椭圆经典例题分类汇总 -(学生版)

1、椭圆经典例题分类汇总一. 椭圆第一定义的应用例1 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况例2 已知椭圆的离心率，求的值说明：本题易出现漏解排除错误的办法是：因为与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上故必须进行讨论例3 已知方程表示椭圆，求的取值范围说明：本题易出现如下错解：由得，故的取值范围是出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆例4 已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围说明：(1)由椭圆的标准方程知，这是容易忽视的地方(2

2、)由焦点在轴上，知， (3)求的取值范围时，应注意题目中的条件例5 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法二. 焦半径及焦三角的应用例1 已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是与的等比中项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由例2 已知椭圆方程，长轴端点为，焦点为，是椭圆上一点，求：的面积（用、表示）三. 第二定义应用例1 椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标说明：本题关键在于未知式中的“2”的处理事实上

3、，如图，即是到右准线的距离的一半，即图中的，问题转化为求椭圆上一点，使到的距离与到右准线距离之和取最小值例2 已知椭圆上一点到右焦点的距离为，求到左准线的距离说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性否则就会产生误解椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义例3已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点(1)求的最大值、最小值及对应的点坐标；(2)求的最小值及对应的点的坐标说明：求的最小值，就是用第二定义转化后，过向相应准线作垂线段巧用焦

4、点半径与点准距互化是解决有关问题的重要手段四. 相交情况下-弦长公式的应用例1 已知椭圆及直线（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程例2 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长五. 相交情况下点差法的应用例1 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点

5、，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题例2 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”有关二次曲线问题也适用例3 已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程 例4 已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该直线对称说明：涉及椭圆上两点，关于直线恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：(1)利用直线与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式，建立参数方程(2)利用弦的中点在椭圆内部，满足，将，