56平面向量的数量积及运算律（2）

1、5.6 平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律（2）成都七中 授课人：曹杨可课件制作：曹杨可一、知识复习一、知识复习:1、数量积的定义：、数量积的定义：cos|baba其中：其中：, 0a0b特别地：特别地：00a是向量是向量a和和b的夹角，范围是：的夹角，范围是：0180注意： 平面向量的数量积与和向量、差向量本质区别是什么？平面向量的数量积是一个数量，而和向量、差向量分别是一个向量。2、数量积的物理意义：、数量积的物理意义：sFsFWcos|数量积的几何意义：数量积的几何意义：abBAObaa|abacos|b等于等于的长度的长度与与在在的方向上的投影的方向上的投影的乘积。的乘积

2、。sFcos|baba即即cos|bB13、数量积的主要性质：、数量积的主要性质： ba(2)(2)ab|,|baba|baba(3)(3)与与 同向同向ab与与反向反向22|aaaa2|aa 特别地特别地：即即，|cosbaba(4)(4)ba|ba|ba|ba|ba(5)(5)，即，即则，的夹角与是，的单位向量方向相同是与，都是非零向量，设eabebaae(1)(1)eacos|a0baabba)()()(bababacbcacba )(交换律：交换律：数乘的结合律：数乘的结合律：分配律：分配律：则，和实数、已知向量cba二、数量积的运算律：二、数量积的运算律：)()()(bababa数乘

3、的结合律：数乘的结合律：证明：.的夹角为与设ba，时）当（01等式显然成立等式显然成立 .，时）当（02的夹角都为与，与babacos|)(babacos|ba)(bacos|)(babacos|ba)(ba. )()()(bababa.，时）当（03的夹角都为与，与baba.180)180cos(|)(babacos|ba)180cos(|)(babacos|ba. )()()(bababacos|ba)(bacos|ba)(ba综上所述：综上所述：)()()(bababacbcacba )(分配律：分配律：.OCAA1Bab12证明：.cOCbABaOAO，作，任取一点，如图方向上的投影等

4、于在即cOBba)(即，方向上的投影的和在、cbacos|ba21cos|cos|ba21cos|cos|cos|bcacbacbcacbac)(.)(cbcacbaB1c想一想：想一想： 向量数量积不满足结合律向量数量积不满足结合律 .向量的数量积满足结合律吗？说明：说明：，共线的向量表示一个与ccba )(，共线的向量表示一个与而acba)( ，不一定共线与而ac)()(cbacba)()(cbacba即：即：成立吗？成立吗？1例求证：；2222)() 1 (bbaaba.)()()2(22bababa证明：)()()() 1 (2babababbabbaaa；222bbaa)()()2(

5、bababbabbaaa.22ba 2例，的夹角为与，已知604|6|baba. )3()2(baba求解：. )3()2(bababbbaaa622|6|bbaa22|6cos|bbaa224660cos466.723例当且仅当，不共线与且，已知)(4|3|baba？互相垂直与向量，为何值时bkabkak解：互相垂直与bkabka0)()(bkabka0222bka即，9322a16422b01692k43 k，时即当且仅当43k.互相垂直与bkabka已已 知知 是非零向量，且是非零向量，且 与与 ba、ba3垂直，垂直，ba57ba4与与 垂直，垂直，ba27求求 的夹角。的夹角。ba与

6、）b5（7）b3由(aa0573）（）得：（baba）b2（7）b4由(aa又0274）（）得：（baba030801615722baba7baba22即：babacos60,夹角baba 2b2化简得：ba212122bb180,0又例例4 4：代入得代入得解：解：练习：练习：1、有四个式子：有四个式子：，其中正确的个数为（，其中正确的个数为（ ）A A、4 4个个B B、3 3个个C C、2 2个个D D、1 1个个2、已知、都是单位向量，下列结论正确的是（已知、都是单位向量，下列结论正确的是（ ）A A、B B、C C、 D D、3、有下列四个关系式：有下列四个关系式：，其中正确的个数是

7、（），其中正确的个数是（）A A、1 1B B、2 2C C、3 3D D、4 400a00 a|babaab1ba22ba abab0ba000)()(cbacbaabba00 acbcabaDBA 4、已知，且与的夹角为，问当且仅当已知，且与的夹角为，问当且仅当为何值时，使？为何值时，使？5|a4|bab60k)2()(babak解：解：)2()(babak0)2()(babak即即02) 12(22bbakak故故04260cos45) 12(522kk1514k所以：所以：1514k时，时，)2()(babak当当 5、如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，已知，中，已知，

8、， ， 求：求：（1） ；（；（2） ； （3）4|AB3|AD60DABBCADCDABDAABBACD解：解：因为因为ADBC且方向相同，且方向相同，所以所以AD与与BC夹角是夹角是0所以所以91330cos|BCADBCAD因为因为ABCD且方向相反，且方向相反，所以所以AB与与CD的夹角是的夹角是180所以所以16) 1(44180cos|CDABCDAB所以所以ABDA与与的夹角为的夹角为12060因为因为AB与与AD的夹角是的夹角是，所以所以6)21(34120cos|DAABDAAB（1）（2）（3）作业：作业： P121习题习题 5.6 1 8 .练习：练习：P121.606|8|. 2qpqpqp，求的夹角为与，已知解：cos|qpqp60cos68.24.2549|12|. 3的夹角与，求，设bababa解：|