新人教版2020年中考数学二轮复习专题练习下几何问题_线段的旋转

1、1.旋转一线段1.在 VABC 中，ABAC , BAC （0 < <60 ），将线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD .（1）如图1,直接写出 ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图2,BCE 150 , ABE 60 ,判断VABE的形状并加以证明;（3）在（2）的条件下，连接 DE，若 DEC 45 ,求 的值.解析：（1） QABDABC60 又 Q ABC180290ABD 906030（2） VABE是等边三角形E证明：连接AD、CDDBC 60 , DBBC VBCD是等边三角形,BDC 60 , BDDC又 AB AC, ADAD, VABD 仁 VACD3

2、ADB ADC, ADB 150ABE DBC 60 , ABD EBC又 BD BC, ADB ECB 150VABD仁VEBC , AB EBvabe是等边三角形(3)解：VBDC是等边三角形，BCD 60DCE BCE BCD 90又 DEC 45 , EC DC BC,EBC180 BCE 180150“CEB 1522aEBC ABD 30 一, 2302.在VABC中，BA BC , BAC , m是AC的中点，p是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺 时针旋转2得到线段PQ.（1）若60且点P与点M重合（如图1）,线段CQ的延长线交射线 BM于点D，请补全图形，并写出CDB的度数

3、；（2）在图2中，点P不与点B, M重合，线段 CQ的延长线与射线 BM交于点D ,猜想 CDB的大小（用 含的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B, M重合）时，能使得线段 CQ的延长线与射线BM交于点D ,且PQ QD ,请直接写出的范围.解析:(1)补全图形，见图1； CDB 30(2)猜想： CDB 90证明：如图2 ,连结ad , PCBA BC, M 是 AC 的中点， BM ACDC.点D , P在直线BM上，PA PC , DA又.DP为公共边，. VADPWCDPDAP DCP, ADP CDP又.PA PQ , PQ P

4、CDCP PQC, DAP PQC . PQC DQP 180 , . DAP DQP 180. 在四边形 APQD 中， ADQ APQ 180. APQ 2 , . ADQ 180 2 1 一 “CDB ADQ 90 2（3） 45 c <60提示：由（2）知 CDB 90 ，且PQ QDQPD CDBPQC QPD CDB 2 CDB 1802 PAD PCQ点P不与点B，M重合，MAD< PAD< BAD<1802 <2 ,45 < <603.如图1,边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点 A，B重合），点F在BC边上（不与点B，

5、C重合）.第一次操作：将线段 EF绕点F顺时针旋转，当点 E落在正方形上时，记为点 G ;第二次操作：将线段 FG绕点G顺时针旋转，当点 F落在正方形上时，记为点 H ；依此操作下去备用图1备用图2(1)图2中的vefd是经过两次操作后得到的，其形状为 ,求此时线段 EF的长;(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH .请判断四边形 EFGH的形状为,此时AE与BF的数量关系是 ;以中的结论为前提， 设AE的长为x,四边形efgh的面积为y,求y与x的函数关系式及 y的取值范围.(3)若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果

6、不是，请说明理由.解析:(1)由旋转可得： EF FD DEVDEF为等边三角形BF C四边形ABCD是正方形，AD CD BC AB, A B C 90ED FD , VADEWCDFAE CF , BE BF，三角形BEF是等腰直角三角形设 BE 的长为 x ,则 DE EF J2X，AE 4 x在 RtVADE 中，de2 AD2 AE2(、2x)2 42 (4 x)2解得*4 4布，x24 4J3 (舍去)EF ,2x 4,2 4.6(2)四边形 EFGH 的形状为正方形，此时 AE BF .理由如下:依题意画出图形，如答图 1所示：馨图1由旋转性质可知， EF FG GH HE四边形

7、EFGH的形状为正方形.Q12 90 ,23 90,1 3 .Q34 90 ,23 90,2 4 .在VAEH 与VBFE中，1 3EH EF2 4VAEHVBFE (ASAAE BF .利用中结论，易证 VAEH、VBFE、VCGF、VDHG均为全等三角形,BF CG DH AE x , AH BE CF DG 4 x .在 RtVBEF 中，EF2 BE2 BF 2y 2x2 8x 16 2(x 2)2 8当x 2时，y取得最小值8;当x 0时，y 16. y的取值范围是8 y <16(3)经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是8,它可能为正多边形，边长为 4J2 4如

8、答图2所示，粗线部分是由线段 ef经 过7次操作所形成的正八边形.设边长EF FG x ,则BFCG也x，2BC BF FG2CG x x212x 4,解得：x 4J2 44.已知，四边形 ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD± ( P> G不与正方形顶点重合，且 在CD的同侧)，PD PG, DF PG于点H ,交直线AB于点F ,将线段PG绕点P逆时针旋转90得 到线段PE,连结EF .(1)如图1,当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时.求证：DG 2PC ；求证：四边形PEFD是菱形；(2)如图2,当点P与点G分别在线段 BC与线段AD的延长线上时，猜想

9、四边形 PEFD是怎样的特殊四边形， 并证明你的猜想.7图1图2解析:(1)E彳PM AD于点MPD PG, MG MD又 MD PC, DG 2PC PG FD 于 H ,DGHADF 90又 ADF AFD 90DGP AFD四边形ABCD是正方形，PM AD于点MA PMD 90 , PM ADVPMG二VDAF , DF PGPG PE, DF PEDF PG, PE PG , DF PPE.四边形PEFD是平行四边形又 PE PD， YPEFD是菱形(2)四边形pefd是菱形证明：四边形 ABCD是正方形，DH PG于HADCDHG90CDGDHG90CDPPDG90 , GDH G

10、 90PD PG,PDGGCDPGDHCDPADF又 AD DC, FADPCD 90VPCD仁VFAD , DF PDPD PG PE, DF PE又 FD PG, PE PG, DF PPE，四边形PEFD是平行四边形又 DF PD ,，平行四边形PEFD是菱形5.如图1,在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，且DE平分 ADF .(1)求证：AE CF DF ；(本小问不予评分，自行查看解析)(2)当FE平分 BFD时(如图2),将线 段DF绕点F逆时针旋转45 ,旋转后的线段分别交 AD、ED于 点P、Q ,若正方形ABCD的边长为4,求VPEQ的面积.9EF国1nEB解析

11、:(1)证明:DC将VADE绕点D顺时针旋转90 到 VCDG则 AE CG , ADECDG, AED. AB P DC , AEDEDCEDCADEEDF，CDGEDFFDGFDC CDGFDCEDFEDCFDG , DF FGCF CG FG , AE CFDF(2)过E作EG DF于G13则 VADERGDE, VBEFRGEFAE GE BE 2, de 2底ADPBC,. ADF BFD 180FE平分 BFD18090 , DEF 90EF 75，DF 5设QH xDE平分 ADF，ADF BFDEDF DFEVEDFsVADE ,CF 3, BF 1过Q作QH DF于HQ DF

12、P 45 , FH QH x又 Q ADEAE 2 1EDH , tan ADEtan EDHAD 4 2DH 2x5_ 5 5 x 2x 5, x - , DQ -V5, QF -V2333EQ DE DQ过e作EI P BF交pf于I ,则EI是梯形ABFP的中位线设 EI t,EQ1DPEQ1Q ，DQ5EIDQ5DP5t, AP45t1 , t (4 5t 1), t7 DP25T2过P作PK DE于K，则 PKPD sin ADE25272.5_1 -Svpeq-EQ PK2-1! 55 25237、426.在 RtVABC 中,ACB 90A 30,点D是AB的中点，DE BC,垂

13、足为点E,连接CD.（1）如图1, DE与BC的数量关系是 （2）如图2,若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60 , 得到线段DF，连接BF ,请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出 de、BF、BP 三者之间的数量关系.解析：(1)Q ACB 90, A 30B 60 ,Q点D是AB的中点,DB DC ,VDCB为等边三角形,Q DE BCDE BC； 2故答案为de 23 BC2(或 BC 2V3DE )32 (2) BF BP 、3

14、DE3(或(BF BP) DEC E P B证明：.在 RtVABC中， ACB 90 , A 30ABC 601 . D是AB的中点， CD AB BD 2VDCB是等边三角形，CDB PDF 60CDP BDP BDF BDP即 CDP BDF又 DP DF， VCDPVBDFCP BFDE 2 -BC BP CP, BC BP BF , BC CD 2V3DEsin60 3BP BF 2 v3DE315（3）如图,C E B P与(2)一样可证明VDCPVDBFBP ,BC , 2>/3DE (或近CP BF而 CP BCBF BP(BF BP) DE)BF BP7.在VABC中，

15、AC BC 4, ACB 90 , D是AC的中点，E为射线DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90得到线段DF，连接FC ,过点F作FG FC ,交直线AB于点G .（1）如图1,当点E在线段DC上时，判断FG与FC的数量关系并加以证明；（2）如图2,当点e在线段DC的延长线上时，其它条件不变，你在（1）中得到的结论是否成立，请说明理由;（3）当点E从DC的中点M移动到C点时，直接写出线段 FG的中点N所经过的路径长.解析：（1） FG FC证明:连接EF，延长DF交AB于HEDF ACB 90 , DH P BC1 _D是AC的中点，H为AB的中点，DC AC 21 DH是VABC的

16、中位线，DH -BC2AC BC, DC DHDE DF， CE FHEDF 90 , FG FCECF DFC 90 , HFG DFC 90ECF HFG VDEF和VADH都是等腰直角三角形DEF AHD 45 , CEF FHG 135VCEFWFHG , FG FC(2)成立证明：连接 EF ,设DF交AB于H同理可证 CE FH , CEF FHG 45ECF 90 FCB, HFG 90 DFC.DF P BC , . DFC FCBECF HFG , VCEFWFHGFG FC(3)线段FG的中点N所经过的路径长为提示：延长df交AB于H，取DH中点P，连接PC、PN、则 CD

17、 2DP, CF 2FNVCDgVCFN ,DCP FCNDCF PCN. CD 2DP, CF 2FN 5- 5CP CD，CN -CF22CNCPCNCDCF,VCDFsVCPNCPN CDF 90FPN 90 DPC ,是定值，线段FG的中点N所经过的路径是一条线段 当点E与点M重合时，F是DH的中点连接 MF、CG,则MF是VDCH的中位线由(1)知，VCMF WFHG11HG MF -CH BH 22当点E与点C重合时，点 G与点B重合，此时N为BH的中点点N所经过的路径长即为图中 NG的长AC BC 4, CD 2, DF 1，fg FC J5NG8.已知 ACD 90, AC D

18、C, MN是过点A的直线，DB MN于点B(1)如图 1,求：bd ab >/3cb；(2)当MN绕点A旋转到如图(2)和图(3)两个位置时，猜想 BD、AB、CB满足的关系式，并给予证明；(3)在MN在绕点A旋转过程中，当 BCD 30 , BD J2时，则CD , CB 解析:19(1)证明：如图1,过点C作CE CB,交MN于点EACB ACE 90 , ACB BCD 90ACE BCD四边形ACDB内角和为360D CAB 180EAC CAB 180 , EAC D又 AC DC , VACEVDCBAE DB , CE CB VECB为等腰直角三角形BE2CB又 BE AE

19、 AB， BE BD ABBD AB，2cB.2CB(2)图2 中，AB BD J2CB；图3 中，BD AB证明：如图2,过点C作CE CB,交MN于“ACB ACE 90 , ACB BCDACE BCDACD ABD 90 , EAC D又 AC DC , VACEVDCBAE DB，CE CB VECB为等腰直角三角形E90BE 2cB又 BE AB AE, BE AB BDAB BD J2CB如图3,过点C作CE CB ,交MN于点EACBACE 90 ACB, BCD 90ACE BCD. ABD ACD 90 , EAC D又 AC DC , . VACEVDCBAE DB ,

20、CE CBVECB为等腰直角三角形BE 2cB又 BE AE AB, BE BD ABBD AB . 2CB cd 2, cb 73 i或73 i提示：过点C作CE CB ,交MN于点E，连接AD，VACD和VECB都是等腰直角三角形CAD CEB 45VACEWDCB,ACE BCD 30当C、D两点在直线MN异侧时则 EAC 15 , BAD 30BD E AE BD 72, AD 2豉，AB 76CD 2AB BD >/2CB ； 76 6 V2CBCB 3 1当C、D两点在直线MN同侧时ABC ADC 45 , . BAD BCD 30BD 万 AE BD 短，AD 2应，AB

21、娓CD 2BD AB 72cb ,四娓 2ccbCB .3 19.在YABCD中，过点C作CE CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF （如 图1）.（1）在图1中画图探究：当P为射线CD上任意一点（P不与C点重合）时，连结EP,将线段EP绕点E逆时针旋转90得到线段EG1 ,判断直线FG1与直线CD的位置关系并加以证明；当Pc为线段DC的延长线上任意一点时，连ZER,将线段EB绕点E逆时针旋转90得到线段EGc ,判断直线G1G2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.一 一4若AD 6, tanB AE 1,在的条件下，设 CP1 x, Svrfg1y,求y

22、与x之间的函数关31 1系式，并写出自变量 x的取值范围.解析：（1）直线FG1与直线CD的位置关系为互相垂直.证明：如图，设直线 FG1与直线CD的交点为H .二线段EC、EP分别绕点E逆时针旋转90依次得到线段 EF、EG1.PEGi CEF 90 , EGi EP, EF EC .G1EF 90REF , PEC 90 PEF .G1EFPEC , VG1EFWPEC .GiFEPCE 90 , . EFH 90 , . FHC 90 .FGi CD.图】按题目要求所画图形见图1,直线G1G2与直线CD的位置关系为互相垂直.(2)四边形ABCD是平行四边形，B ADC .254AD 6,

23、 AE 1, tanB -.34DE 5, tan EDC tanB -.3可彳导CE 4由（1）可得四边形FECH为正方形CH CE 4图2如图2,当p点在线段CH的延长线上时QVGiEFWREC （已证）FG1 CP xQ四边形ABCD为平行四边形B DQ AE 1, AD 6,ED 54又Q tan B -3EC 4Q 四边形 EFHC 中 CEF 90 , EOD 90 , FDH 90 且 EF EC四边形EFHC为正方形CH EC 4PH CP CH x 4.-SVP1 FG11 - FG1 P1H21 x(x 4)2ix1 2 2x33如图3,当P点在线段CH上（不与C、1 2-x 2x(x 4)2x( x> 4)H两点重合）时FG1 CP x, PH 4 x.八1 一，1 一、12八SVPiFGi2FG1 PH2x(4X)2x2x-1 2或 y -x 2x(0vxv4)CE上,10.在VABC中，AB AC, D为BC中点，CE为AB边的高，点 M在AB边上，点N在线段 且 DM DN .(1)如图i,当 B 45时，线段 AM与CN的数量关系为 ;(2)如图 2,当 B 30 时，求证：me cn 1AB；32(3)如图3,在(2)的条件下，将射线 dm绕点d顺时针旋转30 ,交AC边于点F ,连接MF若BM:CN 5: