数列通项公式求法大全配练习及答案

1、数列通项公式的十种求法一、公式法二、累加法an 1 an f(n)例1已知数列an满足an 1 an 2n 1, a1 1 ,求数列an的通项公式。an n2例2 已知数列an满足an 1an23n1,a13,求数列an的通项公式。(an 3n n 1.)三、累乘法an 1 f(n)an例3已知数列an满足an 1 2(n 1)5n an, a1 3,求数列an的通项公式。 n(n 1)(an 3 2n 1 5 n!.)a评汪：本题解题的关键是把递推关系& 1 2(n 1)5 an转化为2(n 1)5,进而求an出包包_工L a3 a2 & ,即得数列烝的通项公式。 an 1

2、an 2 a2 a1例 4 已知数列an满足 a11,ana12a23a3L (n1)an1(n2),求an的通项/一 / n!、公式。(an .)2评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 (n 1)an(n 2)转化为一 n 1(n 2),an进而求出-a-a，l生a2,从而可得当n 2时，an的表达式，最后再求出数列an的 an 1 an 2a2通项公式。四、待定系数法an 1 pan q an 1 pan f n an 2 pan 1 qan(其中p, q均为常数)。例5 已知数列an满足an 12n 12an 3 5n, ai 6 ,求数列为的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推

3、关系式4 5n的通项公式，最后再求出数列an 1 2an 3 5n 转化为加 i 5n 1 2(加 5n),从而可知数列an 5n是等比数列，进而求出数列 an的通项公式。例6已知数列an满足an 1 3an 5 2n 4, a1 1,求数列an的通项公式。(an 13 3n 1 5 2n 2)评注：本题解题的关键是把递推关系式an1 3an 5 2n 4转化为 an 1 5 2n 1 2 3(an 5 2n 2),从而可知数列an 5 2n 2是等比数列，进而求 出数列an 5 2n 2的通项公式，最后再求数列 an的通项公式。例7已知数列an满足an 12an3n2 4n5,a11 ,求数

4、列an的通项公式。_n 42(an 2n 4 3n2 10n 18)评注：本题解题的关键是把递推关系式an1 2an 3n2 4n 5转化为,、2 ,、一2 2一 an 13(n1)10(n 1)182(an 3n10n 18),从而可知数列22an 3n 10n 18是等比数列，进而求出数列an 3n 10n 18的通项公式，最后再 求出数列an的通项公式。五、递推公式为Sn与an的关系式(或Sn f(an)S1解法：这种类型一般利用 an1SnSn1(n(n1)2)例8已知数列an前n项和Sn4.(1)求an 1与an的关系；(2)求通项公例9已知数列an满足an 1 3an3,求数列an

5、的通项公式。解：an 12 3n 1两边除以0n 1as an 13 ，仔力3an3n则上3n 1an 23n3上,故3n 1因此新3n2(n 1)蒋(1 3n 1) 32n33则an233n3n评注：本题解题的关键是把递推关系式an3an 2 3n1转化为an 1 an 23n13n 3a进而求出（3nan 1an 1an 2 x3n 13n 13n 2(an3n 2a_2) l 3n 3(曳3231a1 ,即得数列3an3n的通项公式，最后再求数列 an的通项公式。七、对数变换法 （当通项公式中含哥指数时适用）n 5例10已知数列an满足an 1 2 3 an ,7 ,求数列an的通项公式

6、。解：因为 an 1 2 3n a；,0,an 1n 50 0在an 12 3an式两边取常用对数得lg an 1 5lgannlg3 lg 2设 lg an 1x(n 1) y5(lg an xny)11将式代入5lg an nlg3lg2x(n1) y 5(lg an xn y),两边消去5lg an并整理,得(lg3x)n xlg 2 5xnlg3 x 5x 4y,故x y lg2 5ylg34lg316lg24蛆n鲂_监1g an 4 n 1645,代入旧式，得lgani/(n 1)里 史5(lgan吗 幽 暨 n In41644164/ 1蛆跖 /1M跖°及41644164

7、lg3 n lg3 lg2信 Igan 丁口 方丁 °，lg an 1Ig2例11已知数列劣满足an 1 a3(n”，a1 5,求数列an的通项公式。所以数列lg an幽03是以幻7国3幽旦2为首项，以5为公比的等 41644164Ig3Ig3 lg 2Ig3Ig3lg 2 n1比数列，则lgan、一n 士一(lg73)5,因此n 41644164lg3 lg3lg2xrn 1lg 3lg 3lg2lg an (lg7)5n -4164464111n11(lg7 lg 34 lg 36 lg 24)5n 1lg 3 lg3而 lg 2，1 11n 11lg(7 34 3石 24)5n

8、 1 lg(3" 3语 2b 111n 11lg(7 3" 3行 24)5n 1 lg(3" 3行 2”)5n 1 n 5n 1 15n 1 1以75n 1 3- 3元 2丁)5n 4n 15n 1 1lg(75n 1 3 162丁)5n 4n 15n 1 1则 an75n 1 3 162k评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an 1 2 3n an转化为lgan1 g(n 1)蛇庭5(lgan蛇n蛇监)，从而可知数列41644164.lg3lg3lg 2.lg3lg3lg2、lg an-n是等比数列，进而求出数列lgan-n士一的通项41644164公

9、式，最后再求出数列an的通项公式。八、迭代法3(n 1)2n3n 2n 13(n 1) 2n 2 3n 2解：因为 an 1an,所以 anan 1 an 2又a15,所以数列an的通项公式为an 5n(n 1)3n 1 n! 2-2 ) 。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an 1a3(n1)2n两边取常用对数得lg an 13(n1) 2n lgan,即必亘 lg an3(n 1)2n ,再由累乘法可推知, lg an lg an 1 .lg anLlg an 1 lg an 2lga3lg a21g a2 Igailg ain(n 1)3n 1 n! 2

10、-2-1g5n 1 n(n 1)3n 1 n! 2 ：_一,从而an 52 。九、数学归纳法例12已知数列an满足an 1 an8(n1)_2 _ 2 '(2n 1)2(2 n 3)28 ,求数列an的通项公式。9解：由an 1 an8(n 1)(2n 1)2(2n 3)2由此可猜测an(2n 1)2 12(2n 1)2,往下用数学归纳法证明这个结论。(1)当n 1时,(2 1 1)2 1a1 -(2 1 1)28 ,所以等式成立。9(2)假设当n k时等式成立，即akk 1时,由此可知，当n k 1时等式也成立。根据(1), (2)可知，等式对任何 nN都成立。n项，进而猜出数列的通项评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 公式，最后再用数学归纳法加以证明。十、换元法例 13 已知数列an满足 an 1 (1 4an Ji 24an), &16一 / -： 12解：令 * J 2-，则 an 4(bn 1)一121 .故 an 1- (bn 11),代入 an1 (14anJ124an )得2416即 4b：1(0 3)2因为 bn 1 24an 0,故 bn1 * 24%0i13则 2bn1 bn 3,即 bm bn2 2一，、，1可化为 bn 1 3 -(bn 3),2所以bn 3是以b 3 J1 24al 3 W 24 1