，面积相等从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于1800连接四面体ABCD每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分从四面体 ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长三、解答题16 .【答案】:(I)( n)一3【解析】:(I )如答(20)图1,因AC=BC, D为AB的中点，故CD _L AB.又直三棱柱中，CC1 _L面ABC ,故CC1，CD ,所以异面直线C

12、G 和AB的距离为b-khrougof polcy, a nd -aci - innovaton of it, d aop.d out pm.t w o.s of, ad gassr oots we com.10在矩形 ABBA 中，F 是 AA 的中点，即在矩形ABBA4,BH =心，得CD= BC2 -BD2 -5(n):由 CD _l AB,CD _l BB,故CD _L 面 AABB，从而 CD _L DA，CD _L DBi故/ADB1为所求的二面角 ACDB1的平面角.因AD是AC在面AABB上的射影,又已知AB, 1 AC,由三垂线定理的逆定理得AB _LAD,从而 /AAB,

13、/ADA都与 /B1AB互余，因此 /AAB1 = / A DA,所以RtJAAD0RtLB1AA,因此JAA1=JA1B1得AA2=AD AB1 =8AD AA1从而 AD= . AAi2 AD2 = 2 .3, BiD = AD = 2,3AD2 DB/-AB/1所以在Ai DB1中，由余弦定理得 cosA1DB1 =-2AD DB137.【命题意图】本题主要以四棱锥为载体考查线线平行，线面垂直和线面角的计算，注重与平面几何的综合，同时考查空间想象能力和推理论证能力.(1)(i)因为 Ce/AQ, CB1s 平面 ADD A1,所以 GB/平面 ADD A1.又因为平面B1GEFI平面AD

14、D A1=EF，所以C闰VEF .所以A1D1/EF .(ii)因为 BB _L A1B1C1D1,所以 BB1 .L B1C1,又因为 BB _L BA,所以 BC1 1 ABBA ,tan/AB1F=tan/AAB-e 即2/ABF =NAAB,故 BA -L B1F .所以BA，平面B1cl EF .(2)设BA与BF交点为H,连ZC1H .由(1)知B1C1EF ,所以/BG H是BG与平面B1C1EF所成的角.中，AB=J2, AA=2/HBH =%,在直角 LbHG 中，BG=23Q breakthrough of poli cy, a nd execi se inovaton o

15、f lit, develped out velpmet w o.sof, ad gassr oots we come s ofVe 8.在 RtAPCB 中，pb = Jpc2 +BC2 =而,在 RUPEB 中，sin/PBEPEPB39一 13sin/BC1H =里 =Y30 ,所以BC与平面4C1EF所成角的正弦值是 叵. BC11515解:(1)如图,在四黏t P ABCD中，因为底面 ABCD是矩形，所以AD = BC ,且AD / / BC , 又因为 AD _L PD ,故/ PAD或其补角是异面 直线PA与BC所成的角.PD 一 在RtAPDA中，tan/PAD =2 ,所以异

16、 AD面直线PA与BC所成角的正切值为 2.(2)证明：由于底面ABCD是矩形，故AD _LCD ,又由于 AD _L PD , CD c PD = D ,因此 AD _L 平面 PDC，而 AD 二平面 ABCD ,所以平面PDC _L平面ABCD . 在平面 PDC内，过点P作PE 1 CD交直线CD于点E ,连接EB .由于平面 PDC _L平面ABCD ,由此得ZPBE为直线PB与平面ABCD所成白角.在 APDC 中，PD =CD =2,PC =273,可得 /PCD =30电在 RtAPEC 中，PE = PC sin30 0 = 33由 AD/BC, AD _L 平面 PDC，得

17、 BC _L 平面 PDC ,因此 BC _L PCb-khroug of polcy, a nd i - innovaton of it d aop.d out pm.t w o.s of, ad gassr14一一 ，一一，衿，、一 39所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为 乂139.解析(1)连接OC.由已知，/OCP为直线PC与平面ABC所成的角设AB的中点为 D,连接PD CD.因为 AB=BC=CAJf以 CD_ AB.因为/APB =90 °, /PAB =60 :所以APAD为等边三角形，不妨设 PA=2,则 OD=1,OP=/3, AB=4.所以 CD=2 3

18、,OC= OD2 CD2 = .1 12 = . 13.在 REWPMOF'T(2)过D作DE1 AP于E,连接CE. 由已知可得，CD_L平面PAB.据三垂线定理可知,CE ± PA,所以，/CED为二面角B AP C的平面角.由(1)知,DE= J3.CD 23 一在 RtCDE中,tan NCED=J=2DE 3故二面角B AP C的大小为arctan 2点评本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念，重点考查思维能力和空间想象能力，进一步深化对二面角的平面角的求解 .求解二面角平面角的常规步骤：一找(寻找10.解(1) S幽bc =六2父273 = 2<3,三棱

19、锥P-ABC的体积为V =；S&bc 吓人=3父2"2 = 43号BC现成的二面角的平面角)、二作(若没有找到现成的，需要引出辅助线作出二面角的平面 角)、三求(有了二面角的平面角后，在三角形中求出该角相应的三角函数值 ).(2)取PB的中点E,连接DE AE则ED/ BC所以/ ADE或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在三角形 ADE中，DE2AE= 2,AD2cos/ADE = 224=4 ,所以/ AD巨 arccos3.因此，异面直线BC与AD所成的角白大小是arccos7策i n如图,连给a/mp7人执：一人出口站在三梭柱，ZCU1工常，, AC' &#

20、177;中面，钻&4,放水* 以於乂 ,: AB = AA l.二四边形AHH内呈正方形，:,出入Afl.又(工介出J4A K4, |弗而CAH：， 故由！ 11.(U ),/ AB = AA* = Z,时=心:. AC = /1；C； - 1,曲知,1平面12.证明:(I)设BD中点为O连接OCOE则由BC =CD知CO _L BD , 又已知CE _LBD，所以BD _1平面OCE所以BD _LOE ,即O既 BD的垂直平分线，所以BE = DE .(II)取 AB 中点 N,连接 MN,DN ,M 是 AE 的中点，. MN / BE,. ABD是等边三角形，DN _L AB .

21、由/ BCB120。知，/ CBB30° 所以/ AB(=60 +30° =90° ,即 BC _LAB ,所以 ND/ BC 所以平面 MND平面BEC又DM=平面MN佻 DM/平面BECNn另证：延长AD ,BC相交于点F ,连接EF.因为e CB=CD/ABC =900.因为 ABD 为正三角形，所以 NBAD=60°,NABC =90°，则 NAFB =30°,13.14.1所以 AB = AF ,又 AB =AD , 2所以D是线段AF的中点，连接DM,又由点M是线段AE的中点知DM EF ,而DM ?平面BEC EF u平

22、面BEC故DM平面BEC【答案与解析】（1）证明：取A'B'中点P,连ZMP,NP而 M,N分别是 ABFB' C'的中点，所以，MP/ A A' ,PN / A' C',所以，MP/平面 A' ACC' ,PN /平面A'ACC',又 MP c NP = p,因此平面 MPM 平面 A'ACC ',而MN=平面MPN所以，MN/平面 A'ACC',< I（）f 解法一 3拄给8N,由题意_*£二 半底，岁/C牛血/HL / =KN 1 1-*¥内=

23、gs C' - '就，_ ._ 1_ I，_ 1 TK解法二；Kv m - i j - r y I* ，岸;f ¥一、&： = r J1 r【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算，考查空间想象能力、 推理论证能力、运算求解能力，难度适中.第一小题可以通过线线平行 来证明线面平行，也可通过面面平行来证明；第二小题求体积根据条件选择合适的底面 是关键，也可以采用割补发来球体积.【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计 算,考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题.【解析】（I ）由题设知 BC&

24、#177; CC1 ,BC±AC, CC1cAe = C , BC _L 面 ACC1A , 又DC1 二面 ACC1A, DC1 -L BC,由题设知 ZA1DC1 =/ADC =450,，/CDCL900，即 DC1 1 DC,又.DC c BC =C , DC1，面 BDC ,. DC1 u 面 BDC1 ,. 面 BDC，面 BDC1 ；1 121(n)设棱锥B DACC1的体积为V1, AC =1,由题意得，V1= 乂 父1父1=, 111 322由三棱柱ABC ABG的体积V =1,(V _V1) :V1=1：1，.平面BDC1分此棱柱为两部分体积之比为1:1.法二：(I

25、)证明：设 AC =BC =a,则 AA =2a,因侧棱垂直底面，即DA _L平面ABC，所以DA _L AC ,1 一一又D 梭AA的中点，所以DA = AA1 = a2在RtADAC中，由勾股定理得：DC = v'2 a同理 DC1 = 72 a，又 C1C = A a = 2a ,所以：DC2 DC： =C1C2,即有 C1D_CD (1)因AA，平面ABC ,所以AA1 BC ,又ZACB =900，所以 AC _L BC ,所以BC _L侧面A CCA，而C1D J平面A CCA1,所以：BC_LCD (2)；由(1)和(2)得：C1D _L 平面 BCD ,又C1D1平面B

26、C1D ,所以平面BDC1 _L平面BDC(II) 平面BDC分此棱柱的下半部分可看作底面为直角梯形ACC1 D ,高为BC的一个四棱锥，其体积为：V下=Vbmccd = S -Saccd BC = 1 ' * 2a & w = 1 a3， 1313 k 222 1o该四梭枉的总体积为 V = S&BC , A1A =2 a a 2a = a ,1 c所以，平面BDC分此棱枉的上半部的体积为 V上=V - V下=3 a3所以，所求两部分体积之比为1 ：115.【解析】(I )因为PA_L平面ABCD,BDU平面ABCD,所以PA_L BD.又AC _L BD, PA,

27、AC是平面PAC内的两条相较直线，所以BD,L平面PAC,b-khrougof polcy, a nd -aci - innovaton of it, d aop.d out pm.t w o.s of, ad gassr oots we com.17d ssee 而PC u平面PAC,所以BD _L PC .(n )设AC和BD相交于点O,连接PO,由(I )知,BD_L平面PAC,所以NDPO是直线PD和平面PAC所成白角，从而NDPO =30.由 BD_L 平面 PAC, PO u 平面 PAC,知 BD 1 PO .在 Rt口 POD 中，由/ DPO = 30"得 PD=2

28、OD.因为四边形ABC的等腰梯形，AC _L BD ,所以口 AOD 口 BOC均为等腰直角三角形1 _1 _1 _ 一、 _从而梯形ABCD勺图为AD +BC =父(4+2) =3，于是梯形ABC面积 222-1S = (4 2) 3 =9.2在等腰三角形 AOD43, OD2,AD =2 2,2所以PD故四棱锥=2OD = 4 2, PA = PD2 - AD2 = 4.11P -ABCD 的体积为 V = xSMPA=父9父4 = 12. 3【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD_L平面PAC即可，第二问由(I )知,BD_L平面P

29、AC,所以/ DPO是直线1PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的局，由v=-msmpa算得体积.316.解析：(I )因为 AB_L平面 PAD , PH仁平面 PAD ,所以 AB _L PH .又因为 PH为 iPAD中AD边上的高，所以PH _LAD. ABAD=A, AB=平面ABCD , AD=平面ABCD ,所以 PH _L 平面 ABCD .(n ) S4cf =-FC AD=-xW2=,因为 E 是 PB 222的中点，PH _L平面ABCD ,所以点E到平面ABCD的距nce, ne d sup" os polcie s r-orts you ca

30、n-rnto” justwanted t-rn,t-r n - ay .e To - o-,d-i "do-watt-o1- p-p-Sd- ba. to _i d- ou wk. S-nd, - m uS think "-i ng thinkng wtout ." W- t of a-a . - ng wth t h- . - si.si u-inonw- - - d . h - -"hi ng to- aton, w h-h- i n -msof . igth- -v- tin, 一hop- .g-nt s,-d mos -mp. nd mo-t a

31、 .- - .ca .ou w* of. _1.old - y do.s't wk a.wud no" -i st know" -p-p-s id-asm- -a-a., usng was.is -t -i-sus t b- - t- sh-s of t-iton- con-es tn-nta- of know"d”" - " ofko oh ko-tor-in- -，hSon-S w - t- -in-, - t-a 、- -."towh-ry - so t Wi h -onom- I. o" -i- wk dhi

32、So" - -t- d his ta ofmind Inord- t d i- stgains iv - gatons st n, Go o was t o - h-a d .<_- ind-th<-t-l-ngod - iding n. w thigs .mm-i-nnw -x-i-n- n. w i-s .g-mm - -dM., a .- d u- opm.d -eVe1 PH2B =C3 FS_ 1一 2=*：32_2 "_12，八 _ ,-1锥 E -BCF 的高 h =2(出)取PA中点G，连接GD、GE.因为1E是PB的中点，所以GE=AB且GE

33、/ AB. 21一而F是DC上的点且 DF = AB , DF / AB,所以GE = DF且GE / DF .所以四边形 2GDFE是平行四边形，所以EF / GD .而PD = AD ,所以GD _L PA.又因为AB_L平面 PAD, GDU 平面 PAD,所以 AB _LGD .而 AB1 PA = A , AB =平面 PAB , PA二平面 PAB,所以GD _L平面PAB,即EF _L平面PAB.17 .【考点定位】本题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系以及体积等基本知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、数形结合思想、化归与转化思想.【解析】(1)又长方体AD

34、J_平面CDD£ .点A到平面CDD1C1的距离AD=1,1 _1 11SMCC1 = 2 CC1 M CD =2 X 2 X 1=1 , VAJMCC1 AD S MCCi = 3(2)将侧面CDDiCi绕DDi逆时针转动90。展开，与侧面ADDiA共面.当A ,M,C共线时,AM +MC取得最小值 AD=CD=1 , AA=2得M为DD1的中点连接 MG在l_MCC1中，MC1=MC=2, CC1 =2,222CC1 =MC1 +MC , CMC1=90 ,CM± MC1, B1G，平面 CDD1G ,B1C1 ±CM. AMP MC=C.CML平面 B1GM

35、 ,同理可证 BM LAMB1M，平面 MAC18 .【命题意图】 本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用.从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，并加以证明和求解.解：设ac n bd =O,以0为原点，为x轴，OD为y轴建立空间直角坐标系A(-72,0,0), C(底,0,0), P(-72,0,2),设 B(0, a,0), D(0, a,0), E(x, y,z)由 PE =2EC22E(,0,-)得 33PC =( 2-2T V 22obe=宝,a，3)BD =(0,2a,0)b-khrougof polcy, a i - inn

36、lvOtm O it, d llp.L out pm.t w . of, ad ga-r o. we com.19e 0ePC短 =(2、.2,0, -2),a,3)=0pc BD =(2V2,0, _2)(0，2a，0) =o.所以pC,BE,pC,BD,所以 pc1平面BED ;(n )设平面 PAB 的法向量为 n =(x, y,z),又 AP =(0,0,2), AB =(我,a,0),由nA?=0,n,AB=0 得"1=。)，设平面pbc的法向量为m = （x,y,z），又BC = (2,a,0), CP =(-212,0,2)m T K m = (12)，由m BC=0,

37、mCP=0,得(，a19.20.由于二面角A PBC为90%所以m n =0,解得 a = J2 .所以PD =（后4 212）平面PBC的法向量为m = （1， 1r2）所以PD与平面IPD 雪 1PBC所成角的正弦值为1PD 1 |m| 2 ,所以PD与平面PBC所成角为【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题和相似殊的菱形，一个侧面垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是点 E是一般的三等分点，这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的 直角坐标系解决该问题为好.故线段A1B上存在点Q,使得AC，平面DEQ.【解析】(I)连接AC, AE/CC1= E,A,C,C1共

38、面长方体ABCD A1B1c1D1中，底面A1BGD1是正方形,底面也是特 的位置的选择,因此最好使用空间AC _L BD,EA _L BD, ACEA =A= BD，面 EACC1二 BD .L EC1(1 )在矩形 ACC1 A 中，OE _L EC1 = AOAE U AEAC1得: AP段=*六* A。亚【命题意图】本小题主要考查空间两条直线的位置关系面角、异面直线所成的角直线与平面垂直等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象 能力、运算能力和推理论证能力.方法一：（1）以AD, AC, AP为x, y,z正半轴方向，建立空间直角左边系A-xyz一11则D(2,0,0), c(0