高二数学培优讲义空间向量的运算及空间位置关系

1、第八讲 空间向量的运算及空间位置关系教学目标：1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2.会推导空间两点间的距离公式3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.1、 知识回顾 课前热身知识点1空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系名称内容空间直角坐标系以空间一点O为原点，具有相同的单位长度，给定正方向，建立三条两两垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.坐标原点点O坐标轴x轴、y轴、z轴坐

2、标平面通过每两个坐标轴的平面(2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向时，中指指向z轴的正方向(3)空间中点M的坐标：空间中点M的坐标常用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标建立了空间直角坐标系后，空间中的点M和有序实数组(x，y，z)可建立一一对应的关系知识点2空间两点间的距离(1)设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|.特别地，点P(x，y，z)与坐标原点O的距离为|OP|.(2)设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)是空间中两点，则线段AB

3、的中点坐标为.知识点3空间向量的概念及运算空间向量的概念及运算同平面向量基本相同加减运算遵循三角形或平行四边形法则；数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算相同；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标知识点4空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使得ab.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使pxayb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc.其中，

4、a，b，c叫做空间的一个基底知识点5两个向量的数量积(与平面向量基本相同)(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作a，b，则角AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b通常规定0a，b.若a，b，则称向量a，b互相垂直，记作ab.(2)两向量的数量积：两个非零向量a，b的数量积a·b|a|b|cosa，b(3)向量的数量积的性质：a·e|a|cosa，e；aba·b0；|a|2a·aa2；|a·b|a|b|.(4)向量的数量积满足如下运算律：(a)·b(a·b)；a·bb·a(交换律

5、)；a·(bc)a·ba·c(分配律)知识点6空间向量的坐标运算(1)设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)ab(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，a·ba1b1a2b2a3b3.aba1b2a2b2a3b30；aba1b1，a2b2，a3b3(R)；cosa，b .(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则(x2x1，y2y1，z2z1)例题辨析 推陈出新例1已知点M(3,2,1)，N(1,0,5)，求：(1)线段MN的长度；(2)到M，N两点的距离相等的点P(x，y

6、，z)的坐标满足的条件自主解答(1)根据空间两点间的距离公式得线段MN的长度MN2，所以线段MN的长度为2.(2)因为点P(x，y，z)到M，N的距离相等，所以有，化简得xy2z30，因此，到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是xy2z30.变式练习1已知直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90°，ABACAA12，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，求|MN|.解：如图，以A为原点，AB，AC，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则B(2,0,0)，C1(0,2,2)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，N(1,0,2)，M(1,1,1)

7、，|MN|.例2(1)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点化简_；用，表示，则_.(2)向量a(3,5，4)，b(2,1,8)计算2a3b,3a2b的值自主解答(1)().()，().(2)解：2a3b2(3,5，4)3(2,1,8)(6,10，8)(6,3,24)(12,13,16)3a2b3(3,5，4)2(2,1,8)(9,15，12)(4,2,16)(13,17,4)答案(1)本例中(1)条件不变，结论改为：设E是棱DD1上的点，且，若xyz，试求x，y，z的值解：()，由条件知，x，y，z.变式练习2.如图所示，已知空间四边形ABCD中，向量a，b，c，若M为BC

8、中点，G为BCD的重心，试用a、b、c表示下列向量：(1)；(2) .解：(1)在ADM中，由线段中点的向量表示知()(ab)，由相反向量的概念知c.所以(ab)c(ab2c)；(2)由三角形重心的性质，得ccc()c(ab2c)(abc)例3已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD平面EFGH.自主解答(1)连接BG，则()，由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面(2)因为()，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.变式练习3证明三个向量ae13e22e3，b

9、4e16e22e3，c3e112e211e3共面证明：若e1，e2，e3共面，显然a，b，c共面；若e1，e2，e3不共面，设caub，即3e112e211e3(e13e22e3)u(4e16e22e3)，整理得3e112e211e3(4u)e1(36u)e2(22u)e3.由空间向量基本定理可知解得即c5ab，则三个向量共面.例4如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CACB1，BCA90°，棱AA12，M、N分别是A1B1、A1A的中点(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；(3)求证：A1BC1M.自主解答(1)|2·()

10、3;()|2|22·213，|.(2)·()·()·····1·cos 135°0043，又|2()2|22·|22046，|.又|2()2|22·|21045，|.cos，异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为.(3)证明：·()·()····001··cos 135°··cos 0°0.，A1BC1M.变式练习4已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,

11、2)，C(3,0,4)设a，b，(1)求a和b的夹角的余弦值；(2)若向量kab与ka2b互相垂直，求k的值解：A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，a，b，a(1,1,0)，b(1,0,2)(1)cos ，a和b的夹角的余弦值为.(2)kabk(1,1,0)(1,0,2)(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)，且(kab)(ka2b)，(k1，k,2)·(k2，k，4)(k1)(k2)k282k2k100.则k或k2.3、 归纳总结 方法在握归纳2个原则建立空间直角坐标系的原则(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直；(2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐

12、标平面上1个方法利用向量法求解立体几何问题的一般方法利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题在这里，恰当地选取基底可使向量运算简捷，或者是建立空间直角坐标系，使立体几何问题成为代数问题另外，熟练准确地写出空间中任一点的坐标是解决问题的基础1个注意点空间向量数量积计算的一个注意点空间向量的数量积的计算要充分利用向量所在图形，巧妙地进行向量的分解与合成，分解时并不是漫无目的的，而要充分利用图形的特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知模的向量. 4、 拓展延伸 能力升华如图所示，在四棱锥PABCD中

13、，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)AECD；(2)PD平面ABE.证明：AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PAABBC1，则P(0,0,1)(1)ABC60°，ABC为正三角形C，E.设D(0，y,0)，由ACCD，得·0，即y，则D，.又，·××0，即AECD.(2)法一：P(0,0,1)，.又·××(1)0，即PDAE.(1,0,0)，·0.PDAB，又ABAEA，PD平面AEB.法二：(1,0,0)，设平面

14、ABE的一个法向量为n(x，y，z)，则令y2，则z，n(0,2，)，显然n.n，平面ABE，即PD平面ABE. 变式练习正方体ABCDA1B1C1D1中，P为面A1B1C1D1的中心，求证：APB1P.证明：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设棱长为1，则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，P，由两点间的距离公式得|AP| ，|B1P| ，|AB1| ，|AP|2|B1P|2|AB1|2，APB1P.5、 课后作业 巩固提高一、选择题1已知点A(3,0，4)，点A关于原点的对称点为B，则|AB|等于()A12B9C25 D10解析：选D点A关于原点对称的点B的坐标为(3,0,4)，故|

15、AB|10.2已知向量a(2，3,5)与向量b平行，则()A. B.C D解析：选Cab.3已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值为()A1B.C.D.解析：选Dkab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，由题意知，3(k1)2k40，解得k.4已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a、b、c三个向量共面，则实数等于()A. B.C. D.解析：选D由于a，b，c三个向量共面，所以存在实数m，n使得cmanb，即有解得m，n，.5如图，在底面为平行四边形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向

16、量中与相等的向量是()Aabc B.abcC.abc Dabc解析：选A()()cab，即abc.6.(2013·武汉模拟)二面角l为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，且ABACa，BD2a，则CD的长为()A2a B.aCa D.a解析：选AACl，BDl，60°，且·0，·0，|2a.二、填空题7已知点P在z轴上，且满足|OP|1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离为_解析：由题意知，P(0,0,1)或P(0,0，1)|PA| .或|PA| .答案：或8已知O(0,0,0)，A(1,2,

17、3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当·取最小值时，点Q的坐标是_解析：由题意，设，即OQ(，2)，则(1，2，32)，(2，1，22)，·(1)(2)(2)(1)(32)(22)62161062，当时有最小值，此时Q点坐标为.答案：9已知a(cos ，1，sin )，b(sin ，1，cos )，则向量ab与ab的夹角是_解析：(ab)·(ab)a2b2|a|2|b|2(cos21sin2)(sin21cos2)0，(ab)(ab)，即向量ab与ab的夹角为90°.答案：90°三、解答题10已知向量a(1，3,2)

18、，b(2,1,1)，点A(3，1,4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直线AB上，是否存在一定点E，使得b？(O为原点)解：(1)2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab| 5.(2)t(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)，若b，则·b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t，因此存在点E，使得b，此时E点坐标为.11(2012·合肥模拟)如图ABCDA1B1C1D1是正方体，M、N分别是线段AD1和BD的中点(1)证明：直线MN平面B1CD1；(2)设正方体ABCDA1B1C1D1棱长为a，若以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，试写出B1、M两点的坐标，并求线段B1M的长解：(1)连接CD1、AC，则N是AC的中点，在ACD1中，又M是AD1的中点，MNCD1.又MN平面B1CD1，CD1平面B1CD1，MN平面B1CD1.(2)由条件知B1(a，a，a)，M，|B1M| a，即线段B1M的长为a.12如图，在棱长为a的正方体OABCO