二维随机变量函数分布

1、二维随机变量函数分布第五节 两个随机变量的函数的分布如果已知二维随机变量(X,Y)的联合分布，怎样求随机变量X和Y的函数Z=g(X,Y)的分布，这是本节要讨论的问题。与第二章第五节的求一维随机变量的函数的分布相比较，这一类问题要复杂一些，但其基本方法仍然是适用的。换一个角度，就下面几个具体的函数，我们来讨论两个随机变量的函数的分布。(一一)Z=X+Y的分布的分布设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为PX=xi,Y=yj=pij,i=1,2, j=1,2,若随机变量Z是X与Y的和，即Z=X+Y，则Z的任一可能值zk是X的可能值xi和Y的可能值yj的和：zk=xi+yj由上式及概率的加法公式，有

2、, (1)ijkkijxyzikiiP ZzP Xx YyP Xx Yzx或者, (1)ijkkijxyzikiiP ZzP Xx YyP Xx Yzx,(2)kkjjjP ZzP Xzy Yy例例1 设二维随机变量(X,Y)的分布律为 Y X10100.10.20.110.30.10.2试求Z=X+Y的分布律.解解 由X,Y可能取的值知Z的可能值为: 1,0,1,2,且有PZ1=PX=0,YPZ=0=PX=0,Y=0+PX=1,YPZ=1=PX=0,Y=1+PX=1,YPZ=2=PX=1,Y Y X10100.10.20.110.30.10.2Z=X+Y.即Z的分布律为Z1012pk0.10

3、.50.20.2对于连续型随机变量, 若(X,Y)的概率密度为f(x,y), 则Z=X+Y的分布函数为( )( , )d dZx y zFzP Zzf x yxy xyx+y=zO化成累次积分, 得( )( , )d d( , )ddZx y zz yFzP Zzf x yxyf x yxy xyx+y=zO( )( , )ddz yZFzf x yxy对积分( , )dz yf x yx作变量替换, 令 x=uy, 得 ( , )d(, )dz yzf x yxf uy yu于是( )(, )d d(, )ddzZzFzf uy yu yf uy yyu 上式两边对z求导数, 即得Z的概率密

4、度( )(, )ddzZFzf uy yyu ( )(, )d(3)Zfzf zy yy由X,Y的对称性, fZ(z)又可写成( )( ,)d(4)Zfzf x zxx特别地, 当X和Y相互独立时, 我们有( )(, )d(3)Zfzf zy yy( )( ,)d(4)Zfzf x zxx( )()( )d(5)ZXYfzfzy fyy( )( )()d(6)ZXYfzfx fzxx(5)式或(6)式称为卷积公式.例例2 设X和Y是两个相互独立的随机变量, 它们都服从正态分布N(0,1), 其概率密度为22221( )e,21( )e,2xXyYfxxfyy 求Z=X+Y的概率密度.解解 由(

5、6)式2222()2224( )( )()d1eed21eed2ZXYxz xzzxfzfx fzxxxx令2ztx, 得 2224411( )eede22zztZfzt即Z服从N(0,2)分布.注: 222222()()1() 22222eeeexz xxz xxz x指数上 中有222222222222222211()()222()222( 2 )21111( 2)22222xzxxzzxxxzxzxzxzxzzxzzzz注: 222222()()1() 22222eeeexz xxz xxz x指数上 中有222211()222xzxxzz22222211111() 24224eeeex

6、zzxzxz xz因此还有2212211ed2ed2122tttt例例3 设随机变量X,Y相互独立, 其概率密度分别为1,01,e,0,( )( )0,0,.yXYxyfxfy其它，其它求随机变量Z=X+Y的概率密度.解法1 利用公式( )( )()dZXYfzfx fzxx由fX,fY的定义知, 仅当01,0,xzx01,xxz时, 上述积分的被积函数才不等于零.x=1x=zzxO如图可知()0011()00( )()ded ,01,( )( )()ded ,1,0,.zzz xXYz xZXYfx fzxxxzfzfx fzxxxz其它即有1e ,01,( )(e 1)e ,1,0,.zz

7、Zzfzz其它解法2 由已知, (X,Y)的概率密度为e,01,0,( , )( )( )0,.yXYxyf x yfx fy其它则z的分布函数为( )( , )d dZx y zFzP ZzP XYzf x yx y xyO1xyO1xyO1当z0时, FZ(z)=0.当0z1时,00( )edde1zz xyzZFzyxz 当z1时,100( )edd1(1e)ez xyzZFzyx 综合上述Z的分布函数0,0,( )e1,01,1(1e)e ,1.zZzzFzzzz故Z=X+Y的概率密度为0,0,( )( )1e ,01,(e 1)e ,1.zZZzzfzFzzz(二二)Z=XY的分布的

8、分布例例4 设二维随机变量(X,Y)在矩形域G=(x,y)|0 x2,0y1上服从均匀分布, 试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度f(s).解解 由已知, (X,Y)的概率密度为1,( , ),( , )20,x yGf x y其它.令F(s)为S的分布函数, 则( )( , )d dxy sF sP Ssf x yx y显然，当s0时, F(s)=0; 当s2时，F(s)=1.当0sz=1PXz,Yz=1PXzPYz即 Fmin(z)=11FX(z)1FY(z)(8)上述结果容易推广到n个相互独立的随机变量的情况。特别地, 当X1,X2,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有Fmax

9、(z)=F(z)n,(11)Fmin(z)=11F(z)n(12)设 X1,X2,Xn是 n 个相互独立的随机变量, 它们的分布函数分别为( )(1,2, )iXiFxin, 则M=max(X1,X2,Xn)及 N=min(X1,X2,Xn)的分布函数分别为 1212maxmin( )( )( )( ),(9)( )1 1( )1( ) 1( )(10)nnXXXXXXFzFz FzFzFzFzFzFz 例例5 设某种型号的电子元件的寿命(以小时计)近似服从N(160,202)分布, 随机地选取4只, 求其中没有一只寿命小于180小时的概率.解解 将随机选出的4只电子元件的寿命分别记为T1,T

10、2,T3,T4. 按题意，TiN(160,202), i=1,2,3,4, 其分布函数为F(t).令T=min(T1,T2,T3,T4), 由(12)式得出FT(t)=PTt=11F(t)4.于是 PT180=1PT0时222221( , )e2xyf x yss22ZXY222222222222222200( )1ed d21ed d2ZxyxyzrFzP Z zP XYzxyr rssss 对FZ(z)求导即得证.222222222222222222222002222200( )1ed d21ed d2ede1e2ZxyxyzrzzrrzzFzP Z zP XYzxyr rrsssssss

11、s 任给二元函数z=g(x,y), 如果固定住y=yc为常数, 这时z就暂时是x的一元函数, 这个一元函数有可能严格单调, 有可能存在反函数, 这个反函数当然也与yc有关, 因此可以记为x=h(z,yc), 采用yc是害怕读者搞糊涂, 其实可以直接写成y, 即这时候的反函数写成x=h(z,y), 这个反函数被称之为陈必红局部反函数陈必红局部反函数, 简称为局部反函数.假设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y), Z=g(X,Y), 其中函数z=g(x,y)在固定y时存在局部反函数x=h(z,y), h(z,y)对z的偏导数记为hz(z,y), 则Z的概率密度可表示为:这也被称为陈必红方法. 或者陈必红公式.( )|( , )| ( , ), dZzfzh z yf h z yyy例: Z=X+Y, 则z=g(x,y)=x+y, x=h(z,y)=zy, |hz(z,y)|=1, 代入上式得( )|( , )| ( , ), dZzfzh z yf h z yyy( )(, )dZfzf zy yy例: Z=XY, 则z=g(x,y)=xy, x=h(z,y)=z+y, |h