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文档简介

1、2008年高等数学竞赛试题评分参考标准（理工类）一、选择题（本大题共5小题，每小题4分共20分） 1.设与互为反函数，则的反函数为 ； 答：（ D） 2.设函数在的某一邻域内可导，且，则 一定是的一个极大值； 一定是的一个极大值； 一定是的一个极小值； 一定是的一个极小值. 答：（ D ）3.设函数)与在a , b上连续且都大于零，则在区间a , b上由曲线，所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为(A) .(B) .(C) .(D) 答：（D）4. 设，则当时，是的 低阶无穷小； 高阶无穷小； 等价无穷小； 同阶但不等价的无穷小. 答：（ B ） 答：（D）5.下列微分方程中以是任

2、意常数）为通解的是 ； ； ； . 答：（D）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分共20分） 6.设则7.设是的一个原函数，且，则8. 设是二元可微函数，则 _2_9.设，且，则10.设，则.三、解答题（本大题共6小题，每小题10分共60分）11.设在的某邻域内二阶可导，且，求.解：当时，所以 4分 6分 所以，.10分12.设在上具有连续的导数，且（1）求； （2）证明：解：（1）4分（2）设 8分判别式即10分13.设在上连续，在内可微，.若在上的最大值为，试证明：存在中的点，使，其中为大于1的整数.证明：因为，在上连续 ，使；2分 根据已知条件，在上分别应用拉格朗日中值定理，得5分8分.10分14.设，计算，其中是由所围成的区域.解：设围成得区域为，围成得区域为 根据对称性，6分10分15.设，在椭球面的第一卦限部分求一点，使得该点处的切平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小.解：椭球面上处的切平面方程是2分四面体的体积为 4分问题转化为求在条件下的最大值点.令6分8分因实际问题存在最小值，因此椭球面上点处的切平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小.10分.16.设在有连续的二阶导数，且二元函数满足（1）设，求满足的初值问题微分方程； （2）求在上的最大值.解：（1） 2分同理

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