高等数学 各章知识点总结——

1、第1章函数与极限总结1、极限的概念 （1）数列极限的定义 给定数列xn，若存在常数a ，对于任意给定的正数e (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切n, 恒有 |xn-a |<e 则称a 是数列xn的极限, 或者称数列xn收敛于a , 记为 或xn®a (n®¥).（2）函数极限的定义 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内（或当）有定义，如果存在常数A, 对于任意给定的正数e (不论它多么小), 总存在正数d,（或存在X） 使得当x满足不等式0<|x-x0|<d 时,（或当时） 恒有 |f(x)-A|<e

2、 , 那么常数A就叫做函数f(x)当（或）时的极限, 记为或f(x)®A(当x®x0).（ 或）类似的有：如果存在常数A,对当（）时，恒有，则称为当时的左极限（或右极限）记作显然有 如果存在常数A,对当时，恒有，则称为当（或当）时的极限记作显然有2、极限的性质（1）唯一性若，则若，则 （2）有界性（i）若，则使得对恒有（ii）若，则当时，有（iii）若，则当时，有（3）局部保号性（i）若且则，当时，恒有（ii）若，且，则当时，有 3、极限存在的准则（i）夹逼准则给定数列若当时有，则 给定函数， 若当（或）时，有，则（ii）单调有界准则 给定数列，若对有使对有则存在 若在点的

3、左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则（或）存在4、极限的运算法则（1）若，则(i)(ii)(iii)（）（2）设（i）（ii）当时（iii）则5、两个重要极限（1），（2）6、无穷小量与无穷大量的概念（1） 若，即对当（或）时有，则称当无穷小量（2） 若即对当（或）时有则称当无穷大量7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则（1）（2）（3）（4）当（或）时有，则（5）当（或）时有，则（6）则8、无穷小量的比较若（1），则称当时，与是同阶无穷小。（2），则称当时，与是等价无穷小，记作（）。（3），则称当时，是是高阶无穷小，记作（）。（4）（或），有，则记（）（5），则称当时，是

4、是k阶无穷小，9、常用的等价无穷小当时，有（1）（2）（3）（4）10、函数连续的概念（1） 函数连续的定义 设在点及其邻域内有定义，若（i）或（ii）或（iii）当时，有则称函数在点处连续设在点内有定义，若，则称函数在点处左连续，设在点内有定义，若，则称函数在点处右连续若函数在内每点都连续，则称函数在内连续若函数在内每点都连续，且，则称函数在上连续，记作（2） 函数的间断点设在点的某去心邻域内有定义若函数： （i）在点处没有定义 （ii）虽然在有定义, 但f(x)不存在; (3)虽然在有定义且f(x)存在, 但f(x)¹f();则函数f(x)在点为不连续, 而点称为函数f(x)的不

5、连续点或间断点。设点为的间断点，（1），则称点为的可去间断点，若（2），则称点为的跳跃间断点，可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点（3）则称点为的无穷型间断点，（4）若不存在且都不是无穷大，则称点为的振荡型间断点，无穷间断点和振荡间断点统称为第二类间断点11、连续函数的运算（1） 连续函数的四则运算 若函数在点处连续则在点处也连续（2） 反函数的连续性， 若函数在区间上单调增加（或单调减少）且连续，则其反函数在其对应的区间上也单调增加（或单调减少）且连续。（3） 复合函数的连续性 设函数由函数复合而成，若（1）（2）则 （或）（4） 初等函数的连续性 一切初等函数在其定义区间内都是连续的（5） 闭区间上连续函数的性质 （ i）有界性 若，则在上有界 （