2011年高考一轮课时训练（理）2.3数学归纳法 （通用版）

1、第三节 数学归纳法一、选择题1用数学归纳法证明“(n1)(n2)··(nn)2n·1·3··(2n1)”，从“k到k1”左端需增乘的代数式为()A2k1B2(2k1)C. D.解析：当n1时，式子显然成立当nk(kN*，且k1)时，左边(k1)(k2)··(kk)，当nk1时，左边(k11)(k12)··(k1k)(k1k1)(k2)(k3)··(kk)(k1k)(k1k1)(k1)(k2)··(kk)(k1)(k2)··(kk)2(2

2、k1)答案：B2记凸k边形的内角和为f(k)，则f(k1)f(k) ()A. BC. D2答案：B3如果命题P(n)对nk成立，则它对nk1也成立，现已知P(n)对n4不成立，则下列结论正确的是()AP(n)对nN*成立BP(n)对n4且nN*成立CP(n)对n4且nN*成立DP(n)对n4且nN*不成立解析：由题意可知，P(n)对n3不成立(否则n4也成立)，同理可推得P(n)对n2，n1也不成立答案：D4用数学归纳法证明“1n(nN*，)”时，由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数是()A2k1 B2k1C2k D2k1解析：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由nk，末

3、项为，而nk1，末项为，故应增加的项数为2k.答案：C5若把正整数按下图所示的规律排序，则从2002到2004的箭头方向依次为()答案：D二、填空题6. 用数学归纳法证明135nnn，当n1时，左边应为_答案：17. 已知a1，an1，则a2，a3，a4，a5的值分别为_，由此猜想an_.解析：a2，同理a3，a4，a5，猜想an.答案：、8(2009年广东执信中学月考)观察下列式子：1<，1<，1<，则可归纳出_解析：1<，即1<，1<，即1<，归纳为：1<(nN)答案：1<(nN)三、解答题9已知yf(x)满足f(n1)f(n)lg a

4、n1(n2，nN)且f(1)lg a，是否存在实数，使f(n)(n2n1)·lg a对任何nN*都成立，证明你的结论解析：f(n)f(n1)lg an1，令n2，则f(2)f(1)lg alg alg a0.又f(1)lg a，.f(n)lg a.现证明如下：(1)当n1时，显然成立(2)假设nk(kN*，且k1)时成立，即f(k)lg a，则nk1时，f(k1)f(k)lg akf(k)klg alg alg a.则当nk1时，等式成立综合(1)(2)可知，存在实数、且，使f(n)(n2n1)lg a对任意nN都成立10(2009年南昌月考)设曲线ybx2cx在点处的切线斜率为k(

5、x)，且k(1)0.对一切实数x，不等式xk(x)(x21)恒成立(a0)(1) 求k(1)的值；(2) 求函数k(x)的表达式；(3) 求证：.解析：(1)由xk(x)(x21)得1k(1)1，所以k(1)1.(2)k(x)yax2bxc(a0)，由k(1)1，k(1)0得 ac，b.又xk(x)(x21)恒成立，则由ax2xc0(a0)恒成立得 ac，同理由(a)x2xc0恒成立，也可得：ac.综上ac，b，所以k(x)x2x. (3)证明：法一(分析法)：k(n).要证原不等式成立，即证>.因为>，所以>，所以>.法二：(数学归纳法)由k(n).当n1时，左边1，右边，左边>右边，所以n1，