柯西中值定理和不定式极限_第1页
柯西中值定理和不定式极限_第2页
柯西中值定理和不定式极限_第3页
柯西中值定理和不定式极限_第4页
柯西中值定理和不定式极限_第5页
全文预览已结束

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

1、第二节 柯西中值定理和不定式极限一 柯西中值定理现给出一个形式更一般的微分中值定理定理6.5（柯西中值定理） 设函数f和g满足；(i)在a,b上都连续；(ii)在(a,b)内都可导；(iii)和不同时为零;(iv)g(a)g(b),则存在(a,b)，使得证 做辅助函数 易见F在a,b上满足罗尔定理条件，故存在(a,b)，使得因为（否则由上式？也为零），所以可把上式改写成式。 柯西中值定理有着与前两个中值定理相类似的几何意义。只是现在要把？这两个函数写作以x为参量的参数方程在uOv平面上表示一段曲线（图65）.由于式右边的表示连接该曲线两端的弦AB的斜率，而式左边的则表示该曲线上与x=相对应的一

2、点C(g(),f()处的切线斜率。因此式即表示上述切线与弦AB互相平行。例1 设函数f在a,b（a0）上连续, 在(a,b)内可导，则存在(a,b)，使得f(b)-f(a)=证 设g(x)=lnx,显然它在a,b上与f(x)一起满足柯西中值定理条件，于是存在(a,b)，使得=上式整理后便得到所要证明的式。二 不定式极限 我们在第三章学习无穷小（大）量阶的比较时，已经遇到过两个无穷小（大）量之比的极限。由于这种极限可能存在，也可能不存在，因此我们把两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限统称为不定式极限，分别记为型或型的不定式极限。现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛必达（LHo

3、spital）法则。柯西中值定理则是建立洛必达法则的理论依据。1型不定式极限定理6.6 若函数f和g满足：（） f(x)= g(x)=0；（）在点x的某空心邻域U(x)内两者都可导，且g（）（）=A(A可为实数，也可为惑),则=A.证 补充义f(x)=g(x)=0，使得注意若将定理中6.6中x换成也可得到同样的结论。例二 求解 容易检验故由洛必答法则求得如果例三 求例四 求解 这是型不定式极限，可直接运用洛必达法则求解。但若作适当变换，在计算上可方便些。为此，令时有，于是有=2. 型不定式极限（）（）在内两者都可导，且（）例五 求解 由定理6.7，有注1 若不存在，并不能说明不存在（试想，这是

4、为什么？）注2 不能对任何比式极限都按洛必达法则求解。首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛比达法则的其他条件。下面这个简单的极限，就会因右式的极限不存在得错误结论。3其他类型不定式极限不定式极限还有或型得极限例六 求解 这是一个型不定式极限。用恒等变形将它转化为型的不定式极限，并应用洛必达法则得到例求解 这是一个型不定式极限，按上例变形的方法，先求型极限：然后得到当k=0时上面所得的结果显然成立。例 求解 这是一个型不定式极限。类似的先求其对数的极限型：，是有=e例求解这是一个型不定式极限，通分后化为型的极限，即 习题1试问函数在区间上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？2设函数在上可导，证明存在3设函数在a点处具有连续的二阶导数，证4设0证明存在使得5求下

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 课件下载

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论