波浪理论课程的习题库建设

1、第一章 波浪理论1.1 建立简单波浪理论时，一般作了哪些假设?【答】：（1）流体是均质和不可压缩的，密度为一常数；（2）流体是无粘性的理想流体；（3）自由水面的压力均匀且为常数；（4）水流运动是无旋的；（5）海底水平且不透水；（6）作用于流体上的质量力仅为重力，表面张力和柯氏力可忽略不计；（7）波浪属于平面运动，即在xz水平面内运动。1.2 试写出波浪运动基本方程和定解条件，并说明其意义。【答】：波浪运动基本方程是Laplace方程：或写作：。该方程属二元二阶偏微分方程，它有无穷多解。为了求得定解，需有包括初始条件和边界条件的定解条件：初始条件：因波浪的自由波动是一种有规则的周期性运动，初始条

2、件可不考虑。边界条件：（1）在海底表面，水质点垂直速度应为0，即或写为在z=-h处，（2）在波面z=处，应满足两个边界条件，一是动力边界条件、二是运动边界条件 A、动力边界条件 由于含有对流惯性项，所以该边界条件是非线性的。B、运动边界条件，在z=处 。该边界条件也是非线性的。 （3）波场上下两端面边界条件 其中c为波速，x-ct表示波浪沿x正向推进。1.3 试写出微幅波理论的基本方程和定解条件，并说明其意义及求解方法。【答】：微幅波理论的基本方程为： 定解条件：z=-h处，z=0处，z=0处，求解方法：分离变量法1.4 线性波的势函数为，证明上式也可写成【证明】： 由弥散方程：以及波动角频率

3、和波数定义: , 可得：， 即 由波速的定义： 故：将上式代入波势函数： 得： 即证。1.5 由线性波势函数证明水质点的轨迹速度,并绘出相位=02时的自由表面处的质点轨迹速度变化曲线以及相位=0, ,和2时质点的轨迹速度沿水深的分布.解：(1)证明: 已知势函数方程则 其中: ,. 同理: (2) 自由表面时z=0，则,质点轨迹速度变化曲线见图.1kx-st kx-stu图.1 kx-stw相位不同时速度由水深变化关系见下，其中水深z由-h到0。 当=0时,曲线见图.2当=p/2时,曲线见图.3当= p时,曲线见图.4 当=3p/2时,曲线见图.5当= 2p时,同图.2 -h 0图.2zu -

4、h 0图.3zw-h 0 图.4zu -h 0 图.5zw1.6 试根据弥散方程，编制一已知周期函数T和水深h计算波长，波速和波数的程序，并计算T=9s，h分别为25m和15m处的波长和波速。解：该程序用c+语言编写如下：#include "iostream.h"#include <math.h>const double pi=3.1415926,g=9.8;void main( ) double x0,x,L,k,c,h; int i,T; cout<<"please input T and hn"<<"T

5、=" cin>>T; cout<<"h=" cin>>h; x0=1.0e-8; x=(4*pi*pi*h)/(g*T*T*tanh(x0); for(i=1;(fabs(x-x0)>1.0e-8);i+) x0=x; x=(4*pi*pi*h)/(g*T*T*tanh(x0); L=2*pi*h/x; k=2*pi/L; c=L/T; cout<<"L="<<L<<"n"<<"k="<<k<<

6、;"n"<<"c="<<c<<endl;运算可得 当T=9s,h=25m时,L=111.941m,c=12.4379m/s当T=9s,h=15m时,L=95.5096m,c=10.6122m/s1.7 证明只有水深无限深时，水质点运动轨迹才是圆。【证明】：微幅波波浪水质点运动轨迹方程为：式中为水平长半轴，b为垂直短半轴。在深水的情况下，即h无穷大，有：，那么，水平长半轴垂直短半轴所以当水深无限深时，长半轴a与短半轴b相等，水质点运动轨迹是圆。问题得证。1.8 证明线性波单位水柱体内的平均势能和平均动能为【证明】： 单位

7、水柱体内的平均势能 其中: =单位水柱体内的平均动能其中: =1.9 在水深为20m处,波高H=1m,周期T=5s,用线性波理论计算深度z=-2m,-5m,-10m处水质点轨迹直径.【解法1】：由弥散方程： , D【解法2】：将弥散方程 可写成 编制Excel计算表格如下，通过变化波长L的值，满足方程=0的L值即为所求波长。周期T频率=2PI/T水深h波长L波数k=2PI/Lkhtanh（kh）方程=0？51.256637220100.628312.56641.0000-4.5847200.31426.28321.0000-1.5027250.25135.02650.9999-0.886230

8、0.20944.18880.9995-0.4745350.17953.59040.9985-0.1793380.16533.30690.9973-0.038638.50.16323.26400.9971-0.017238.910.16153.22960.99690.0000390.16113.22210.99680.0037经试算得L=38.91m，那么，1.10 在水深为10m处，波高H=1m,周期T=6s,用线性波理论计算深度z=-2m、-5m、-10m处水质点轨迹直径。解：将弥散方程 可写成 编制Excel计算表格如下，通过变化波长L的值，满足方程=0的L值即为所求波长。周期T频率=2P

9、I/T水深h波长L波数k=2PI/Lkhtanh（kh）方程=0？61.04719766710100.62836.28321.0000-5.0671200.31423.14160.9963-1.9738300.20942.09440.9701-0.8966400.15711.57080.9172-0.3167480.13091.30900.8640-0.012948.10.13061.30630.8633-0.009748.20.13041.30360.8626-0.006548.30.13011.30090.8619-0.003348.40.12981.29820.8613-0.000248

10、.50.12961.29550.86060.0029经试算得L=48.4m，那么，那么，水平长半轴，垂直短半轴b。以z=-2m为例，分别计算：所以z=-2m时的水平向的长轴2a=1.287m；垂直向的短轴2b=1.372m。 不同值下的轨迹直径可见下表：D1.11在某水深处的海底设置压力式波高仪,测得周期T=5s,最大压力pmax=85250N/m2(包括静水压力,但不包括大气压力),最小压力pmin=76250N/ m2,问当地水深波高值. 由弥散方程： , T=5s,h=7.8m1.12 若波浪由深水正向传到岸边，深水波高H0=2m,周期T=10s，问传到1km长的海岸上的波浪能量（以功率

11、计）有多少？设波浪在传播中不损失能量。解：通过1km（单宽）波峰线长度的平均能量传输率，即波能流P，假设波浪在传播中不损失能量时，浅水区等于深水区，即Ps = P0，有：（Ecn）0=（Ecn）s 因深水时sinh（2kh）>>2kh，则上式左边=浅水时sinh（2kh）2kh，则上式右边=那么，Ps=（Ecn）s =（Ecn）0=38310.55（N/s）1.13 在水深为5m处,波高H=1m,周期T=8s,试绘出斯托克斯波与线性波的波剖面曲线及近底水质点速度变化曲线并比较之.解：由弥散方程： , , T=9s,h=5m 图1 斯托克斯波与线性波波面曲线比较-0.7-0.5-0.

12、3-0.10.10.30.50.70123456kx-sth线形波斯托克斯波线性波近底水质点速度斯托克斯波近底水质点速度图2 斯托克斯波与线性波水平质点速度-0.7-0.5-0.3-0.10.10.30.50.70123456kx-stu线形波斯托克斯波由图1可看到斯托克斯波与线性波有较大差别，在波峰处斯托克斯波比线性波抬高了，变为尖陡，波谷处斯托克斯波比线性波也抬高了，因而变的平坦，波峰波谷不在对称于静水平面。 由图2可看到斯托克斯波的速度在一周期内不对称，波峰时水平速度增大而历时变短，波谷时则减小而历时增长。1.14 如果二阶斯托克斯波的附加项（非线性项）的振幅小于线性项的5%时，可以略去

13、附加项而应用线性波理论，问在深水处应用线性波理论的最大允许波陡是多大？在相对水深h/L=0.2处应用线性波理论的最大允许波陡又是多大？解：（1）深水区的二阶斯托克斯波的附加项（非线性项）为：由题意知，附加项（非线性项）的振幅小于线性项的5%，即根据振幅定义，可知余弦项应为1，那么上式变为则在深水处应用线性波理论的最大允许波陡波陡（2）在相对水深h/L=0.2处，即h=2L，kh=，并考虑振幅定义，余弦项应为1，那么，附加项（非线性项）的振幅：线性波理论的振幅：依题意，有则在相对水深h/L=0.2处应用线性波理论的最大允许波陡1.15 在水深为5m处，H=1m，T=8s，试计算斯托克斯质量输移速

14、度沿水深的分布并计算单位长度波峰线上的质量输移流量。解：计算波长L，利用试算法，计算得L=53.083m，因=2/T=0.785，k=2/L=0.1183根据下式（即教材公式（1-118）、针对不同水深z可计算斯托克斯质量输移速度沿水深的分布，如下表及下图所示。水深zsigemakz/h khF <U>-0.50.7850.1183-0.10.59150.014783-0.67052-0.00991-10.7850.1183-0.20.59150.014783-0.26316-0.00389-1.50.7850.1183-0.30.59150.0147830.4230320.006

15、254-20.7850.1183-0.40.59150.0147831.3949410.020621-2.50.7850.1183-0.50.59150.0147832.6604290.039328-30.7850.1183-0.60.59150.0147834.2284140.062507-3.50.7850.1183-0.70.59150.0147836.109010.090308-40.7850.1183-0.80.59150.0147838.3136590.122898-4.50.7850.1183-0.90.59150.01478310.85530.160471-50.7850.11

16、83-10.59150.01478313.748540.203241质量输移速度的垂直分布（横轴：<U>/;纵轴：z/h）单位长度波峰线上的质量输移流量m3/sm。1.16 试述波浪频谱和波浪方向谱的意义。答： 波浪谱可以用来描述波浪的内部结构，说明海浪内部由哪些部分所构成及其内在关系。海浪的总能量由间隔内不同频率的组成波所提供，也即海浪的总能量就是全部组成波的能量和。所谓频谱就是波能密度（单位频率间隔内的平均波能量）在组成波频率范围内的分布。波浪谱只能描述某一固定点的波面，不能反映波浪内部相对于方向的结构，也不足以描述大面积的波面。实际上，波能密度（单位频率间隔内的平均波能量）在

17、组成波的频率范围内和方向范围内均有分布。如果给定了频率时，只描述不同方向间隔的能量密度，反映海浪内部方向结构的能谱叫做方向谱。方向谱对于研究海浪预报、波浪折射、绕射以及波浪作用下的泥沙运动具有重要的意义。1.17 已知一波浪系列的有效波高Hs为4.7m，有效波周期为4.7m，问：该波列的平均波高是多少?大于6m的波高出现的机率是多少?解：由已知有效波高第二章 波浪的传播、变形与破碎试述波浪守恒和波能守恒的意义？何谓波浪浅水变形？波浪守恒：波数向量随时间的变化必为角频率的局部变化所平衡。在稳定波场，因波数向量不随时间变化，使得浅水区周期不随水深变化而变化，周期不变的特性不但为分析波浪浅水变形提供

18、了方便，而且为实验模拟实际波浪提供了理论依据。波浪正向行进海岸传播时，单宽波峰线上的波能流保持不变，即为波能守恒。这为研究波浪的浅水变形提供了理论依据。当波浪传播至水深约为波长的一半时，波浪向岸传播时，随着水深的变化其波速、波长、波高及波向都将发生变化，此现象即为浅水变形。何谓波浪折射？斯奈尔折射定律意义何在？由弥散方程 , 当T=5s,h=10m时,L=36.563m,c=7.313m/s,kh=1.72,h/L=0.27<0.5h=5m时,L=30.289m,c=6.058m/s,kh=1.035,h/L=0.165<0.5h=2m时,L=20.942m ,c=4.188m/s

19、,kh=0.600,h/L=0.095<0.5故h/L<0.5，均视为浅水区，应 2.4 当时，Ub= Um最大，=0.232（m/s）(m)，那么，Re=4.292*104>1.26*104，判断底层水流为紊流状态。因相对粗糙度=18500>1.57,用（2-99a）式计算fwfw=0.00526则=0.142（N/m2）h=5m、2m时的可按同样的过程计算而得。如下表所示。UmAmReAm/Dfwm100.2330.18543006185000.005260.1450.5110.407207668406520.004430.5820.9870.78577505378

20、5360.003881.89由弥散方程： , , T=10s,h=2m由弥散方程 , 当h=10m,T=1s时,L=1.56m,c=1.56m/s.T=5s时,L=36.56m,c=7.31m/s,kh=1.7.T=10s时,L=92.32m ,c=9.23m/s,kh=0.7.,h/L=6.41>0.5,h/L=0.27, 解：由tgb =1/20=0.05<0.07 则：gb b)-1=0.946 有Hb/hb=0.946 查课本图2-12（破碎指标与破碎水深和波长之比关系曲线）得hb/Lo=0.021 而深水波长Lo=gT2/2p=39.01m hb=0.021*39.01=

21、0.819m Hb=0.946*0.819=0.775m2.10 解：按教材公式（2-51）即下式可计算波浪破碎处的破波角。因深水波长m/s那么波浪折射系数k为：可得，进而，所以根据（2-13）式可计算破波处的波高m又因Hb/hb=0.946，所以破波水深hb=Hb/0.946=2.75m。第三章 近岸波浪流 （1） （2） （3）=0那么，方程（1）-（3）可简化为： （4） （5） （6）（5）-（6）中，等号左端为惯性项；右端第1项为水面坡降力项；右端第2项为波浪辐射应力梯度项，该项是驱动时均流动和时均水面变化的主导作用力；右端第3项为紊流应力，属于扩散项；右端第4项为床面切应力，属于阻

22、力项。答：考虑波浪正向入射、岸线平直、等深线与岸线平行的一维情况，则辐射应力的表达式为在浅水区，水深沿程减小，即h0时，sinh（kh）kh，那么，上式变为又由于在浅水区，随着水深的逐渐变小，波高H在逐渐增大，则沿程增大；在破波带，波浪破碎发生能量损失，破碎后波高衰减，破后波波高H随着水深h的减小而减小，则沿程变小。答：波浪传到浅水区发生浅水变形，波高增大直至破碎，破碎后波高衰减。波高的这种先增大再减小的变化，势必引起辐射应力的沿程变化。考虑波浪正向入射、岸线平直、等深线与岸线平行的一维情况，此时时均流速为0，底摩阻和紊动应力消失，那么，x向的动量方程变为：在破波带外的浅水区，波高随水深减小而增大，因而辐射应力也沿程增大，即，那么，由上式可知，即随x的增大而减小，发生减水现象。在破波带内，波浪破碎发生能量损失，辐射应力沿程减小，即，那么，由式可知，即随x的增大而增大，引起增水现象。答：一般情况下，波浪斜向入射时，波浪动量流（辐射应力）沿岸分量在通过破波带时的变化不不能由平均水面坡降力所平衡。在沿岸方向，需要有底部剪切应力来平衡辐射