垂直于弦的直径 (2)

1、阳高三中阳高三中 潘秀云潘秀云 实践探究实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么结论？ABCD思考：思考： 问题问题1 1、图中有相等的线段吗？有相等的劣弧吗？如、图中有相等的线段吗？有相等的劣弧吗？如果有，你能找到吗？果有，你能找到吗？O问题问题2.AB2.AB作怎样的变换时，作怎样的变换时，AC=BC,AD=BD相等的线段有：相等的线段有：OA=OC=OB=OD，AB=CD相等的弧有相等的弧有：AC=BD,BC=AD,CDABO结论：结论：当当CDCDAB时时AC=BC

2、AD=BDCDO问题问题3.3.将弦将弦ABAB进行平移时，进行平移时，ABABEAE与与BE相等吗？相等吗？AC与与 BC相等吗？相等吗？AD与与BD相等吗相等吗？OABCDE已知：在已知：在 O中，中，CD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CDAB，垂足为，垂足为E（如图）。（如图）。求证：求证：AE=BE ，ACBC=ADBD.=,证明：证明：连结连结OA、OB， OAOB,CDAB直径直径CD所在的直线既是等腰所在的直线既是等腰 三角形三角形OAB的对称轴，又是的对称轴，又是 O的对称轴的对称轴. 则则A点与点与B点重合，点重合，AE和和BE重合，重合，ACBC和和ADBD和和也重合也重

3、合.AE=BE ，ACBC=ADBD.=,叠合法OABCDE垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧题设题设结论结论（1）直径）直径（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧 符号语言：符号语言： CD是直径且是直径且CDABAE=BE, AD=BD. AC=BC,垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦，平分弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧E EO OA AB BD DC CE EA AB BC CD DE EO OA

4、 AB BD DC CO OB BA AE EE EO OA AB BC CE EO OC CD DA AB B下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？OABCDE垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧 符号语言：符号语言： CDAB，CD过圆心过圆心AE=BE, AD=BD. AC=BC, 垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦，平分弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧经过圆心的一条直经过圆心的一条直线或线段线或线段注意：定理中的两个条件注意：定理中的两个条件（过（过圆心，垂直于弦）圆心，垂直

5、于弦）缺一不可！缺一不可！1 1、两条线段：、两条线段：半径、圆心到弦的垂线段半径、圆心到弦的垂线段2 2、一个、一个RtRt： 半径、圆心到弦的垂线段、半弦半径、圆心到弦的垂线段、半弦OABC3 3、两个定理：、两个定理： 垂径定理、勾股定理垂径定理、勾股定理 解决有关弦的问题，经常是解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线过圆心作弦的垂线，或，或作垂直于弦的直径作垂直于弦的直径，连结半径连结半径等辅助线，为应用垂径定等辅助线，为应用垂径定理创造条件。理创造条件。D4 4、弦长、圆心到弦的距离（弦心距）、半径、弦长、圆心到弦的距离（弦心距）、半径、弧中点到弦的距离（弓形高），弧中点到弦的距离

6、（弓形高），可利用垂径定理可利用垂径定理和勾股定理和勾股定理由任意两个求出其他两个由任意两个求出其他两个问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ? 它的主桥是圆弧形它的主桥是圆弧形, ,它的它的跨度跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.437.4m m, , 拱高拱高( (弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离) )为为7.27.2m m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？赵州桥主桥拱的半径是多少？ 37.4m7.2mABOCE解得：解得：R279（m）BODACR在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即

7、R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在图中在图中解：用解：用 弧弧AB表示主桥拱，设弧表示主桥拱，设弧AB 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为半径为R经过圆心经过圆心O 作弦作弦AB 的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与与AB 相交于点相交于点D，根据前面的结论，根据前面的结论，D 是是AB 的中点，的中点，C是弧是弧AB的中点，的中点，CD 就是拱高就是拱高 已知：如图，在已知：如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8c

8、m， 圆心圆心O到到AB的距离为的距离为3cm。 求：求： O的半径。的半径。A AB B.O OE E 解：作解：作OEAB，垂足为，垂足为E，连结，连结OA。AE=BE，又，又AB=8cmAE=4cm又圆心又圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，即，即OE=3cm。在在RTABC中，则勾股定理可得：中，则勾股定理可得：OA=所以，所以， O的半径为的半径为5cm。5342222OEAE如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的两条为互相垂直且相等的两条弦，弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证：四边形求证：四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明证明：四边形四边形AD

9、OEADOE为矩形，为矩形， 又又AC=ABAC=AB11 22AEACADAB， AE=AD AE=AD 四边形四边形ADOEADOE为正方形为正方形. .OEACOEAC，ODABODAB，ACABACABOEA=ODA=BAC=90OEA=ODA=BAC=90已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆为圆心的两个同心圆中，大圆的弦的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。两点。求证：求证：ACBD。证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则AEBE，CEDE。AECEBEDE。所以，所以，ACBDE.ACDBO小结：小结：圆是圆是轴对称图形轴对称图形, ,经过圆心的每一条直经过圆心的每一条直线都是它的对称轴线都是它的对称轴. .垂直于弦垂直于弦的的直径直径平分平分这