正弦定理 余弦定理应用实例练习 含答案

1、课时作业3应用举例时间：45分钟满分：100分课堂训练1海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是()A10海里B10海里C5海里 D5海里【答案】D【解析】如图，A60°，B75°，则C45°，由正弦定理得：BC5.2如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，ACB45°，CAB105°后，就可以计算出A、B两点的距离为()A50m B50mC25m D.m【答案】A【解析】因为ACB45

2、76;，CAB105°，所以ABC30°，根据正弦定理可知，即，解得AB50m，选A.3从某电视塔的正东方向的A处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B处，测得塔顶仰角为45°，A，B间距离是35m，则此电视塔的高度是_m.【答案】5【解析】如图所示，塔高为OC，则OAC60°，AOB180°30°150°，CBO45°，AB35，设电视塔高度为hm，则OAh，OBh，在AOB中由余弦定理可得AB2OA2OB22OA·OB·cosAOB，即352(h)2h22&#

3、215;h×h×()解得h5.4如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？【分析】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与38海里比较大小即可【解析】在ABC中，BC30，B30°，ACB135°，BAC15°由正弦定理，即：AC60cos15°60cos(45

4、76;30°)60(cos45°cos30°sin45°sin30°)15()，A到BC的距离为dACsin45°15(1)40.98海里>38海里，所以继续向南航行，没有触礁危险课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10°B北偏西10°C南偏东10° D南偏西10°【答案】B【解析】如图所示，ECA40°，FCB60

5、°，ACB180°40°60°80°，ACBC，AABC50°，ABG180°CBHCBA180°120°50°10°.故选B.2某市在“旧城改造”工程中，计划在如下图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境已知这种草皮价格为a元/m2，则购买这种草皮需要()A450a元 B225a元C150a元 D300a元【答案】C【解析】S×20×30×sin150°×20×30×150(m2)，购买这种草皮需要150a元，故

6、选C.3有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°.在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是()A5 B10C10 D10【答案】C【解析】如图，设将坡底加长到B时，倾斜角为30°.在ABB中，利用正弦定理可求得BB的长度在ABB中，B30°，BAB75°30°45°，AB10m.由正弦定理，得BB10(m)坡底延长10m时，斜坡的倾斜角将变为30°.4一船以22km/h的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东45°，1小时30分后航行到B处，在

7、B处看灯塔S在船的南偏东15°，则灯塔S与B之间的距离为()A66 km B132 kmC96 km D33 km【答案】A【解析】如图，ASB180°15°45°120°，AB22×33，由正弦定理，SB66(km)5据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断某路边一树干被台风吹断后，树尖与地面成45°角，树干也倾斜，与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是()A.米 B10米C.米 D20米【答案

8、】A【解析】设树干底部为O，折断点为P，树尖着地处为M，如图，OPM中，P180°MO180°45°75°60°，由正弦定理得，PO.6甲船在B岛的正南A处，AB10km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是()A.min B.hC21.5min D2.15h【答案】A【解析】如图，设经过x小时时距离为s，则在BPQ中，由余弦定理知：PQ2BP2BQ22BP·BQ·cos120°，即s2(104x)2(

9、6x)22(104x)×6x×()28x220x100.当x时，s2最小，此时xhmin.7一艘船以4km/h的速度与水流方向成120°角的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过h，该船实际航程为()A2km B6kmC2km D8km【答案】B【解析】如图，|2，|4，AOB120°，A60°，|2.经过h，该船的航程为2×6(km)8如图，ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上的两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为()A75° B60&

10、#176;C50° D45°【答案】C【解析】如图，作CE平面ABD于点E，则CDE是太阳光线与地面所成的角，即CDE40°，延长DE交直线AB于点F，连接CF，则CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为.要使SABD最大，只需DF最大在CFD中，.DF.CF为定值，当50°时，DF最大二、填空题(每小题10分，共20分)9如图在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走a米到B，又测得山顶P的仰角为，则山高为_【答案】m【解析】在PAB中，已知BAP，APB，ABa，由正弦定理可得PA，在RtPAQ中，PQPAsin.10一只蚂蚁沿东北方向爬行xcm后

11、，再向右转105°爬行20cm，又向右转135°，这样继续爬行可回到出发点处，那么x_.【答案】【解析】如图ABC中，A45°15°60°，B45°30°75°，ACB45°，由正弦定理知，x.三、解答题(每小题20分，共40分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11A、B是海平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，BAD120°，又在B点测得ABD45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD.【分析】如图，由于CD平面ABD，CAD45&

12、#176;，所以CDAD.因此，只需在ABD中求出AD即可【解析】在ABD中，BDA180°45°120°15°，由，得AD800(1)(m)CD平面ABD，CAD45°CDAD800(1)2 186(m)答：山高CD为2 186 m.12如图，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直线公路以100千米/小时的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O点南偏东方向距O点500千米且与海岸距离为300千米的海上M处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必须以多大的速度行驶，才能把物品递送到司机手中？并求快艇以最小速度行驶时方向与OM所成的角【分析】根据题意画出示意图如图所示在MON中，利用余弦定理得到速度v关于时间t的函数关系式，然后利用二次函数求最值【解析】如图所示，设快艇从M处以v千米/小时的速度出发，沿MN方向航行，t小时后与汽车相遇在MON中，MO500，ON100t，MNvt，设MON，由题意得sin，则cos.由余弦定理，得MN2OM2ON22OM·ON·cos，即v2t250021002