高三数学理科立体几何练习体积表面积

1、高三数学高三数学理科理科立几立几练习练习(表面积表面积+体积体积) 班级班级 姓名姓名 座号座号 一、柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 体积 圆柱 S侧2rh VShr2h 圆锥 S侧rl V13Sh13r2h13r2l2r2 圆台 S侧(r1r2)l V13(S上S下S上S下)h13(r21r22r1r2)h 直棱柱 S侧Ch VSh 正棱锥 S侧12Ch V13Sh 正棱台 S侧12(CC)h V13(S上S下S上S下)h 球 S球面4R2 V43R3 提示： (1)几何体的侧面积是指各个侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面面积之和 (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形

2、、扇环形 二、多面体的表面积的求法： (1)求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系 (2)旋转体的表面积的求法： 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和 三、给出几何体的三视图，求该几何体的体积或表面积时，可以根据三视图还原出实物，画出该几何体的直观图，确定该几何体的结构特征，并利用相应的体积公式求出其体积，求体积的方法有直接套用公式法、等体积转换法和割补法等多种若

3、所给几何体为不规则几何体，常用等体积转换法和割补法求解 练习： 1把球的表面积扩大到原来的 2 倍，那么体积扩大到原来的 ( ) A2 倍 B2 2倍 C. 2倍 D.32倍 2 如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图， 则该多面体的体积为( ) A.1423 B.2843 C.2803 D.1403 3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆，则其侧面积与全面积的比为 ，此圆锥体积为 4点 P 在正方体 ABCD- A1B1C1D1的面对角线 BC1上运动，给出下列四个命题： 三棱锥 A- D1PC 的体积不变；A1P平面 ACD1； DPBC1；平面 PDB1平面 ACD1

4、. 其中正确的命题序号是_ 5. 棱长为 2 的正四面体的表面积是 ，体积是 ，其外接球体积为 。 6如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2 cm，高为 5 cm，则一质点自点 A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1的最短路线的长为_cm. 7如图，在四边形 ABCD 中，DAB90，ADC135，AB5，CD2 2， AD2，求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积 8. 一个几何体的三视图如图所示已知主视图是底边长为 1 的平行四边形，左视图是一个长为 3，宽为 1 的矩形，俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成的矩形 (1)求该几何体的体积 V

5、； (2)求该几何体的表面积 S. 9已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，主视图(或称主视图)是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形，左视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形 (1)求该几何体的体积 V； (2)求该几何体的侧面积 S. 10.已知圆锥的母线长为 20cm，则当其体积最大时，其侧面积为（ ） Acm2 Bcm2 Ccm2 Dcm2 高三高三(上上)数学数学立几立几练习练习(体积表面积体积表面积) 班级班级 姓名姓名 座号座号 一、柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 体积 圆柱 S侧2rh VShr2h 圆锥 S侧rl V13Sh13r2h13r2l

6、2r2 圆台 S侧(r1r2)l V13(S上S下S上S下)h13(r21r22r1r2)h 直棱柱 S侧Ch VSh 正棱锥 S侧12Ch V13Sh 正棱台 S侧12(CC)h V13(S上S下S上S下)h 球 S球面4R2 V43R3 提示： (1)几何体的侧面积是指各个侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面面积之和 (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形 二、多面体的表面积的求法： (1)求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起侧面积公式中的未知量

7、与条件中已知几何元素的联系 (2)旋转体的表面积的求法： 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和 三、给出几何体的三视图，求该几何体的体积或表面积时，可以根据三视图还原出实物，画出该几何体的直观图，确定该几何体的结构特征，并利用相应的体积公式求出其体积，求体积的方法有直接套用公式法、等体积转换法和割补法等多种若所给几何体为不规则几何体，常用等体积转换法和割补法求解 练习： 1把球的表面积扩大到原来的 2 倍，那么体积扩大到原来的 ( )答案 B A2 倍 B2 2倍 C. 2倍 D.32倍 2如图是一个长方体截去一个角后所得多面

8、体的三视图，则该多面体的体积为( )答案 B A.1423 B.2843 C.2803 D.1403 解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体 的形状，如图所示这个多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积 VV长方体V正三棱锥4 4 61312 2 2 22843. 3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆，则其侧面积与全面积的比为 ，2:3此圆锥体积为 33V 2Rr，2R ，1r 4点 P 在正方体 ABCD- A1B1C1D1的面对角线 BC1上运动，给出下列四个命题： 三棱锥 A- D1PC 的体积不变；A1P平面 ACD1； DPBC1；平面 PDB

9、1平面 ACD1. 其中正确的命题序号是_ 解析：连接 BD 交 AC 于 O，连接 DC1交 D1C 于 O1，连接 OO1，则 OO1BC1. BC1平面 AD1C，动点 P 到平面 AD1C 的距离不变， 三棱锥 P- AD1C 的体积不变 又 VPAD1CVAD1PC，正确 平面 A1C1B平面 AD1C，A1P 平面 A1C1B， A1P平面 ACD1，正确 由于 DB 不垂直于 BC1，显然不正确； 由于 DB1D1C，DB1AD1，D1CAD1D1， DB1平面 AD1C.DB1平面 PDB1， 平面 PDB1平面 ACD1，正确 答案： 5.棱长为 2 的正四面体的表面积是 4

10、 3，体积是 ，其外接球体积为 。36 解 析 ： 每 个 面 的 面 积 为 ：12 2 2323 . 表 面 积 为43 ， 体 积 是12 62 23333V 外 接 球 直 径223 ( 2)R ， 半 径3R ， 体 积343VR=36（将四面体补成正方体） 6如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2 cm，高为 5 cm，则一质点自点 A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1的最短路线的长为_cm. 答案 13 解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为 5212213 (cm) 7 (

11、2014 浙江杭州模拟)如图，在四边形 ABCD 中，DAB90，ADC135，AB5，CD2 2，AD2，求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积 解：由已知得：CE2，DE2，CB5， S表面S圆台侧S圆台下底S圆锥侧(25)52522 2(604 2)， VV圆台V圆锥13(225222522)4132221483. 8.一个几何体的三视图如图所示已知主视图是底边长为 1 的平行四边形，左视图是一个长为 3，宽为 1 的矩形，俯视图为两个边长为1 的正方形拼成的矩形 (1)求该几何体的体积 V；(2)求该几何体的表面积 S. 解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个

12、平行六面体(如图)，其底面是边长为 1 的正方形，高为 3，所以 V1 1 3 3. (2)由三视图可知，该平行六面体中， A1D平面 ABCD，CD平面 BCC1B1， 所以 AA12，侧面 ABB1A1，CDD1C1 均为矩形， S2 (1 11 31 2)62 3. 9 已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形， 主视图(或称主视图)是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形，左视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形 (1)求该几何体的体积 V； (2)求该几何体的侧面积 S. 解析 由题设可知， 几何体是一个高为 4 的四棱锥， 其底面是长、 宽分别为 8 和 6

13、的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为 8，高为 h1的等腰三角形，左、 右侧面均为底边长为 6，高为 h2的等腰三角形，如右图所示 (1)几何体的体积为：V13 S矩形 h13 6 8 464. (2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h1 42325.左、右侧面的底边上的高为：h242424 2.故几何体的侧面面积为：S212 8 512 6 4 2 4024 2. 10（2015 秋吉安期末）已知圆锥的母线长为 20cm，则当其体积最大时，其侧面积为（ ） Acm2 Bcm2 Ccm2 Dcm2 【分析】设底面半径为 r，用 r 表示出圆锥的体积，利用函数思想求出体积的极大值点，代入侧面积公

14、式即可 【解答】解：设圆锥的底面半径为 r，高为 h，则 h=，圆锥的体积V=r2h=， 令 f（r）=400r4r6，f（r）=1600r36r5，令 f（r）=0，解得 r=， 当 0r时，f（r）0，当r20 时，f（r）0 当 r=时，f（r）取得最大值，即圆锥的体积取得最大值 此时，圆锥的侧面积 S=rl=20= 故选：B 9.【2016 全国大联考 1（课标 I 卷）】直三棱柱111ABCABC中，底面是正三角形，三棱柱的高为3，若P是111ABC中心，且三棱柱的体积为94，则PA与平面ABC所成的角大小是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 23 【答案】C 【解析】 由题

15、意可设底面三角形的边长为a， 过点P作平面ABC的垂线， 垂足为O， 则点O为底面ABC 的中心， 故PAO即为PA与平面ABC所成的角，由于233323OAaa，而3OP ，又因为三棱柱的体积为94，由棱柱体积公式得2393344Va ，解得3a ，所以3tan333POPAOAOa，得，故PA与平面ABC所成的角大小是3，故正确答案为 C. (2013 高考课标全国卷)已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点， AHHB12， AB平面 ，H 为垂足，截球 O 所得截面的面积为，则球 O 的表面积为_ 解析：如图，设球 O 的半径为 R， 则由 AHHB12 得 HA132R23R，OHR

16、3. 截面面积为(HM)2，HM1. 在 RtHMO 中，OM2OH2HM2， R219R2HM219R21，R3 24. S球4R24(3 24)292. 5.（2012 高考山东卷)如图，正方体 ABCD- A1B1C1D1的棱长为 1，E，F 分别为线段 AA1，B1C 上的点，则三棱锥 D1EDF 的体积为OPC1B1A1CBA_答案 16 解析 三棱锥 D1EDF 的体积即为三棱锥 F- DD1E 的体积因为 E，F 分别为 AA1，B1C 上的点，所以在正方体 ABCD- A1B1C1D1中EDD1的面积为定值12，F 到平面 AA1D1D的距离为定值 1，所以 VFDD1E131

17、2116. 二、滚动练习 1设i是虚数单位，则2(1) ii等于 D A0 B 4 C2 D2 2.（2011 辽宁高考理科 10）若a，b，c均为单位向量，且0ba， （a-c） （b-c）0，则|a+b-c|的最大值为 B A1-2 B1 C2 D2 【精讲精析】由（a-c） （b-c）0，得02ccbcaba，又0ba 且a，b，c均为单位向量，得1cbca，|a+b-c|2=（a+b-c）2= )(2222cbcabacba=123)(23cbca，故|a+b-c|的最大值为 1. 3.已知函数 f(x)1123,0log,0 xxx x ， 则使函数f(x)的图象位于直线y1 上方的

18、x的取值范围是_答案：1x1x10，10 时， 12log x112x ，102x. 综上所述：1x12. 4. 在直角坐标平面内， 以坐标原点O为极点， 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系。 曲线1C的极坐标方程是cos()2 24，曲线2C的参数方程是2cos2 3sinxy（为参数，02），求曲线2C上的点到直线1C的距离的取值范围。 4. 解：解：曲线2C是椭圆，其参数方程是4cos2 3sinxy（为参数，02），2cos2 3sin42d 413cossin12 2 sin() 12262 2 2 sin() 16 202366 11sin()62 02d 5. 某地区共有 100 万人，