超越方程与导数

1、利用导数、数形结合讨论二类方程根的问题导数是高中数学的重要内容，它是研究函数、方程、不等式等的重要工具。在探求诸如，+2方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决。此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域。2、求导数，得单调区间和极值点。3、画出函数草图。4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况求解。下面利用导数讨论这二类方程根的问题。一、有关三次方程根的问题：对的根，在特殊情况下，我们可以直接猜出一根，然后转化为，再展开，应用待定系数法即可求出。再对求根得解。如；但大多数三次方程的根不易猜出，这时我们就可以利用导数，数形结合讨论这一类方

2、程根的情况。例1、方程的实根的个数是 （ ） 、3 、2 、1 、0分析：此题是一个三次方程，不易猜根。可先构造函数，再通过求导数判断函数的单调性，画出其草图，数形结合分析求解。解：令= 则= = 当或时 0 为增函数 当时 为减函数 =013 故的极大值在轴的下方，如图1，即的图象与轴只有一个交点，原方程只有一个实根。选。（图1）例2、已知函数在上是增函数，在上是减函数，若恰有一解，求实数的取值范围。分析：此题给出函数的单调区间，求参数的范围。可通过对函数求导得出其单调区间，它应包含题中给出的单调区间，初步得出的范围。又据恰有一解，即函数值对应惟一值。可先由单调性画出草图，然后数形结合分析求

3、解。解：函数在上是增函数，在上是减函数由得， ， 得由题意 0 即 又在和上递增，在上递减。如图2（图2） 在的值域为 即 据图2可知，若恰有一解，只需 得 结合 二、有关超越方程根的问题：这时更不易猜根求解，但构造函数求导后，画出草图，数形结合，找到图象与轴的交点，则可化难为易。很快得解。例3、证明方程+2有惟一解。分析：这一方程形式比较复杂，观察易知是其一根，但不能说明它惟一。我们利用导数，解题步骤基本不变，不同之处是要首先考虑函数的定义域，在定义域的范围内求解。证明：移项得：=0 令 y 01x 当即时 ，为增函数（图3） 当即时，为减函数。 如图3，此时图象与轴相切。与轴只有惟一交点

4、故方程+2有惟一解。例4、若关于的方程在上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围。分析：这一方程已知根的情况，反过来要探求参变量的范围。仍可先构造函数，再利用导数判断其单调性，然后画出草图数形结合，根据图象与轴的交点情况，挖掘出隐含条件即可得解。解：方程可化为 令 则 由得，得012 在上递增，在上递减。（图4） 要使关于的方程在上恰好有两个相异的实根，只需的图象与轴在和上各有一个交点。如图4 所以有： 即解之得：通过上面的例题分析，可以看出，对于三次方程、超越方程的根的问题（或是能转化为这二类方程根的问题），我们就可以先构造函数，运用导数这一工具，在定义域内求出其单调区间，依题意作出草图，运用数形结合的数学思想，确定函数图象与轴的交点情况，挖掘隐含条件求解。导数是工具、图形是核心，找根是目标。练习1、（本小题满分14分）已知函数 （I）求f(x)在0，1上的极值； （II）若对任意成立，求实数a的取值范围； （III）若关于x的方程在0，1上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.解：（I），令（舍去）单调递增；当单调递减. 3分上的极大值 5分 （II）由得， 7分设，依题意知上恒成立， 上单增，要使不等式成立，当且仅当 9分 （