14椭圆的标准方程

1、221椭圆的标准方程一、教学目标：（一）知识与技能：1.掌握椭圆的定义；2.掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；3.能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程.（二）过程与方法：1.通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；2.通过对椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，提高学生运用坐标法解决几何问题的能力，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法.（三）情感、态度与价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识，培养学生勇于探索的精神和渗透辩证唯物主义的方法论和认识论.二、教学重难

2、点重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程.难点：椭圆标准方程的建立和推导.三、教学过程：（一）设置情景，引出课题1. 问题：2013年6月11日17时38分，“神舟十号”载人飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道，顺利将3名航天员送入太空。标志着中国天地往返运输系统首次应用性太空飞行拉开序幕，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问：“神州十号”飞船的运行轨道是什么？多媒体展示“神州十号”运行轨道图片和视频请学生列举生活中椭圆的例子.2. 手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔

3、尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆 分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？（二）自学导案（三）解决自学导案（四）例题精析例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，2)，(0，2)，并且椭圆经过点(，)；(3)焦点在坐标轴上，且经过点A(，2)和B(2，1)分析：根据题意，先判断椭圆的焦点位置，后设椭圆的标准方程，求出椭圆中的a、b即可若判断不出焦点在哪个轴上，可采用标准方程的统一形式解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(a

4、b0)2a10，2c8，a5，c4b2a2c252429所以所求的椭圆的标准方程为1(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义知，2a又c2，b2a2c21046所以所求的椭圆的标准方程为1(3)解法一：若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为1(ab0)由A(，2)和B(2，1)两点在椭圆上可得：解之得若焦点在y轴上，设所求椭圆方程为1(ab0)，同上可解得，不合题意，舍去故所求的椭圆方程为1解法二：设所求椭圆方程为mx2ny21，(m0，n0且mn)由A(，2)和B(2，1)两点在椭圆上可得即，解得故所求的椭圆方程为1评注：(1)求椭圆的标准方程时，首先应明确椭圆的

5、焦点位置，再用待定系数法求a、b(2)第(3)小题中的椭圆是存在且惟一的，为计算简便，可设其方程为mx2ny21(m0，n0)，不必考虑焦点位置，直接可求得方程想一想，为什么？例2 已知B、C是两个定点，|BC|6，且ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系为选择适当的坐标系，常常需要画出草图如图811所示，由ABC的周长等于16，|BC|6可知，点A到B、C两点的距离的和是常数，即|AB|AC|16610，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图解：如图811所示，建立坐标系，使x轴经过点B、，原点

6、与BC的中点重合由已知|AB|AC|BC|16，|BC|6，有|AB|AC|10，即点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且2c6，2a10，c3，a5，b2523216由于点A在直线BC上时，即y0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是1(y0)评注：椭圆的定义在解题中有着广泛的应用另外，求出曲线的方程后，要检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在方程后注明，常用限制条件来注明例3 一动圆与已知圆O1：(x3)2y21外切，与圆O2：(x3)2y281内切，试求动圆圆心的轨迹方程分析：两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，可以找到动圆圆心满足的条件

7、解：两定圆的圆心和半径分别为O1(3，0)，r11；O2(3，0)，r29设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题设条件可得|MO1|1R，|MO2|9R|MO1|MO2|10由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上，且a5，c3b2a2c225916故动圆圆心的轨迹方程为1评注：正确地利用两圆内切、外切的条件，合理地消去变量R，运用椭圆定义是解决本题的关键，这种求轨迹方程的方法叫做定义法例4 已知P是椭圆1上的一点，F1、F2是两个焦点，且F1PF230°，求PF1F2的面积分析：如图812所示，已知P30°，要求PF1F2的面积，如用|F1F2|·|y

8、P|，因为求P点坐标较繁，所以用S|PF1|·|PF2|·sin30°较好，为此必须先求出|PF1|·|PF2|，从结构形式可看出用余弦定理可得出夹30°角的两边的乘积解：由方程1，得a5，b4，c3，|F1F2|2c6|PF1|PF2|2a10F1PF230°在F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|·cos30°即62|PF1|22|PF1|·|PF2|PF2|22|PF1|·|PF2|·|PF1|·|PF2|(2

9、)|PF1|·|PF2|(|PF1|PF2|)2361003664，|PF1|·|PF2|64(2)|PF1|·|PF2|·sin30°·64(2)·16(2)评注：在解答解析几何的习题中要善于根据曲线和图形的性质，用平面几何的知识加以解答，本题用余弦定理和椭圆的定义，从而简化了运算，达到化繁为简的目的例5 椭圆ax2by21与直线xy1相交于P、Q两点，若|PQ|2且PQ的中点C与椭圆中心连线的斜率为，求椭圆方程分析：该题是求椭圆方程，即利用题设中的两个独立条件，求出a、b之值即可解：由得(ab)x22bxb10设P(x1

10、，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2|PQ|·ab 又PQ的中点C(，1)，即C(，)kOC 由得a，b所求椭圆方程为1评注：本题是一个小型综合题，此类问题一般先将两个独立的条件都用待定系数a，b表示出来，再联立解方程组，可得所求椭圆方程例6 中心在原点的椭圆C的一个焦点是F(0，)，又这个椭圆被直线l：y3x2截得的弦的中点的横坐标是，求该椭圆方程策略：本题中涉及到弦的中点及弦所在直线的斜率，故可采用“平方差法”解：据题意，此椭圆为焦点在y轴上的标准形式的椭圆，设其方程为1(ab0)设直线l与椭圆C的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：1，两式相减得：0

11、即3 a23b2 又因为椭圆焦点为F(0，) c则a2b250 由解得：a275，b225该椭圆方程为1评注：此题也可以把直线方程与椭圆方程联立后，得到x的一元二次方程，利用x1x21来求，但过程较繁，利用平方差法简便易行课堂练习1如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 2已知椭圆1，F1、F2分别为它的两焦点，过F1的直线交椭圆于C、D，则F2CD的周长为 3椭圆1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是 4设椭圆1的两焦点分别是F1和F2，P为椭圆上一点，并且PF1PF2，则|PF1|PF2|等于 5点P是椭圆1上一点，F1、F2是其焦点，且F1PF260°，则F1PF2的面积为_7ABC的两顶点B(8，0)，C(8，0)，AC边上的中线BM与AB边上的中线CN的长度之和为30，则顶点A的轨迹方程为_8F1、F2为定点，|F1F2|6，动点M满足|MF1|MF2|6，则M点的轨迹是_9以两坐标轴为对称轴的椭圆过点P(，4)和Q(，3)，则此椭圆的方程是_10在椭圆1内，过点(2，1