二项式定理复习学案

1、二项式定理复习学案1. 化简：.2. 在的展开式中，常数项是_. 143. 在的展开式中，x2的系数是 . 354.的展开式中的一次项的系数为_.2405.展开式中的的系数为_.-66.设，则被9除的余数是_.0或77.在的展开式中，x7的系数是15，则实数的值为_.8.在的展开式中倒数第项的系数为，则含有的项的系数为_.2109.设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为,若,则=_.410. 若,则=_. -1 11. -181612.已知，且在 的展开式中系数最大的项是常数项，则的取值范围是_.13.已知二项式 展开式中，末三项的系数依次成等差数列，求此展开式中所有的有理项。

2、解：二项展开式的通项公式为 由此得二项展开式中末三项的系数分别为 ， ， 依题意得 注意到这里 ，故得n=8 设第r+1项为有理项，则有x的幂指数 为整数， r=0，4，8， 这里T1，T5，T9为有理项，又由通项公式得： ， ， 所求二项展开式中的有理项分别为 ， ， 14.已知 的展开式中奇数项的二项式系数之和等于512，求：(1).二项式系数最大的项；(2).系数的绝对值最大的项；(3).系数最大的项.解：由题意得 n=10二项展开式的通项公式为 （1）n=10，二项展开式共11项二项展开式的中间一项即第六项的二项式系数最大又 所求二项式系数最大的项为 （2）设第r+1项系数的绝对值 最

3、大，则有 解之得 ，注意到 ，故得r=3 第4项系数的绝对值最大 所求系数绝对值最大的项为 （3）由通项公式的特征可知，系数最大的项应在项数为奇数的项内，即在r取偶数的各项内又r取偶数0，2，4，6，8，10时，相应的各项系数分别为 ， ， ， ， 即分别为1， ， ， ， 由此可知，系数最大的项为第5项(r=4)，即 15.已知，求(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) .解:1）可以把(1-2x)5用二项式定理展开求解. 从另一个角度看，a0为x=0时右式的结果，因而令x=0, (1-0)5=a0, a0=1. 2）令x=1, 则(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5 又

4、a0=1, a1+a2+a3+a4+a5=-2. 3）令x=1，得a0+a1+a2+a5=-1 (*) 令x=-1, 得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5 (*) 因而,(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2 4）联立(*),(*)两方程，解得a1+a3+a5=-122. 5） 因而 |a0|+|a1|+|a5|即为(1+2x)5的展开式的所有系数和， |a0|+|a1|+|a5|=(1+2)5=35=243. 16.设 展开式中的的系数是21，求展开式中的系数的最小值.分析：由条件得m+n=21，x2的项为，则因nN，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x2的系数最小17.求证：(1). 能被整除；(2). .（1）为利用二项式定理，对 中的底数n变形为两数之和（或差）。 ，且 ， 于是有 （）注意到 ，且 ，故 ，因此由（）式知 能被 整除；（2）证法一（倒序相加法）：设 注意到二项式系数的性质： 将式右边各项倒序排