高等数学向量代数与空间解析几何复习

1、第五章 向量代数与空间解析几何5.1向量既有大小又有方向的量表示：或（几何表示）向量的大小称为向量的模，记作、|a|、1 方向余弦： r（x，y，z）,| r |=2 单位向量 模为1的向量。3 模4 向量加法（减法）5 a·b| a |·| b |cosaba·b0（a·bb·a）6 叉积、外积|ab| =| a | b |sin= a/bab0.( ab= - ba) 7 数乘：例1 ，与夹角为，求。解 例2 设，求。解 根据向量的运算法则例3 设向量，为实数，试证：当模x最小时，向量x必须垂直于向量b。解 由，得，于是由此可知，当时，模最

2、小，因而故所以，当模x最小时，向量x必须垂直于向量b。8 向量的投影Prjb|b|为向量b在向量a上的投影。a·b| a |Prjb5.2空间平面与直线5.2.1 空间平面点法式方程：与定点连线和非零向量n（a，b，c）垂直的点的集合。平面的一般方程：，n（A，B，C）截距式方程：三点式方程 例1 求过，点的平面方程解（1）点法式n。则平面方程为，即。解（2）设平面方程为，代入得。代入，得解之得代入方程消去A，得方程为例2 一平面通过点，它在正轴，正轴上的截距相等，问此平面在三坐标面上截距为何值时，它与三个坐标平面围成的四面体的体积最小？并写出此平面方程。解 依题意设所求平面的截距式

3、方程为，由于点在此平面上，故有，解之。四面体之体积，令得。例3 求过点，和三点的平面方程。解 由三点式方程故所求方程为，即5.2.2 空间直线方向向量：平行于一已知直线的任一向量称为直线的方向向量。易知直线上的任一向量都平行于直线的方向向量.若设已知向量为，则直线的对称式方程为一般式方程：参数式方程：例1 求过点点，且与直线平行的直线方程解 将直线写成，以为参数，则，故直线方程为例2 求过点且平行于平面，又与直线相交的直线方程。解 设Q为两直线的交点，则,即，（1）又Q在L上：（2）令（2）=t 解得x, y, z代入(1)解得，在反代入（2）得Q的坐标为，得直线为5.3点、平面、直线的位置关

4、系1 点到平面的距离点到平面Ax+By+Cz+D=0得距离公式为：d =例1 求平面和平面的交角平分面方程。平分面上的点到两面之间距离相等，故整理得：或例2 求平行于平面且与球面相切的平面方程。解 由于所求平面与平行，故可设其为。因为与球面相切，所以球心到的距离，解之，故所求平面方程为和2 点到直线的距离点到直线L的距离为 例3 求点到直线的距离。解 ，于是所求距离 3. 两平面之间的夹角平面和平面的夹角,cos、互相垂直相当于0；、互相平行或重合相当于.4两直线的夹角两直线的法线向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角.直线和的夹角cos=(5)两直线、互相垂直相当于0；两直线、互相平行或重

5、合相当于5. 直线与平面的夹角直线s=(m，n，p)，平面n（A，B，C）夹角为sin直线垂直于平相当于；直线平行于或直线在平面上相当于Am+Bn+Cp=0.6平面束过直线L的平面束方程为例1 求直线在平面上的投影直线的方程。解 直线的方程即为，故过的平面束方程为即因为此平面与平面垂直，故有解得，于是与垂直的平面方程为即，从而所求投影直线方程为5.4其它（旋转曲面方程）绕谁转谁不变，令一个用另两个变量的平方和的平方根代入故绕轴旋转，得为旋转曲面方程。例1 绕x轴转得，绕z轴转得。例2 曲线绕z轴旋转，求旋转曲面方程。解 绕z轴旋转时，代入上式得例3 求 绕z轴旋转所得旋转曲面方程。解 承上题：，令，则例4 求直线在平面上的投影直线的方程，并求绕轴旋转一周所成曲面的方程。解 将直