点到直线的距离教(学)案

1、点到直线的距离人教版高二第二册(上)第七章第三节第4课时y山西省阳泉市荫营中学王萍教学目标:(1)让学生理解点到直线距离公式的推导，掌握点到直线距离公式及其应用，会用点到直线距离求两平行线间的距离；(2)培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力，数形结合、转化(或化归)、学思想、特殊与一般的方法以及数学应用意识与能力；(3)引导学生用联系与转化的观点看问题，了解和感受探索问题的方式方法，在探索 问题的过程中获得成功的体验.教学重点：点到直线距离公式及其应用.教学难点：发现点到直线距离公式的推导方法.教学方法：问题解决法、讨论法.教学工具：计算机多媒体、实物投影仪.教学过程：一、创设情景提出问题

2、多媒体显示实际的例子：某电信局计划年底解决本地区最后一个小 区P的电话通信问题.离它最近的只有一条线 路通过，要完成这项任务，至少需要多长的电经过测量，若按照部门内部设计好的坐标图(即以电信局为原点)，得知这个小区的坐标为P ( 1,5),离它最近线路其方程为2x+y+10=0 .这个实际问题要解决，要转化成什么样的数学问题？学生得出就是求点到直线的距离. 教师提出这堂课我们就来学习点到直线的 距离，并板书写课题：点到直线的距离.、自主探索推导公式多媒体显示：已知点P(x0, y0),直线l: Ax+By+C=0 ,求点P到直线l的距离.怎样求点到直线距离呢？学生思考，做垂线找垂足 Q,求线段

3、PQ的长度.怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢?教师提示在解决问题时先可以考虑特殊情况，再考虑一般情况.学生提出平行于 x轴和y轴的特殊情况.学生解决.板书:当A =0时,1:By+C = 0, PQ =y。yQ=y +C y0BBy0 CAx。CA、，一 一一一C当 B =0时，l : Ax + C = 0, PQ = x0 xQ = x0 十一= 11A当AB# 0时,如何求PQ ?学生思考回答下列想法：思路一：过P作PQ _L l于Q点，根据点斜式写出直 线PQ方程，由PQ与l联立方程组解得Q点坐标，然后 利用两点距离公式求得.教师评价：此方法思路自然.教师继续提出问题：求线

4、段长度可以构造图形吗？（2）什么图形？如何构造？（3）第三个顶点在什么位置？（4）特殊情况与一般情况有联系吗？学生探讨得到：构造三角形，把线段放在直角三角形中.第三个顶点在什么位置？可能在直线l与x轴的交点M或与y轴交点N,或过P点做x,y轴的平行线与直线l的交点R、S.教师根据学生提出的方案，收集思路.思路二：在直角PQU,或直角4PQN中，求边长与 角（角与直线到直线角有关），用余弦值.思路三：在直角4PaR,或直角4PQS中，求边长与角（角与直线倾斜角有关，但分 情况），用余弦值.思路四：在直角HRS中，求线段PR、PS、RS,利用等面积法（不涉及角和分情 况），求得线段PQ长.学生分组

5、练习，教师巡视，根据学生情况演示探索过程.B（思路一）解：直线 PQ : y y。= （x x。）（x # x。），即 Bx Ay = Bx。 Ay。A2B Xo - ABy。-ACBx _ Ay = Bx0 一 Ay0，xQAx + By+C =。xQ -X。=22B x。-ABy。- AC - Ax。2- B x。-A Ax0 By0 CA2 B22_T2ABAxo By。 CByQ - y。= 丁 x - x。- -bA-x。yQ - y。2_2AB. A2 B2 Ax。 By。CAXo By。C（思路四）解：设 P（x0,y。），Q（xQ,yQ 入A2B2R（XR, y0 ）,S（X。

6、, yS ）Axr By。 C=0 , xrs©。, L&FRP=Xo -xrAx。 By。 CPS=y。-ysAx。 By。 C由PQRS = PR PSPQ =PR PSRS而RS=Jrp+|ps,A2 B2Ax。By。C ,1 2A BPQAxo By。CAB, A2 B2Axo By。C.A2 B2说明：如果学生没有想到思路二、三，教师提示做课后思考作业题目.教师提问：上式是由条件下 当AB#0时得出，对当A = 0,或B=0寸成立吗?点P在直线l上成立吗？公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？由此推导出点P(x0, y0)到直线l: Ax+By+C=0距离

7、公式：AX0 By0 c.，d=J_,丫适用于任意点、任意直线.,A2 B2教师继续引导学生思考，不构造三角形可以求吗？(在前面学习的向量知识中，有 向量的模.由于在证明两直线垂直时已经用到向量知识，且也提出过直线的恼向量的概 念.)能否用向量知识求解呢？思路五：已知直线i的法向量n,则pq = r, PQ- = I九I n ,如何选取法向量？直线的方向向量A、. . . 一 . B '.1,- 则法向量为1,B 或(A,B ),或其它.由师生< B)A AJ一起分析得出取n =(A,B ).教师板演：PQ = (xq - X0, yQ -y0 ),九n = OA) Xq -X0

8、 = A = Xq = X。 AAX0 By° CA 2-2A BVq-V0=?bTyQ=y0+'0B ,由于点q在直线上，所以满足直线方程A(X0 +儿A) +B(yO +KB) +C =0,解得二人=二 PQ =九 nAxo By。 C| . 222. A BA2 B22Ax。 By。CA B2教师评析：向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是现在新 教材知识的交汇点.而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中，用坐标联系转化是常用方法.三、变式训练学会应用练习：1 .解决课堂提出的实际问题.(学生口答)2 .求点Po(1,2)到下列直线的距离： 3

9、x=2 5y=3 2x + y=10 y= 4x+1练习选择：平行坐标轴的特殊直线，直线方程的非一般形式.练习目的：熟悉公式结构，记忆并简单应用公式.教师强调：直线方程的一般形式.例题：3.求平行线2x-7y + 8=0和2x 7y 6=0的距离.教师提问：如何求两平行线间的距离？距离如何转化？学生回答：选其中一条直线上的点到另一条直线的距离.师生共同分析：点所在直线的任意性、点的任意性.几何画板演示点和直线变化，选取点和直线.学生自己练习，教师巡视.教师提问几个学生回答自己选取的点和直线以及结果.然后选择一种取任意点的方法进行板书.解：在直线 2x 7y 6=0 上任取点 P(xo, yo)

10、,则 2 xo 7 yo6=0,点 P(xo, yo)到直线2x 7y + 8=0的距离是d =即- 7y0+8 .22(-7)26+8| _ 14/53.53 一 53教师评述：本例题选取课本例题，但解法较多.除了选择直线上的点，还可以选取原点,求它到两条直线的距离，然后作和.或者选取直线外的点P,求它到两条直线的距离,然后作差.弓I中思考：Ax+By+C1 =0与Ax + By+C2 =0两平行线间距离公式.四、学生小结教师点评知识：点到直线的距离的公式推导以及应用.、数形结合、特殊与一般的方法. 数学思想方法：类比、转化（或化归）1y五、课外练习-5巩固提高4 总结写出点到直线距离公式的

11、多种方法.教学设计说明：一、教材分析我主要从三方面：教材的地位和作用、教学目标分析、教学重点和难点来说明的.教 学目标包括：知识、能力、德育等方面的内容.我确定教学目标的依据有教学大纲、考 试大纲的要求、新教材的特点、所教学生的实际情况.二、教学方法和教学用具1、教学方法的选择(1)指导思想：“以生为本”的理念，在课堂中充分体现“教师为主导，学生为主体(2)教学方法：问题解决法、讨论法.2、教学用具的选用采用了计算机多媒体和实物投影仪教具，不仅将数学问题形象、直观显示，便于学 生思考，而且迅速展示学生不同解题方案，部分纯计算的解题过程，提高课堂效率.三、教学过程这节课在：创设情景 提出问题一一

12、自主探索 推导公式一一变式训练 学会应用一 一学生小结教师点评一一课外练习 巩固提高”五个环节中，始终以学生为本.教师主 导，学生自主探究，将问题解决.首先多媒体显示实例，引发学生的学习的兴趣和求知欲望，从而引出数学问题.通 过一系列问题引导学生通过图形观察，进而思考、分析、归纳总结选择较好的方法具体 实施.学生分组练习，落实计算能力，培养合作学习能力.关于思路五，在课本中没有 出现这样的证法，我在课堂上选取这样的证法.主要是考虑到：向量是新教材内容，是 一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点.而且上述方法 在今后解析几何与向量结合的题目中，用坐标联系转化是常用方法，这样思路五的给出 不仅符合新教材的要求，也为今后的学习方法奠定了基础.我选择练习目的：熟悉公式结构，记忆并简单应用公式，主要通过学生口答完成.我强调注意在公式中直线方程的一般式.例题的选取来自课本，但是课本只有一种特殊点的 解法.我把本例题