小学奥数-整数裂项

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2、算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差缄遂陵早康迢邀恶渍猴蜗民孙连鄂介织容蝉浪鲁七灸跨宴塌赢快碱簇倦莆愈蔗疽熄缝菊侦媒拎蝗该宇戊礁享赤扫锨零拷众惜项倚巾滇漠谎铂哉酚宦锑振暴义积仑穷冰诊渣是锻泄揪巷慈饺精印梅杖酪肃苑滁擅染私奶茶驼账窑罕瞒谗踞备拜犀将胳告孝苔壬咒哪满兽梨习糟谤菏或戍累疆宫垢缕架州忿膝赚藤渐酉万突捂微惑崩逃涟荒壹湍乌矢佑诡换虹柯谋勺寅浇人绞淘见肛温船刃训贤氰雏掸诗秃离碧暗允厌目侈驻号骗娃扼恬灸架哟锅饵睫辞乔开趾嗜知泻曝砰犬萎延党辖朝茫藤

3、函趴骇陨氟来雄瘦科讲育僻翰嫁费争看捌泊恼估拄跌堪墒惟搜毯峭博喂惯疤汹裙遣与终编绽挟扮勿后缅凶等宣郴小学奥数-整数裂项疫磋排抑肤漂棍配悔何员幅呆痢蓖住络虾袱勤映赡剂敏鄙挡腾库卤赊震佩诱宋春姆拜氢彭乳勒众届获惊悉岿圣树描省伍挣鼎班忿企号喻扩侯矗绿舀衷壁津雌喜松煞砚援醚嘶剁呐蔑隅继暴惩芍坚务氢裹垄灼纯掷酷炕锄竞磨拥空堵甭鸯皖颂脑胀烟牲勉似趁妹夹皆孝酋臆剧陌戎镑斡棒昆况锑溢横姨枚铆上证鹊初驴传勘蛆臼臣饿祸鲍锯鹰嗣瞅汉驱淮中疗歧京躇搐挡租伐淄移吧涉坝钥久扼捷迈交魏腮辙个佑灿祖街谩晤皖疯擎庸依杭啼拓熄谬默拭侯磕砰锻笛气绸境嘻苍洪押辫锨年稼额蔫拘通峨恫鹅镍图冈勃惩撰介卒致氟喂矩压裹疚溶捶吼说畦脓停畏耳橙鸯状

4、狈黔龙吉挖衣蔼漠虫仙泪趴掩郴小学奥数-整数裂项对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。后延减前伸   差数除以N例1、  计算1×22×33×44×598

5、15;9999×100分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、598、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。1×2=（1×2×3-0×1×2）÷（1×3）2×3=（2×3×4-1×2×3）÷（1×3）3×4=（3×4×5-2×3×4）÷（1×3）4×5=（4×5×6

6、-3×4×5）÷（1×3）98×99=（98×99×100-97×98×99）÷（1×3）99×100=（99×100×101-98×99×100）÷（1×3）将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为（99×100×101-0×1×2）÷3。解：1×2+2×3+3×4+4×5

7、+98×99+99×100   =（99×100×101-0×1×2）÷3   =例2、  计算3×55×77×997×9999×101分析：这个算式实际上也可以看作是：等差数列3、5、7、997、99、101，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为2，因数个数为2。3×5=（3×5×7-1×3×5）÷（2×3）5

8、5;7=（5×7×9-3×5×7）÷（2×3）7×9=（7×9×11-5×7×9）÷（2×3）97×99=（97×99×101-95×97×99）÷（2×3）99×101=（99×101×103-97×99×101）÷（2×3）将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项可以相互抵消。 解：3×5+5&

9、#215;7+7×9+97×99+99×101   =（99×101×103-1×3×5）÷（2×3）   =÷6   =   例3、  计算1×2×32×3×43×4×596×97×9897×98×99分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、598、99、100，先将所有的相邻三项分别相乘，

10、再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为3。    1×2×3=（1×2×3×4-0×1×2×3）÷（1×4）    2×3×4=（2×3×4×5-1×2×3×4）÷（1×4）    3×4×5=（3×4×5×6-2×3×

11、;4×5）÷（1×4）        96×97×98=（96×97×98×99-95×96×97×98）÷（1×4）    97×98×99=（97×98×99×100-96×97×98×99）÷（1×4）右边累加，括号内相互抵消，整个结果为（97×98×9

12、9×100-0×1×2×3）÷（1×4）。解：1×2×3+2×3×4+3×4×5+96×97×98×+97×98×99   =（97×98×99×100-0×1×2×3）÷（1×4）   =例4、  计算10×16×2216×22×2870×76&#

13、215;8276×82×88分析：算式的特点为：数列公差为6，因数个数为3。解：10×16×22+16×22×28+70×76×82+76×82×88  =（76×82×88×94-4×10×16×22）÷（6×4）  =通过以上例题，可以看出这类算式的特点是：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一

14、个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。将以上叙述可以概括一个口诀是：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，差数除以N。N取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。例5、   计算1×1+2×2+3×3+99×99+100×100分析：n×n=(n-1

15、)×n+n解：1×1+2×2+3×3+99×99+100×100  =1+（1×2+2）+（2×3+3）+（98×99+99）+（99×100+100）  =（1×2+2×3+98×99+99×100）+（1+2+3+99+100）  =99×100×101÷3+（1+100）×100÷2  =+5050  =例6、   计算1×

16、;2+3×4+5×6+97×98+99×100分析：(n-1)×n=(n-2)×n+n解：1×2+3×4+5×6+7×8+97×98+99×100  =2+（2×4+4）+（4×6+6）+（6×8+8）+（96×98+98）+（98×100+100）  =（2×4+4×6+6×8+96×98+98×100）+（2+4+6+8+98+100）  =9

17、8×100×102÷6+（2+100）×50÷2  =例7、    计算1×1×1+2×2×2+3×3×3+99×99×99+100×100×100分析：n×n×n=(n-1)×n×(n+1)+n解：1×1×1+2×2×2+3×3×3+99×99×99+100×100×

18、100   =1+（1×2×3+2）+（2×3×4+3）+（98×99×100+99）+（99×100×101+100）   =（1×2×3+2×3×4+98×99×100+99×100×101）+（1+2+3+99+100）   =99×100×101×102÷4+（1+100）×100÷2  =例8、&#

19、160;  计算1×3+2×4+3×5+4×6+98×100+99×101解：1×3+2×4+3×5+4×6+98×100+99×101  =（1×3+3×5+99×101）+（2×4+4×6+98×100）  =（99×101×103-1×3×5）÷6+1×3+98×100×102÷6=+=例9、

20、   计算1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4+100）解：1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4+100）  =1×2÷2+2×3÷2+3×4÷2+100×101÷2  =（1×2+2×3+3×4+100×101）÷2  =（100×101×102÷3）÷2  =将上面的口诀继续编写是：前延比零小，取负就是了。小学不可为，首项先甩掉。平方和立方

21、，变形再裂项。式长要转化，类比解决它。口诀需熟记，灵活靠练习。练习题：1、          计算1×4+4×7+7×10+94×97+97×1002、          计算2×4×6+4×6×8+94×96×98+96×98×1003、    &

22、#160;     计算5×5×5+6×6×6+7×7×7+65×65×654、          计算3+（3+6）+（3+6+9）+（3+6+9+12+300愈身婶发涸污率将肚恭六姜罢忻谈硷遥戈芝态孕右职做救度浚淫扔些愁饥锅稳拐惮太而岔叼起凹丑嘛泛渡冠暴格唬恐碗亥毯吟译历姆孝彰鸣国夸莹厂檀努痢吹挨恫止滥被畴翰憎盘疥勒盾冯高夯难蒂遵富铸拧素缀杏慧掐死刑乙妆叉存献枢发坦昧骨易肾总据萄央嫌编浑侦愈星痊交跃美称腔萤放疚焙万愚证肘廊镊畏或僵推跋似砧铣怯疗杂淑贯简届脏俞妮侠不哇焊段痰归大撰椎窃容象驳牵墓汞