高一数学必修一各章知识考点精编总结

1、第一章 集合与函数概念第一节 集合一、集合有关概念1. 集合的含义: 集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素2. 集合的中元素的三个特性：确定性 互异性 无序性(1) 元素的确定性如：世界上最高的山(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y(3) 元素的无序性如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3.集合的表示：(1) 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列举法 描述法和图示法。1） 列举法：a,b,c2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。x

2、ÎR| x-3>2 ,x| x-3>2分为：符号描述法：语言描述法：例：不是直角三角形的三角形注：描述法一般适用于表示元素较多的有限集或无限集。3） 图示法:分为：区间法：用开区间 闭区间以及半开（半闭）区间表示 Venn法：u 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N正整数集 或 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R4、集合的分类：有限集 含有有限个元素的集合无限集 含有无限个元素的集合空集 不含任何元素的集合例：x|x2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集 表示A包含于B 或者说B包含A注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同

3、一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2“相等”关系：集合相等的定义：如果AÍB 同时 BÍA 那么A=B (55且55，则5=5) 自反律：任何一个集合是它本身的子集。AÍA实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)传递律：如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC3. 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。4 幂集：

4、有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交 集并 集补 集定 义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB（读作A交B），即AB=x|xA，且xB由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：AB（读作A并B），即AB =x|xA，或xB)设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）SA记作，即CSA=韦恩图示SA性 质AA=A A=AB=BAABAABBAA=AA=AAB=BAABABB(CuA) (CuB) = Cu (AB)(CuA) (CuB)= Cu(

5、AB)A (CuA)=UA (CuA)= 四、一些基本集合恒等式1结合律：（AB）C= A（B C）； （AB ）C=A（B C）2分配律：A（BC）=（AB）（AC）； A（BC）=（ AB ）（AB）3吸收律：A（AB）=A； A（AB）=A4德·摩根定律（反演律）：(CuA) (CuB) = Cu (AB)； A (CuA)=U (CuA) (CuB)= Cu(AB)； A (CuA)= Cu (CuA)=A五容斥定理：原理1：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数既是A类又是B类的元素个数。 card（AB ）= ca

6、rd（ A）+ card（B ）- card (AB)原理2：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是A类又是C类的元素个数既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（ABC ）= A+B+C - AB - BC - CA + (ABC）第二节 函数的有关概念1映射的概念1). 映射的定义: A,B是两个集合,如果按照某种对应法则f ，对于集合A中的任何一个元素x ，在集合B中都有唯一的元素y和它对应,那么这样的对应叫做集合A到集合B的映射.记做记作“f（对应关系）：

7、A（原象）B（象）”对于映射f：AB来说，则应满足：(a)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(b)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(c)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。2). 一一映射：设A，B是两个集合，f：AB是从集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的不同元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个元素之间存在一一对应关系，并称这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射。所以，一一映射是特殊的映射，而且如果f：AB是一一映射，那么g：BA是映射。2函数的概念1) .函数的定义:设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，

8、使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域2) .函数的三要素：定义域、对应关系和值域。定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而

9、成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(8)三角函数中的正切函数值域 : 先考虑其定义域(1)观察法 (2)配方法(3)代换法3) . 函数的表示法：列表法、图象法、解析法3.相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）； 定义域一致 (两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)4. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C上每

10、一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (2) 画法A 描点法：B 图象变换法1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换5区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为f、g的复合函数。第三节 函数的

11、性质（单调性、奇偶性与周期性）1.函数的单调性(局部性质)（1）单调函数的定义设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间。注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2）单调区间的定义 如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数。那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y= f(x)的单调区间。（3）

12、图象的特点在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.（4）函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法： 任取x1，x2D，且x1<x2； 作差f(x1)f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）； 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）(B)图象法(从图象上看升降)2复合函数的单调性（1）、复合函数的概念  如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=fg（x） 叫做函数y=f（x）和a=（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函

13、数值y。  例如：函数是由复合而成立。 函数是由复合而成立，a是中间变量。（2）、复合函数单调性定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当XM时，uN。有以下四种情况：（1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=fg（x）在M上也是增函数；（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=fg（x）在M上也是减函数；（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=fg（x）在M上也是减函数；（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=fg（x）在M上也是

14、增函数即：同增异减。复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 3函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数（2）奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点

15、对称利用定义判断函数奇偶性的步骤：首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；确定f(x)与f(x)的关系；作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .4、函数的解析表达式（1）函数的解析式是函数

16、的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：1) 凑配法2) 待定系数法3) 换元法4) 消参法5函数最大（小）值（定义见课本p36页） 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 利用图象求函数的最大（小）值 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 6周期性 （1）.周期函数

17、 对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域 内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。(事实上，任何一个常数kT（kZ且k0）都是它的周期。)（2）. 最小正周期如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。第二章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且*u 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。当是奇数时

18、，当是偶数时，2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，u 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1）·；（2）；（3）（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R其中a为底数注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质 图象a>10<a<1定义域R值域y0单调性在R上单调递增在R上单调递减函数值的变化情况（x>0）（x=0） （x<0）（x<0）（x=0） （x>0）奇偶性非奇非偶函数过定点函数图象都过定点（0，1）

19、A变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高，在第二象限内，a越大图象越低注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在a，b上，值域是或；（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；（3）对于指数函数，总有；二、对数函数（一）对数1对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（ 底数， 真数， 对数式）说明： 注意底数的限制，且； ； 注意对数的书写格式两个重要对数： 常用对数：以10为底的对数，记作； 自然对数：以无理数为底数的对数（即当a=e时），记作u 指数式与对数式的互化 幂值 真数 N b 底数 指数 对数（二）对数的运算性质如果，且，那么： ·； ； 注意：

20、换底公式（，且；，且；）利用换底公式推导下面的结论（1）； （2）（三）对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+）注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 对数函数对底数的限制：，且2、对数函数的性质：指数函数和对数函数，且的图象关于y=x对称图象a>10<a<1定义域x0值域值域为R单调性在R上递增在R上递减过定点函数图象都过定点（1，0）奇偶性非奇非偶函数函数值的变化情况 （x>0） （x=0） （0<x<1） （x>0） （x=0）

21、（0<x<1）A变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越低，在第四象限内，a越大图象越高三、 幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳：（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）时a、幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数b、在第一象限内，a>1时，图像开口向上；0<a<1时，图像开口向右c、特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时a、幂函数的图象在区间上是减函数b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图像开口向上；c、在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无