高等数学ii南京理工大学dfsservice高等数学下期中考试试卷及及答案20130420

1、考生注意：所有答案（包括填空题）按试题序号写在答题纸上，写在试卷上不给分一、 填空题(本题共8小题，每小题4分，满分32分) (1) 已知，则 _.(2) 原点O关于平面对称点P的坐标为_.(3) 曲面在点处的切平面方程为 .(4) 函数在点（0，0）处的连续性为_. (5) 设，其中函数可微，则= . (6) 设为连续函数，则 .(7) 设为曲面所围成的立体，如果将三重积分化为先对再对最后对三次积分，则I= . (8) 设是圆域位于第象限的部分，记，若，则_.二、 计算题（本题共2小题，每小题6分，满分12分）(1) 求过点M(3, 1, -2)且通过直线的平面方程.(2) 求曲线在点处的切

2、线方程.三 、计算题（本题共2小题，每小题7分，满分14分）(1) 求的极值. (2) 设f (u, v)有一阶连续偏导数，求，并证明：.四、计算题（本题共2小题，每小题7分，满分14分）(1) 计算, 其中D是由直线y=x、x=1及y=0围成的闭区域. (2) 设是由曲面及所围成的有界闭区域,求的体积.五、（本题满分10分）求曲线上的点到坐标原点的最长距离与最短距离六、（本题满分10分）设直线过点，将绕轴旋转一周得到曲面。 （1）求直线的参数方程及曲面的方程；（2） 设曲面：与平面, 所围成的立体为.求的形心坐标.七、（本题共2小题，每小题4分，满分8分）（1）计算积分：.（2）交换三次积分

3、次序，将化为先对y再对x最后对z的积分次序.答案一、 填空题(本题共8小题，每小题4分，满分32分) (1) ; (2) ; (3) ;(4) 不连续 ;(5) ;(6) ; (7) ; (8) 2、二、计算题（本题共2小题，每小题6分，满分12分）(1) （6分） 求过点M(3, 1, -2)且通过直线的平面方程解：在直线取点P=(4, -3, 0)，则已知直线的方向向量为 .-2分设所求平面的法线向量与向量 . -4分 所求平面的方程为 8(x-3)-9(y-1)-22(z+2)=0, 即 8x-9y-22z-59=0.-6分(2) 求曲线在点处的切线方程。解：两边同时对求导 -4分 把点

4、代入解得： 故切线方程为： -6分三 、计算题（本题共2小题，每小题7分，满分14分）(1) 求的极值.解：由得驻点为-3分-5分又极大值.-7分. (2) 设f (u, v)有一阶连续偏导数，求并证明：。解： 设：，则类似可得 ， -4分代入原式左边，得到-7分四、计算题（本题共2小题，每小题7分，满分14分）(1) 计算, 其中D是由直线y=x、x=1及y=0围成的闭区域. 解 画出区域D, 可把D看成是X-型区域: 0£x£1, 0£y£ x于是 -4分 .-7分 (2) 设是由曲面及所围成的有界闭区域,求的体积.解: 在面上的投影区域为2分的体积

5、为 5分 7分五、（本题满分10分）求曲线上的点到坐标原点的最长距离与最短距离解： 设为曲线上的点，目标函数为，构造拉格朗日函数 - 2分令（1）（2） （3） - 5分当时，由（1），（2）得，即，得，或（由于x>0, y>0, 舍去）将代入（3）得，即，所以（1，1）为唯一可能的极值点，此时； - 8分当x=0, y=1 或 x=1, y=0时， - 10分故所求最长距离为，最短距离为1 六、（本题满分10分）设直线过两点，将绕轴旋转一周得到曲面. 求直线的参数方程及曲面的方程； 设曲面：与平面, 所围成的立体为.求的形心坐标.解 直线的方程为 写成参数式为 （为参数）. 2分设为曲面上的任一点，则 所以曲面的方程为. 4分设的形心坐标为根据对称性，得. 6分， 其中.所以