上课第10章01重积分概念(1)

1、第10章重积分（考点）本章讨论重积分，即在平面区域上的二元函数和空间区域上的三元函数的积分，分别称之为二重积分，三重积分这章必需上册定积分的知识和定积分的计算。请同学们务必认真复习。加一个作业：默写求积分基本及全部法则公式。第1节重积分的概念和性质1.1 重积分的概念1 实例背景【例1.1】求曲顶柱体的体积设为平面内的有界闭区域。以的边界曲线为准线，母线平行于轴的柱面与平面及曲面（，且在上连续）围得的空间立体，称此立体为曲顶柱体求此柱体的体积解我们用如下4步计算体积(1) 分割：用一组曲线网将区域分割成个小区域：（同时也表示第i个小区域的面积）（图1.2）设为底的小的曲顶柱体体积为，则（是无法

2、算得的）(2) 近似：在，把近似看作固定高的柱体，则，（图1.1）(3) 求和：(4) 求极限：记上两点间最大距离为，令。当时（此时每个），与的误差趋于零。所以，曲顶柱体的体积 图1.1 图1.2【例1.2】求非匀质平面薄板的质量设面上有界闭区域是一块薄板，其面密度函数为（且在上连续）求此薄板的质量。解我们也用如下4步计算薄板的质量。(1) 分割：用一组曲线网将区域分割成个小区域：（同时也表示第i个小区域的面积）设的质量为，则（是无法算得的）(2) 近似：在，把近似看作固定面密度的小块，则， (3) 求和：(4) 求极限：记上两点间最大距离为，令。当时（此时每个），与的误差趋于零。所以，薄板的

3、质量2 重积分的定义上面的两个背景例子虽然实际意义完全不同，但是计算方法是一样的。为了一次性地讲完千千万万个这样的例子，我们给出二重积分的定义：定义1.1 设是有界闭区域上的有界函数。(1) 分割：用一组曲线网将区域分割成个小区域：（同时也表示第i个小区域的面积）(2) “近似”：在，计算， (3) 求和： (4) 求极限：记上两点间最大距离为，令。（当时每个）其中称为为被积函数，称为积分表达式，称为积分区域，称为面积元素；称为积分变量；称为二重积分号注极限与的分法和点的取法是无关的（如果张三用一种分法和点的取法得到一个极限，李四用另一种分法和点的取法得到另一个极限，极限就不唯一。但是极限是不

4、能不唯一的。）如果已知可积，就可以用特殊的分法和点的取法计算。比如说，用平行于坐标轴的线分割、取线的交点为。此时，所以，。当时，以为高以区域为底的曲顶柱体的体积当是面密度函数时，的质量当时，的面积。当有千千万万实际意义时，随之有千千万万实际意义（一次性讲完了千千万万个例子）。上述二重积分的定义，可以很容易地推广，得到三重积分的定义定义1.2 设是空间有界闭区域上的有界函数。(1) 分割：用一组曲面网将区域分割成个小区域：，的体积为(2) “近似”：在，计算， (3) 求和： (4) 求极限：记上两点间最大距离为，令。（当时每个）其中称为被积函数，称为积分表达式，称为积分区域，称为体积元素；称为

5、积分变量；称为三重积分号与二重积分类似，。当是体密度函数时，的质量当时， 的体积。注意：在重积分的过程中，积分变量总在积分区域中变化。我们不加证明地给出函数可积的充分条件：(1) 有界闭区域上的连续函数必可积(2) 有界闭区域上的分片连续函数必可积思考题：1二重积分的定义中，能否用各小区域的面积的最大值趋近于零来代替各小区域的直径趋近于零作为对积分区域的无限细分？对三重积分呢？（不行。最大面积趋于零与是不等价的。）1.2 重积分的性质从上面积分的定义可看到，重积分实际上是定积分概念的推广，重积分有着和定积分相类似的性质下面以二重积分为例，不加证明地叙述重积分的性质设在闭区域上均可积，则有(1)

6、 线性性质（是常数）当时，常数因子可以提出来。(2) 对积分区域的可加性：将划分为只有公共边界点而无公共内点的两个区域，则有(3) 积分不等式：若对，有，则推论 若对，则有(4) 绝对可积性：若在上可积，则在上也可积，且(5) 估值定理：设在上，区域的面积等于，则(6) 积分中值定理：若均在上连续，且在上不变号，则在内至少存在一点，使特别地，当时，存在一点，使，为区域的面积以上性质可类似地推广到三重积分【例1.3】估计积分的大小其中解对函数，因，故在的内部无极值点存在，从而的最值只能在边界上取得显然，且的面积，所以由估值定理，有【例1.4】比较与的大小，其中区域解令，则，区域可变换为：，因在上

7、，有，故，即，所以【例1.5】设闭区域，函数在上连续，求极限解因为函数在上连续，由重积分的中值定理，存在点，使得，当时，点，又因为连续，所以思考题：2若函数在区域上可积，且，问在什么条件下，必有？（在上非负。）习题10-1A类1利用二重积分的性质估计下列积分的值*(1) ，其中；(2) ，其中；(3) ，其中；*(4) ，其中2比较下列各组积分值的大小(1) 与，其中；(2) 与，其中：；3求解下列各题(1) 极限，其中；(2) 设连续，求极限，其中4判断下列积分的符号(1) ，其中；*(2) ，其中；(3) ，其中；*(4) ，其中B类1设闭区域在轴和轴上的投影分别为区间和设的面积为，又设点，证明：2判别积分的符号，其中解 记则在上，；在上，；在上，。所以*3试证：(1)若在平面闭区域上连续，且但，则 (2) 设在平面区域上连续且不变号，证明：若，则在上(3) 设在有界闭区域上连续，若对内的任一子区域，都有，则在区域上，(1)若在平面闭区域上连续，且但，则证 （1）由且，存在使