长江大学概率论与数理统计习题册答案

1、概率论与数理统计习题册答案习题一一填空题1.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)2.5/7 3.p - q 4.（×）（×）（）（） 2. 计算题1. （1）=1,2,3,4,5,6，A=1,3,5（2） =（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6） （2,1），（2,2）. . (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),A=(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(4,1),(6,1) 2. （1）当时，P(AB)取最大值0.6 （注意P(AB)P(B)(2) 当AB=,P(AB)最小值为0.3 3.

2、 ABCAB P(ABC)=0 4. P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)P(AB)=P(A)-P(A-B)=0.7-0.3=0.4P()=1-P(AB)=1-0.4=0.6习题二1. 填空题1.0.4 2.1/12 3.（注意两个b中任取一个两个i可以互换位置）2. 计算题1. （1）（2）（3） 2. P=/3. （1）P(A)=/=1/12 (2)P(B)=/=1/204.解析：如图.设时间A表示“点与原点的连线与x轴的夹角小于/4”，则时间A的样本空间为=（x,y）|0<y<,即图中半圆内及边界上的所有点，而A=(x,y)|(x,y),且x>y,其面积为

3、由几何概型计算公式有解：故习题三1. 计算题1.P(A)=1-P()=0.7, P(B)=0.6, P()=P(A)+P()-P()=0.7+0.6-0.5=0.8A=AB,P(AB)=P(A)-P()=0.2又.2. (1)(2)(3)(4)3.设：第i次接通记为事件Ai（i=1,2,3） A=拨号不超过3次记为事件B则,且三者都是互斥事件，故有.4. 解：B1表示男性，B2表示女性，则P(B1)=P(B2)=1/2A表示色盲患者，则是男性色盲患者，是女性色盲患者,5. 解：（1）记Ai=“在第i次中取得一等品”，i=1,2Bi="挑到第i箱"，i=1,2则(2)习题四1

4、 填空题1. 4/7 2. 3P2（1-P）22 计算题1. 设三个人分别是A,B,C且P(A)=1/5，P(B)=1/3，P(C)=1/4三个人至少有一个能将密码译出的概率记为P(D),则2. 设A=“投掷r次都得到国徽”，B=“正品硬币”3. 设A表示事件“飞机被击落”，Bi表示“目标中了i发炮弹（i=0,1,2,3）”C1,C2,C3分别表示事件“甲乙丙发射的炮弹击中飞机”由于时间C1,C2,C3相互独立，因此由于事件两两互不相等，且（为试验的样本空间）因此B(i=0,1,2,3)是的一个划分，根据全概率公式有4. （增加限制条件：P(A),P(B)都不等于0）P(AB)1-P(B)=P

5、(B)P(A)-P(AB)P(AB)=P(A)P(B) 则A,B相互独立。习题五1. , ,X345P0.10.30.6随机变量X的分布规律是2. (1)PX=k=(1-p)k-1p=qk-1p ，k=1,2,3.(2) （前k-1次中试验成功的次数为r-1次，第k次试验成功）3. 4.，为正常数依题意故5. 分析：投篮结果只有投中和投不中两种，故变量分布满足二项分布，又甲乙投篮是各自独立的，因此Px=i,y=j=Px=iPy=j(i,j=1,2,3).解：设甲投中的次数为x,乙投中的次数为y，则xb(3,0.6),yb(3,0.7). (1) A表示事件“两人投中次数相等”，B表示事件“甲比

6、乙投中次数多”(2)X012P1/42/41/4习题六1.PX=0=1/4 PX=1=1/2 PX=2=1/4 2. (1)P(X3)=F(3)=1-e-0.4×3=1-e-1.2(2)PX4=1-PX4+PX=4=1-F(4)+PX=4=1-(1-e-0.4×4)+0=e-1.6(3)P3<x<4=pX4-PX3PX=4=F(4)-F(3)-0=(1-e-0.4×4)(1-e-0.4×3)=e-1.2-e-1.6(4)P(X3X4)=1-P3<x<4=1-e-1.2+e-1.6(5)PX=2.5=03.(1)(2)(3)4. 分

7、析：(1)(2)(3)习题七1 填空题1.1-e-1 2. 2.326 2.75 -2.75 2 计算题1.（可以为）进行五次独立试验，设r为寿命大于1500小时的只数，则rb(5,2/3)至少有两只寿命大于1500小时的概率为2. 分析：(1) (2)1-PXc=PXc PXc=1/2(3)（改写为可查表情形：）（利用插项法：（1.28,0.8997）（1.29,0.9015） （x，0.9）利用三点共线，得x=1.281） 3. 4.习题八1.X2014P1/57/3017/302.（1）方法一：当0<y<e时，Fx（y）=PYy=Pexy=PXlny= 故fy(y)=F

8、9;(y)=1/y, 0<lny<1 . 方法二：利用定理：y=ex是（0，1）上的连续增函数x=lny, x'=1/y当1<y<e时，fy(y)=fx(lny)|lny|=1*(1/y)于是：（2） 方法一：y=-2lnx 得 x=lny=e-y/2.又由定理，得y=-2lnx的概率密度为方法二：由y=-2lnx，y的取值必为非负；0<x<1,故当y0时Yy是不可能事件FY(y)=Pyy=0, fy(y)=0当y>0时，FY(y)=Pyy=P-2lnXy=PlnX-y/2=PXe-y/2=1-e-y/2,从而fy(y)=F'(y)=(

9、1/2)e-y/2故3. Y0，Fy(y)=0,4. 因为在（0，）上0<y1，则当y0，y>1时，fy(y)=0.当0<y1时，则概率密度为5. 分析： 解：当y<0或y>1;Fr(y)=0当0<y<1时故Y是（0,1）上的均匀分布习题九一填空题1. 2. F(b,d)-F(a,b)2 计算题（1）(X,Y)的联合分布律为YX01025/365/3615/361/36（2）(X,Y)的联合分布律为YX01045/665/3315/331/662. (1)(2)(3)(4)3.(1)0<x<y时， （1）图 （2）图 (2) 习题十1.(1

10、)X的边缘分布 Y的边缘分布 Y0.40.8Pj0.80.2 X258Pi0.200.420.38(2)即在Y=0.4的条件下X的分布律为X=k258PX=k|Y=0.43/163/87/16(3) PX5|Y=0.4=PX=5|Y=0.4+PX=8|Y=0.4=3/8+7/16=13/16(4) 注意到PX=2，Y=0.4=0.15，PX=2=0.20，PY=0.4=0.8.PX=2，Y=0.4=0.15， PX=0.2=0.20， PY=0.4=0.8PX=2，Y=0.4PX=2Y=0.4故X,Y不相互独立。2. （1）0<x<1时,所以当0<x<1时,（2）3.（

11、1）(2)4. 这两个数分别为X,Y. X,Y在（0，1）上是均匀分布的，且相互独立5. （1）X在（0,1）上服从均匀分布，则X和Y相互独立，则X，Y的联合概率密度（2） a有实数根，则(2X)2-4Y0,a有实数根的概率6.YXy1y2y3PX=xi=pix11/24（P11）1/8（P12）1/12（P13）1/4（P1.）x21/83/8（P22）1/4（P23）3/4（P2.）PY=yj=pj1/6（P.1）1/2（P.2）1/3（P.3）1X,Y相互独立， 由由由习题十一 1 填空题 2 计算题1. 由于X,Y是相互独立的，故由卷积公式，Z=X+Y的概率密度2. （1）（2） 分析

12、：Z只取1,0两个值，是离散型随机变量。Z的分布律 分布函数Z01P3. 随机送4只，设寿命为x1,x2,x3,x4,则xi(i=1,2,3,4)相互独立且有相同分布4. (1)(2)5. 因为X,Y相互独立且同一分布，故习题十二1 填空题1. 3 2. 2 计算题1. 记随机地取10件产品，其中的次品数为Y，则Yb(10,0.1),则不必调整设备的概率为从而需调整设备的概率为1-0.7361=0.2639Xb(4,0.2639),则x的分布律为X01234PX01P0.40.62.Y-101P0.150.500.35XY01-1P0.720.200.083.4.习题十三1 填空题1. np

13、, np(1-p) 2. 3.(a+b)/2 (b-n)2/12 4. 2 5. 6.N(0,5)(解析：E(Z)=E(X)-2E(Y)+7=0,D(Z)=D(X)+(-2)2D(Y)+0=1+4=5)2 计算题1.2.3. （1）(2)4.习题十四1 填空题1. 1 17 （D(3X-4Y)=D(3X)+D(4Y)+2Cov(3X,-4Y)=9D(X)+16D(Y)-24Cov(X,Y)=17）2. -28 (Cov(3X,X)+Cov(-2Y,X)+Cov(3X,4Y)+Cov(-2X,4Y)=3D(X)+10Cov(X,Y)-8D(Y)=-28)3. 1 (课本p.98,定理) 4. 0

14、 2 计算题1.2.3. 因为（X,Y）是二维正态变量，而W与V分别是X,Y的线性组合，故由n维正态变量的性质，知（W,V）也是二维正态变量，从而有习题十五1 填空题1. 1/9 2. 1 （=E(X)=0 辛钦大数定律:）2 计算题1. 设每个加数的舍入误差为Xi(i=1,2,.n,.)Xi是独立且均匀分布的，都服从（-0.5,0.5）上的均匀分布，从而E(Xi)=0，D(Xi)=1/12.(1)(2)2.3. （1）设参加保险的10000人中一年内死亡的人数为X，则有Xb(10000,0.0006).E(X)=60,D(X)=7.722公司一年收取的保险费120000元，每年赔偿费1000

15、X.当1000X>120000时，即X>120时公司就亏本了，所以亏本的概率（有中心极限定理）（2）（4）解：系统中能够正常工作的部件数X显然服从二项分布，Xb(n,0.9)于是习题十六1 填空题1. 2. 2 计算题1.2.3.4.习题十七1 填空题1. 2. -2.7564 (分析：t0.995(29)=t0.005(29)=-t0.005(29)= -2.7564)3. F(1,n) 2 解答题(1)(2)(3)2. (1)(2)3.习题十八1.2.3.4. （1）（2）习题十九1 填空题1. -1 2. 1/n 1/(n-1)2 解答题1. (1)(2)2. (1)(2)3.习题二十1 2(1)当方差2已知时，置信度为1-的置信区间这里1-=0.95，=0.05，那n=9, =0.6, =6.查表知=1.96，代入上区间得5.608,6.392(2)当2未知，置信水平为1-的置信区间为这里1-=0.95，=0.05，n-1=8,查表=2