选修45不等式的证明方法及习题

1、不等式的证明方法一、比较法1. 求证：x2 + 3 > 3x 2. 已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证： 变式：若a > b，结果会怎样？若没有“a < b”这个条件，应如何判断？3. 已知a, b都是正数，并且a ¹ b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b24. 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m ¹ n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？变式：若m = n，结果会怎样？ 二：作商法1.设a, b Î

2、 R+，求证： 三、综合法1. 已知a，b，c是不全相等的正数，求证：2. 已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：练习：1求证：,a, b, c Î R2求证：,a, b, c Î R3a , b, cÎR, 求证：1° 2° 3° 3°由上题： 即 四、分析法例1 求证例2 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大练习：1. 已知a,b,c,d R,求证:ac + bd 2 选择题(1)若logab为整数,且loga>logalogba2,

3、那么下列四个结论中正确的个数是（ ）>>a2 logab+logba=0 0<a<b<1 ab-1=0A1 B2 C3 D4答案:A(2)设x1和x2是方程x2+px+4=0的两个不相等的实数根,则（ ）A|x1|>2且|x2|>2 B|x1+x2|>4 C|x1+x2|<4 D|x1|=4且|x2|=1答案:B(3)若x,yR+,且xy,则下列四个数中最小的一个是（ ）A B C D答案:D(4)若x>0,y>0,且a成立,则a的最小值是（ ）ABC2D2答案:B(5)已知a,bR+,则下列各式中成立的是（ ）Acos2

4、83;lga+sin2·lgb<lg(a+b) Bcos2·lga+sin2·lgb>lg(a+b)Cacos2·bsin2=a+b Dacos2·bsin2>a+b答案:A(6)设a,bR+,且ab-a-b1,则有（ ）Aa+b2(+1) Ba+b +1 Ca+b (+1)2 Da+b 2(+1)答案:A2 用分析法证明:3(1+a2+a4)(1+a+a2)23 用分析法证明: ab+cd 4 用分析法证明下列不等式:(1)(2)(x4)(3)当a,b,cR+ 5 若a,b>0,2c>a+b,求证:(1)c2&g

5、t;ab（2）c-<a<c+五、换元法1 三角换元：若0x1，则可令x = sinq ()或x = sin2q ()若，则可令x = cosq , y = sinq ()若，则可令x = secq, y = tanq ()若x1，则可令x = secq ()若xÎR，则可令x = tanq ()2 代数换元：“整体换元”,“均值换元”,“设差换元”的方法例1 求证：证一：（综合法）证二：（换元法）例2 已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证：例3 若，求证：例4证明：若a > 0，则证：设则 （ 当a = 1时取“=” ）即 原式成立

6、六、放缩法与反证法例1若a, b, c, dÎR+，求证：证明：（用放缩法）记m = a, b, c, dÎR+ 1 < m < 2 即原式成立例2当 n > 2 时，求证：证明：（用放缩法）n > 2 n > 2时, 例3 求证： 证明：（用放缩法）例4 设0 < a, b, c < 1，求证：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同时大于 证明：（用反证法）设(1 - a)b >, (1 - b)c >, (1 - c)a >,则三式相乘：(1 - a)b(1 - b)c(1 - c)

7、a > 又0 < a, b, c < 1 同理 , 将以上三式相乘 (1 - a)a(1 - b)b(1 - c)c 此与矛盾(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同时大于例4 已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0 证明：（用反证法）设a < 0, abc > 0, bc < 0又由a + b + c > 0, 则b + c >-a > 0ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 此与题设

8、矛盾又 若a = 0，则与abc > 0矛盾， 必有a > 0同理可证 b > 0, c > 0练习1设x > 0, y > 0, ，求证：a < b放缩法：2lg9lg11 < 1放缩法：3放缩法：4若a > b > c, 则放缩法：5放缩法：左边6放缩法：7已知a, b, c > 0, 且a2 + b2 = c2，求证：an + bn < cn (n3, nÎR*)放缩法： ，又a, b, c > 0, an + bn < cn8设0 < a, b, c < 2，求证：(2 - a)c, (2 - b)a, (2 - c)b,不可能同时大于1反证法：(2 - a)c>1, (2 - b)a>1, (2 - c)b>1,则(2 - a)c(2 - b)a(2 - c)b>1 又因为设0 < a, b, c < 2，(2 - a) a,同理 (2 -