高中数学空间向量与立体几何 4 用向量讨论垂直与平行课时作业 北师大版选修21

1、§4用向量讨论垂直与平行课时目标1.会用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系.2.会用向量的有关知识证明线与线、线与面、面与面的垂直与平行1空间中平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)且(a2b2c20)，则lm_(2)线面平行设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面的法向量为u(a2，b2，c2)，则l_(3)面面平行设平面，的法向量分别为u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，则_2空间中垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l的方向向量为a(a1，a2，a3)，

2、直线m的方向向量为b(b1，b2，b3)，则lm_(2)线面垂直设直线l的方向向量是u(a1，b1，c1)，平面的法向量是v(a2，b2，c2)，则l_(3)面面垂直若平面的法向量u(a1，b1，c1)，平面的法向量v(a2，b2，c2)，则_一、选择题1若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为n(2,0，4)，则()Al BlCl Dl与斜交2平面的一个法向量为(1,2,0)，平面的一个法向量为(2，1,0)，则平面与平面的位置关系是()A平行 B相交但不垂直C垂直 D不能确定3从点A(2，1,7)沿向量a(8,9，12)的方向取线段长AB34，则B点的坐标为()A(9，7,7)

3、 B(18,17，17)C(9,7，7) D(14，19,31)4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交 B平行C垂直 D不能确定5已知A(3,0，1)，B(0，2，6)，C(2,4，2)，则ABC是()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形6.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是上底面中心，则AC1与CE的位置关系是()A平行B相交C相交且垂直D以上都不是题号123456答案二、填空题7已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为，且l，则m_.8已知a(0,1,1

4、)，b(1,1,0)，c(1,0,1)分别是平面，的法向量，则，三个平面中互相垂直的有_对9.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M、P、Q分别为棱AB、CD、BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则()A1MD1P；A1MB1Q；A1M面DCC1D1；A1M面D1PQB1.以上结论中正确的是_(填写正确的序号)三、解答题10在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C平面ODC1.11在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，在棱BB1上是否存在点M，使得D1M平面EFB1?能力提升12如图，四棱锥PABCD中，底面ABC

5、D为矩形，PA底面ABCD，PAAB，点E是棱PB的中点证明：AE平面PBC.13.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(1)证明：PA平面EDB；(2)证明：PB平面EFD.1平行关系的常用证法证明线线平行只需证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系，如证明ABCD只需证.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外证面面平行可转化证两面的法向量平行2垂直关系的常用证法要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直要证面面

6、垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直§4用向量讨论垂直与平行知识梳理1(1)abab(2)aua·u0a1a2b1b2c1c20(3)uvukv(a2b2c20)2(1)aba·b0a1b1a2b2a3b30(2)uvuv(a2b2c20)(3)uvu·v0a1a2b1b2c1c20作业设计1Bn2a，na，l.2C(1,2,0)·(2，1,0)0，两法向量垂直，从而两平面也垂直3B设B(x，y，z)，(x2，y1，z7)(8,9，12)，>0.故x28，y19，z712，又(x2)2(y1)2(z7)2342，得(17)2342，&

7、gt;0，2.x18，y17，z17，即B(18,17，17)4B可以建立空间直角坐标系，通过平面的法向量和的关系判断5C(3，2，5)，(1,4，1)，(2,6,4)，·0，ABAC，且|，ABC为直角三角形6C可以建立空间直角坐标系，通过与的关系判断78解析l，l的方向向量与的法向量垂直(2，m,1)·2m20，m8.80解析a·b(0,1,1)·(1,1,0)10，a·c(0,1,1)·(1,0,1)10，b·c(1,1,0)·(1,0,1)10.a，b，c中任意两个都不垂直，即、中任意两个都不垂直9解析，A

8、1MD1P.D1P面D1PQB1，A1M面D1PQB1.又D1P面DCC1D1，A1M面DCC1D1.B1Q为平面DCC1D1的斜线，B1Q与D1P不平行，A1M与B1Q不平行10证明方法一，B1A1D，B1CA1D，又A1D平面ODC1，B1C平面ODC1.方法二.，共面又B1C平面ODC1，B1C平面ODC1.方法三建系如图，设正方体的棱长为1，则可得B1(1,1,1)，C(0,1,0)，O，C1(0,1,1)，(1,0，1)，.设平面ODC1的法向量为n(x0，y0，z0)，则得令x01，得y01，z01，n(1,1，1)又·n1×10×1(1)×

9、(1)0，n，且B1C平面ODC1，B1C平面ODC1.11解如图所示，分别以，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，E，F，设M(1,1，m)，(1,1，m1)若D1M平面EFB1，则D1MEF且D1MB1E.即·0，·0，m，即存在点M且为B1B的中点，使D1M平面EFB1.12.证明如图所示，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系设D(0，a,0)，则B(，0,0)，C(，a,0)，P(0,0，)，E(，0，)于是(，0，)，(0，a,0)，(，a，)，则·0，·0.所以AEBC，AEPC.又因为BCPCC，所以AE平面PBC.13.证明(1)以D为坐标原点，以DA、DC、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系连结AC，BD，AC交BD于G.连结EG.设DCa，依题意得A(a,0,0)