河北省衡水中学2020届高三数学押题II卷理(含解析)

1、2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学（n）第I卷一、选择题：本题共 12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.1 .设集合 a = x|x2-x-6 0,x f = z|z = |.x-y|,x W A,y W A,则集合A n B 二 （ ）A.二B.01/； C. ，储 D. 1【答案】B【解析】由题意可得：A =n（51.23,则集合A n B=0,L2.本题选择B选项.2 .设复数工满足詈=”3则由=（）A.- B. 1 C. D.【答案】C【解析】由题意可得：11ill ti5l+Z-（2-i）（l + i） = 3 + i,，&

2、quot; = 2 + 旧=I:I =胃.本题选择C选项.3.若85（ct +）= ；，a £ （。$，则4nct的值为（）A. B. W? C. D. y【答案】A【解析】由题意可得：at + ： E 二5in口十=coJg+：）=，结合两角和差正余弦公式有：sina = 5in（a + -+ ）coscos（a +.本题选择A选项.224 .已知直角坐标原点。为椭圆C:今十三=1值 b A 8的中心， F，Fz为左、 右焦点，在T b区间（0,2）任取一个数 巳则事件“以£为离心率的椭圆C与圆。“2 + ¥工=/.b2没有交点”的概率为()C.A.【解析】满足

3、题意时，椭圆上的点 P(acose,bsin9到圆心0(0,0)的距离:d2 = (acosG-O)2 十(bsin&-0)2 ，= J + b* ,整理可得'-a l*sin*ga 1 +L + sin'a据此有：e2 < 0 < e < y >底 J题中事件的概率_ _二？ _旦.P 2-0 4本题选择A选项.5 .定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过 90。的正角.已知双曲线E ：高一4=l(a > Sb > 0),当其离心率e W »22时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范 a b围为()A. 0

4、i b舄】C.啮d.【瑞i【答案】D222【解析】由题意可得：e2 = = l + e 2,4, /.3E 1,3， a'a'a'设双曲线的渐近线与|x轴的夹角为e ,双曲线的渐近线为v = 土 ,则g E吟，结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为1.本题选择D选项.6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3n + 2 ,则它的表面积是(A. （喈+ 3）n + 22 + 2B.+ ；）n 4- 22 + 2n V13rD.一 .【解析】由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中:w 312_3 2.12-11V

5、ga= 4 x i x na k 3 =8通=尸 x 3 x 三=产由题意：na2 + 1a2 =+ 2一、a,据此可知:5强=2an x；十;x?x2 = 3n + 2 ,它的表面积是 + 3）n + 22 + 2本题选择A选项.5 酬，n xx2 =点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法.正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同.7.函数v = sinx + ln|x|在区间-3,3的图象大致为（A. B. C. D.【答案】A

6、【解析】由题意 网7)= sin(-x> + ln|-x| = -sinx + ln|x| ，则f(-x) Hf(x)且f(-x)=-f(x)，函数为非奇非偶函数，选项 C,D错误;当XT。"1"时，sinx-*。,in|x|ts ,则函数值 y-tg ,排除选项 B.本题选择A选项.8 .二项式(ax + A)n(a > O b A 0)的展开式中只有第 6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则1ab的值为()A. 4 B. 8 C. 12 D. 166项的二项式系数最大，则【答案】B【解析】二项式(ax + (a > 0d

7、 b >。)的展开式中只有第n = 10二项式1 io gx +/展开式的通项公式为:Tr + 1 =喘（ax严-点=x产由题意有：,整理可得:I 二.本题选择D选项.点睛：二项式系数与展开式项的系数的异同是在Tr + i=u：an-rbr中，匚口是该项的二项式系数，与该项的 (字母)系数是两个不同的概念,前者只指C；,而后者是字母外的部分，前者只与n和有关，恒为正，后者还与 a, b有关,可正可负.二是二项式系数的最值与增减性与指数n的奇偶性有关，当 n为偶数，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值.9 .执行下图的程序框图，若输入的x =

8、0, v =二，n = l,则输出的p的值为(【答案】C【解析】依据流程图运行程序，首先初始化数值，x = o* = Ln = l，进入循环体：m = ri" = Ly = 亨 =1，时满足条件/之，执行n=n + 1 = 2，进入第二次循环，x = / = 2、= R M时满足条件) >，执行n:口 + 1=3，进入第三次循环， 7?2JF Ax = n = 9,y =:,时不满足条件/占* ,输出p = xy =号.本题选择C选项.10 .已知数列% = 1, % = 2 ,且己口 + 219n = 2-2(-1)'，n W N '，则与口门的值为()A.二

9、匚 】、二；_ B.工。9 如C.二口二 LD1。1 D.1009 X 2016【答案】C【解析】由递推公式可得：当H为奇数时，降十2f产4，数歹见1是首项为1，公差为4的等差数列，当B为偶数时，(an + 2-an = 0 ,数列心2fl_1是首项为2,公差为0的等差数列，52Q17 =(31 + % + 2201了)十(32 十立 + '+ 叼016)=1009 + j X 1009 X 1008 x 4 + 1008 X 2=2017 x 1010-1.本题选择C选项.点睹：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写 出这个数列的各项，由递推关系求数

10、列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几 项，再归纳猜想出数列的一个通项公式：将已知递推关系式静理、变形，变成等差、等 比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项.11 .已知函数f(x) = Asin(ux +(A A。,3 A。,忡I < 的图象如图所示，令qg =，f(x) + VM,则下列关于函数q(x)的说法中不正确的是()A.函数口(幻图象的对称轴方程为x = kn-(k E Z)B.函数。(幻的最大值为2应C.函数g(x)的图象上存在点P，使得在p点处的切线与直线|；v=3X-1平行D.方程g(x) : 2的两个不同的解分别为 ，勺，则IXXI最小值为：【答案】C【解析】由

11、函数的最值可得 A = 2 ,函数的周期T = 4 M (y-j) = 2n = 二h = 1 , 当x =1时，wx+甲=1 / +中=2kn十,中=2kn +生k £ Z)， 令k = 0可得甲=孑，函数的解析式f(x) = 2sin(x +5.则：g(x) = f(xj + f (x)=2sin(x + § + 2cos(x + ：)=2vsin(x + W +=22sin(x + 返)结合函数的解析式有 g'(x) = 2V2cos(x + 工)E -2<2r2x2,而3 1-2，22， 选项C错误，依据三角函数的性质考查其余选项正确本题选择C选项.1

12、2.已知函数、(刈=ax3_3x2 + 1，若f(x)存在三个零点，则日的取值范围是()A. j -2) B. :二C.D.'(：，.，,；，？【答案】D【解析】很明显aO,由题意可得：|f-(x)= 3ax2-6x = 3x(ax 2)，则由f (x) = 0可得X=。的=:,o 12由题意得不等式：f(xL)f(x2) = 一+ 1 < 0 ,即：-y > 1,/ v 4h-2 < a < 2 ,综上可得m的取值范围是(-2,0) u (0,2).本题选择D选项.点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令f(x)=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点

13、.(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且 f(a) - f(b) <0, 还必须结合函数的图象与性质 (如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.第n卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分13 .向量占二(nn)，E = (-1.2)，若向量共线,且因=2面，则mn的值为-【答案】-8【解析】由题意

14、可得： £ = 2日=(-2.4)或占 =-2b = (2-4)，则：mn = (-2) x 4 = -8 或mn = 2 x (-4) = -8 .14 .设点M是椭圆乂 + = A b > 0)上的点，以点M为圆心的圆与X轴相切于椭圆的焦 点F，圆M与V轴相交于不同的两点p、Q，若APMQ为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范 围为.I【解析】试题分析：. PQM是锐角三角形，或 ir一一 .一 a4 -4 af|M国 CIT 近2 2COSZQMD =而=m > 8可=y,ac < a -c a化为,-I -r I2*- Ne + j2e-l > 0fe

15、+ e-1 < 0在“曰收一飞2y5=L解得-该椭圆离心率的取值范围是故答案为：(挈，卒)一，+ y-3 > 口，4E、，15 .设x，y满足约束条件x-2y + 2 >。，则的取值氾围为 . 2x-y2 < 0.【答案】.；【解析】绘制不等式组表示的可行域如图所示， 目标函数表示可行域内的点|(Xjy)与坐标原点(0,0)之间连线的斜率，目标函数在点 A靛)处取得最大值，在点处取得最小值，点睛：本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法.解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义.16 .在平面五边形 ABCDE中，已知

16、 £A = 120", ZB = 90°, LC = 120°, ZE = 90"， AB=3, AE = 3,当五边形ABCDE的面积5 W 6后,9弓)时，则BC的取值范围为 .【答案】.二【解析】由题意可设： BC = DE = a，则：Sabcde = |x9xy + |xyax (3'3 + 久3-自)=3 3 十择一落？ S 6, 则：当合二3%修时，面积由最大值9后；当a二工行时，面积由最大值 鼠3 ;结合二次函数的性质可得：BC的取值范围为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 .已知数列.的前n项和为

17、Sn, aL = 2Sn = 7T + 1 1s >2jnG N(1)求数列a。的通项公式；(2)记 %= log% m £ N、求一-的前n项和丁相 w'4) ",li n t+ .【答案】(1)匕=或(n 6 N ")；号亍【解析】试题分析：(1)由题意可得数列(鼻门是以为首项，为公比的等比数列， 去SWN(2)裂项求和，石甘:，故仆=Tv n n + 1|' nn + 1试题解析：(1)当口 = 2时，由25n = 5十1及久另，得2sz = S： + 1,即2匹+ 2% =与+ 1,解得力=1.又由25门=$.1 + 1,可知 20

18、rl + L = Sn + 1,-得23rl + 1 = an,即A 1I且n=1时，-=；适合上式，因此数列二是以为首项，为公比的等比数列，故 > =:*(n £ N 卜(2)由(1)及辰三S同(口 £ n,)，可知 br = 10g;卬 »， 2所以 b也一 i = M力 + 1) = n - n + 1，故/=今+金十+不上=&与+小击)】=18.如图所示的几何体 ABCDEF中，底面ABCD为菱形，AB = 2a ,|£ABC=120° ,AC与BD相交于。点，四边形BDEF为直角梯形，DE/BF, BD _L DE, D

19、E = 2BF = 2'2a ,平面BDEF _L 底面 A BCD.(1)证明：平面AEF _L平面AFC；(2)求二面角e-AC-F的余弦值.【答案】(1)见解析；(2) g.【解析】试题分析：(1)利用题意证得EF 1平面AF。由面面垂直的判断定理可得平面 AEF 1平面AFO(2)结合(1)的结论和题意建立空间直角坐标系，由平面的法向量可得二面角E - AC - F的余弦值为.试题解析：(1)因为底面 ABC口为菱形，所以 AC_LBD，又平面BDEF _L底面ABCD,平面BDEF介|平面ABCD = BD,因此AC，平面BDEF,从而AC _L EF.又BD _L DE,所

20、以 DE _L 平面ABCD,由AB = 2a, DE = 2BF = 2V2a,上ABC = 120*,可知 AF =、上二不= BD = 2a,EF = <4a2 + 2a* = 而，AE = %"+= 23a ,从而AF* + FE2 = AE"，故EF 1 AF.又AF n AC = A,所以 EF _L 平面AFC|.又EF u平面AEF,所以平面AEF _L平面AFC.(2)取ER中点G,由题可知OG/DE,所以OG _L平面1ABeD,又在菱形AHCD中，OA _L OB, 所以分别以OA, OB, 6W的方向为x, V,轴正方向建立空间直角坐标系 07

21、Vz (如图示)， 则。c(-y短,0,0),- a,2板a), iF(Oawia),所以靠=(0, - a.2v'2a) - h；3a。) = 1(-百a. - 曰Z2a),斤=(7写a,0Q) - (招a,0Q) = (- 25生0,0), EF = (0,a匹卜。-at2'2a)'D _ 口 . . r I-由（1）可知ef _L平面AFC，所以平面AFC的法向量可取为EF = （02a. - %2m）.设平面AEC的法向量为n = （x.v百卜口 尤=0,即1% AC=0. 1V + 2 缶=。.即V = 令 x = 0, x = 0,所以 N = （0,4,%

22、2）-从而但小,诈=啬售二悬=?故所求的二面角E - AC - F的余弦值为y-点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想.两种思路：（1）选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断.（2）建立空间坐标系，进行向量的坐标运算， 根据运算结果的

23、几何意义解释相关问题.19-某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级 800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A、B、C、D、E五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数;(2)若等级A、B、c、口、E分另应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？(3)为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从 A、B两种级别中，用分层抽样的方法抽

24、取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这 3个样本为A级的个数E的分布列与数学期望.【答案】(1) 448; (2)该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关；(3)见解析.【解析】试题分析：(1)由频率分布直方图估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数为448;(2)计算平均分可得该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关 (3) £的可能值为0, 1, 2, 3.由超几何分布的概率写出分布列，求得数学期望为H .试题解析：(1)从条形图中可知这 100人中，有56名学生成绩等级为B, 所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为盖 =H，则该校高三年级学生

25、获得成绩为 B的人数约有80。x券=448.(2)这100名学生成绩的平均分为击(32 x 10Q + 56 X 9Q + 7 x 80 + 3 X 7。+ 2 X 6。)= 913 ,因为91.3 > 90,所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关 (3)由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中A级4个，B级7个，从而任意选取3个，这3个为A级的个数W的可能值为0, 1, 2, 3.则 P化=0) = =厂=5，P代=1) = =55，- C* 14 i 琮虏 4= 2)=m=55，P(Z = 3) = TT = 165 .因此可得E的分布列为：口123p7J嘉H

26、55r 7 r 28 rl4 r 412则二二- 1 一 二.20.已知椭圆C：4 + 4= l(a> b> 0)的离心率为李，且过点P(字得),动直线：v-kx + m交椭圆c于不同的两点A，B，且市 OB=0(0为坐标原点)(1)求椭圆C的方程.(2)讨论3m2-21?是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由【答案】(1)+ y2 = 1； (2)3m2-2k2 = 2【解析】试题分析：(1)由题意求得匕之=1，= 2 ,故所求的椭圆方程为去+ 丫? = L(2)联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系结合题意可证得3m2 = 2k* =工为定值.试题解析：(1)由题

27、意可知"等所以3=2= 2(，.例 即=21，又点岛在椭圆上，所以有 亲+靠=1，由联立，解得r=1，相=2,故所求的椭圆方程为 + y2 = 2 设A(XM),B(XnM),由3 65 = 0，可知 ， ：，.y = kx + m.消去v化简整理得(1 + 2kH + 4kmx + 2舒- 2 = 0,4Re由A = 16k2mL 8(m2 -1)(1 + 2kl a 0 ,得1 + 2k2 > m?，所以“1 + x2 = - 7-/ K又由题知XX? + V1V2 . 0,即 Xi 出 + (kxx + m)(kx3 + e) = o,整理为(1 + k2)xLx2 +

28、Km(K + x2) + m： = 0.将代入上式，得(1 +- km *+ rr? = 0 1 -b 2k1 + 2k'化简整理得 府 工=0,从而得到3m2 _ 2k2 = 2.如 设函数= -a21nx + x'-aJt (己 E R).(1)试讨论函数f(x)的单调性；(2)设叹x) = 2x + (a,-mHmr 记MX) = f(x) + 中以)，当m > 0时，若方程h(x);m(m W R)有两个不相等的实根 勺，勺，证明h'("F=)a 0.【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】试题分析：(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：若a

29、 >。时，当x 6 (04)时，函数f(x)单调递减，当x E (a> +国)时，函数f(x单调递增；若a二。时，函数f(x)单调递增；若a < o时，当x E (0,一；)时，函数f(x)单调递减，当犬金仁宗+如)时，函数f(x)单调递 增.(2)构造新函数h(x) = f(x)十q*(x) = |x2 +(2 - a)x - alnx仪> 0),结合新函数的性质即 可证得题中的不等式.试题解析：(1)由f(x)= - mln工 + 工工-ax，可知f (x) =+ 2x - a = " 丁，=，*：)“，.因为函数f(X)的定义域为|(0. + oo),所

30、以，若a > 0时，当* (01)时，f(X) <。，函数f(x)单调递减，当x E (a. +时,f (x) > 0, 函数f(x)单调递增；若曰=0时，当f(x) = 2x > 0在x W (0.十如)内恒成立，函数f(x)单调递增；若m v 0时，当x W (0,-3时，f'(x) < 0,函数f(x)单调递减，当x E (-最十时，f1(x) > 0,函数f(x)单调递增.证明：由题可知 h(x) = f(x)十 9(x) = I x2 + (2 - a)x - alnx l(x > 0) ,所以 h'(x) = 2x +(2

31、- a) - 电=哂D. XxX所以当xE (。/时,h'M <0；当x £专+ e)时，斤仪)>0；当x =；时，h'6)=0.欲证h'(W与a 0,只需证h'C-广二)a卜琰，又h"(x) = 2 + 1 a 0 ,即h'(幻单调递增，故只需证明 1 22设是方程h(x) = m的两个不相等的实根，不妨设为则.,-1.x2 + (2 - a)x2 - alnx2 = m.因为 xL - x2 + lnxL - lnx2 < 0,所以(*)式可化为lex】 - Inxa v即,? + 1因为 0 V Xl v x2

32、,所以 0 43 < 1，出不妨令t =所以得到Int < TT7, t £ (0,1).*2i + 1记 R(t) =t E (0,1),所以 R(t) = 1= U NO,当且仅当 t = 1| 时,c + 1r (t + ly c(t + ir等号成立，因此R(t)在(0,1)单调递增.又R=0,因此 R(t) < 0, |t (0,1,故Int4蜜，t W (0)得证，从而a 0得证.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22 .选彳4-4 :坐标系与参数方程在直角坐标系xOv中，曲线C1： 七;彳.对;3(为参数，己.0)，在以坐标原点为极点， Jr 上 I- U. Al 11 Lx轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 c2： |P = 4sin0.a的取值(1)试将曲线C1与CzH为直角坐标系xOv中的普通方程，并指出两曲线有公共点时范围；(2)当a=3时，两曲线相交于 a，B两点，求|AB|【答案】(1)