一元二次方程根与系数的关系精讲精练

1、一元二次方程根与系数的关系精讲精练【典型例题】  例1. 已知方程的一个根是，求它的另一个根及b的值。    分析：含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。    解：（方法一）设方程的另一根为，则由方程的根与系数关系得：        解得：    （方法二）由题意：    解得：    根据韦达定理设另一根为x，则

2、0;       点拨：解法一较简单，主要原因是突出了求解的整体性。   例2. 已知方程的两根为，求下列代数式的值：    （1）；（2）；（3）    分析：若方程两根，则不解方程，可求出关于的对称式的值，只须将其配成含有、的形式。    解：由已知，根据韦达定理    （1）    （2）    （3）   &#

3、160;              点拨：体会配方思想，将代数式配成含有的形式，再代系数即可。   例3. 已知：是两个不相等的实数，且满足，那么求的值。    分析：由两个条件可得出为方程的两不等实根，再对所求代数式配方变形。    解：由题意，为的两个不等实根    因而有    又      

4、  点拨：善于转化未见过的题，充分挖掘已知条件。   例4. 已知关于x的一元二次方程与有一个相同的根，求k的值。    解：（解法一）设方程两根、，方程的两根，则有：        由    当时，代入    当时，由    代入    则    代入    把代入<2>中， 

5、;   或    （解法二）将与相减得：        此时方程根为0或，即题中两方程相同根为0或    （1）若是0则；    （2）若是，则；    或    点拨：两种解法各有千秋，一运用了解方程组思想，二运用了“若方程与有公共根，则公共根必满足方程”的结论。   例5. 已知方程    （1）若方程两根之差为5

6、，求k。    （2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积。    分析：对含字母系数的一元二次方程，可根据题设中方程根与系数关系，确定方程系数字母的值。    解：（1）设方程两根与，由韦达定理知：        又        （2）设方程两根，由根系关系知：            点拨：已知

7、两根的关系，应用韦达定理解决系数求值问题。   例6. 已知方程两根之比为1：3，判别式值为16，求a、b的值。    分析：必用判别式，又韦达定理知，显然可求a、b。    解：设已知方程的两根为m，3m    由韦达定理知：    即            把代入    得：    点拨：把判别式、韦达定

8、理综合出题，更易贯通新旧知识。   例7. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根。    （1）用含m的代数式表示；    （2）当时，求m的值。    分析：应注意，即可用根系关系。    解：（1）由题意：                    

9、0;                      （2）由（1）得：    解得：    检验：当时，原方程无实根。    舍去    当时，原方程有实根。        点拨：易忽略检验，要学会灵活应用一元二次方程有关概念，及判别式，根系关

10、系。   例8. 已知方程的两根为，求一个一元二次方程，使它两根为和。    分析：所求方程，只要求出的值即可，转化成例2类型了。    解：设所求一元二次方程为        为方程的两根    由韦达定理    又        所求一元二次方程为    即：    点拨：应

11、用根系关系构造方程，如果方程有两实根，那么方程为，当为分数时，往往化成整系数方程。 总结扩展  1. 一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。  2. 以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力。  3. 本节课学习了根与系数的关系的应用，主要有如下几方面：（1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根；（3）求某

12、些代数式的值；（4）求作一个新方程  4. 通过根与系数的关系的应用，能较好地熟悉和掌握了根与系数的关系，由此锻炼和培养了学生逻辑思维能力。 【模拟试题】（答题时间：40分钟）一. 选择题。  1. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k与另一根分别为（    ）    A. 2，-1                B. -1，2  &

13、#160;             C. -2，1                D. 1，-2  2. 已知方程的两根互为相反数，则m的值是（    ）    A. 4       

14、60;       B. -4                     C. 1               D. -1  3. 若方程有两负根，则k的取值范围是（  &

15、#160; ）    A.              B.               C.              D.   4. 若方程的两根中，只有一个是0，那么（ 

16、60;  ）    A.                      B.     C.                     

17、D. 不能确定  5. 方程的大根与小根之差等于（    ）    A.            B.           C. 1               D.   6. 以为根的，且二

18、次项系数为1的一元二次方程是（    ）    A.                      B.     C.                 &

19、#160;    D.  二. 填空题。  7. 关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则m_。  8. 已知一元二次方程两根比2：3，则a，b，c之间的关系是_。  9. 已知方程的两根，且，则_。  10. 已知是方程的两根，不解方程可得：_，_，_。  11. 已知，则以为根的一元二次方程是_。 三. 解答题。  12. 已知方程的两个实根中，其中一个是另一个的2倍，求m的值。  13. 已知方程的两根不解方程，求和的值。  14. 已知方程的两根，求作以为两根

20、的方程。  15. 设是方程的两个实根，且两实根的倒数和等于3，试求m的值。 【试题答案】一. 选择题。  1. A            2. B               3. D          &#

21、160;    4. B               5. C               6. B二. 填空题。  7.   8. 设，则      9.             或    时，原方程0，故舍去，  10.