资料级数部分

1、第一部分：常数项级数的基本概念和结论无穷级数的部分和数列定义：(1)级数收敛与发散的定义当部分和数列收敛，称级数收敛 当部分和数列发散时，称级数发散 （2）收敛级数的和的定义:(3)级数的基本性质l 数乘运算：若收敛，则也收敛，l 加法运算：若和收敛， 则它们的和级数也收敛，且l 改变级数的有限项的值，不影响级数的收敛性。(4)收敛的必要条件级数收敛(5)几何级数与p级数以及它们的收敛几何级数 当时收敛，当时发散p级数当时收敛，当时发散(6)正项（非负）级数收敛性的判别法l 部分和级数判别法: 若单调上升且有界，则收敛l 比较判别法: 两个正项级数之间比较，若则(1)收敛 收敛; (2)发散

2、发散应用1: 级数和的比较。若，则（1）当时，收敛（2）当时，发散应用2: 级数和的比较。若，则(1)当时，收敛(2)当时，发散，不定应用3: 级数和的比较。若，则(1)当时，收敛(2)当时，发散(3)当时，不定(7)交错级数与莱布尼茨定理一般项正负交替出现的级数称为交错级数。通常可写作 （首项为负），或 （首项为正）。进一步，若单调下降趋向于0，则交错级数称作Leibniz级数.定理：莱布尼茨型级数收敛(8)任意项级数的绝对收敛与条件收敛级数称为绝对收敛，如果收敛。级数称为条件收敛，如果级数收敛，但发散。 绝对收敛级数本身收敛第二部分：级数例题1. 设级数收敛，则如下级数 必收敛. D（A）

3、。（B）。（C）。 （D）。思考：举出三个收敛级数的例子，分别使得上述级数(A),(B),(C)发散。2. 设级数绝对收敛，且 ，则该级数的和为 . 83. 设 则下列级数 必收敛. D (A); (B); (C); (D) 思考：同例1的思考, 举出三个收敛级数的例子，分别使得上述级数(A),(B),(C)发散。4. 设常数，级数收敛，则级数 .（A）绝对收敛。（B）条件收敛。（C）发散。（D）收敛性与有关。 A5. 设正项级数收敛, 则 D (A) 极限小于1; (B) 极限小于等于1;(C) 若极限存在, 其值小于1; (D) 若极限存在, 其值小于等于1;6. 设参数，则收敛性的结论是

4、 B （A） 绝对收敛.（B）条件收敛.（C）发散.（D）与参数取值有关。提示：则7.(正常数项级数收敛的收敛性，与一般项的无穷小阶的关系)设 若级数收敛, 则的取值范围是 .解: 由假设可知 。由级数的收敛性可知（）。因此必有（）。故。8.判断 的收敛性.级数收敛。因为 9. 判断 的收敛性.解: 记级数的一般项为, 则。于是。因此，当时, 级数绝对收敛; 当时,级数发散;而当时, 由于单调上升趋于e，故有 ，。因此级数发散.10. 设正项数列单调减，且级数发散，试问是否收敛？证明结论。收敛11. 讨论级数 的收敛性.解: 记，则，所考虑的级数是交错项级数。由于不单调，故不能直接应用Leib

5、niz定理. 需另外解法。考虑加括号级数. 经简单计算得 。因此加括号级数收敛。 再利用条件可知原级数收敛. 易证，级数发散. 于是原级数条件收敛. 证毕。12. 讨论级数 的收敛性 .解: 记，则原级数可写作 。注意级数是Leibniz型级数收敛，条件收敛。 因此级数收敛，当且仅当 收敛。注意到 ，即级数是正项级数，且 ，当时. 于是我们得到如下结论：(1) 当时，（绝对）收敛,且也绝对收敛, 故原级数 也绝对收敛.(2) 当时, 绝对收敛,条件收敛, 故条件收敛.(3) 当时, 发散, 收敛, 故发散.注：对原级数 的不能直接应用Leibniz定理。13. 常数项级数和微分方程设函数是初值

6、问题的解, 讨论级数 的收敛性.解: 对方程两边求导得， 于是 ， ，。由Taylor公式得。于是级数 收敛。 因此原级数绝对收敛.14. （常数项级数和积分估值）设, 讨论级数 的收敛性.解: 对积分作换元 , 则。于是 .因此，当时, 原级数收敛. 解答完毕。15. 考虑两条抛物线和。记它们交点的横坐标的绝对值为。（1）求这两条抛物线所围成的平面图形的面积。（2）求级数之和。解: (1)令 得 。于是 。所求面积为。(2) 。解答完毕。16. 讨论级数 （）的收敛性。解： 级数（）当充分大（即）时是交错级数，且单调减少趋于零，所以（）收敛；又由于, 发散，所以级数（）条件收敛。解答完毕。1

7、7. 讨论级数 的收敛性。解：当时的一般项都为零，所以级数绝对收敛。设，当充分大（即）时是交错级数，且单调减少趋于零，所以收敛；又由于，发散，所以级数条件收敛。18. 讨论级数 的收敛性。解：，因此不存在，所以发散。19. 讨论级数的收敛性。解：记级数的部分和数列为，则 。由于三个级数，和都是Leibniz级数，均收敛。所以存在且有限。由于一般项趋向于零，因此。由此可知级数收敛。由于，发散，所以级数条件收敛。解答完毕。20. 讨论级数 的收敛性。解：记级数的一般项为。则 。因此当时，级数绝对收敛， 即当时，级数绝对收敛。当时，故级数，条件收敛。当时，级数发散。解答完毕。21. 讨论级数 ()的

8、收敛性。解：记级数的一般项为。当时，所以级数 绝对收敛；当时，。级数为条件收敛。当时，由于收敛，单调有界，由Abel判别法，级数收敛。不难看出此时级数是条件收敛。因为由于，而级数发散。解答完毕。22. 利用Cauchy收敛准则，证明下述级数发散： 1+-+-+-+; 1-+-+-+。证（1）设级数的一般项为，则 。上述不等式对任意均成立。故由Cauchy收敛准则可知级数发散。（2）设级数的一般项为，则 。根据Cauchy收敛准则原理可知级数发散。解答完毕。23. 若正项级数收敛，且数列单调减，证明= 0。证 根据假设收敛，利用Cauchy收敛原理可知，对任意给定的，存在正整数，对一切，成立 。

9、 取，我们有 ，从而 ，。取，我们有 ，从而，。这表明，对任意给定的，存在，当时，成立 。此即 = 0。证毕。24. 考虑两个级数和。若级数收敛，且 = 1。问级数是否收敛?解 不一定收敛。反例：, ，则 = 1，但级数收敛，而级数发散。解答完毕。25. 设正项数列单调减少，且级数发散。判断级数的收敛性，并说明理由。解 级数收敛。 理由如下因为正项数列单调减少，所以必定收敛。如果，则是Leibniz级数，从而收敛。此条件矛盾。所以必定有。于是当充分大时，。因此收敛。证毕。26. 假设数列收敛，且级数收敛。证明级数收敛。证：记级数的部分和为。则。于是 。因此级数收敛。证毕。27. 设在上具有二阶连续可微，且。证明级数绝对收敛。证 由可知, 于是 （），所以级数绝对收敛。证毕。28. 假设级数发散，证明级数也发散。证： 反证。假设级数收敛。令，则。由于数列单调有界，则由Abel判别法可知级数收敛。此于假设矛盾。所以级数 发散。证毕。29. 我们回忆一下曾经证明过的结论：数列 收敛。其极限通常记作 ，称为Euler常数。它的近似值为 （注：关于Euler常数我们了解的很少。至今我们还不知道它是否为无理数。虽然如此，但一般期待它是个超越数。谁能证明是无理数（或有理数， 或超越数（更难），谁就是数学界的大英雄，将名垂数学史册。自古