最短路线问题

1、立体图形中的距离最短问题1.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？析：展开图如图所示，AB= = 13cm2.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线-螺旋前进的，难道植物也懂数学？通过阅读以上信息，解决下列问题：（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm，则它爬行一圈的路程是多少？

2、（2）如果树干的周长为80cm，绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？ （1）如图，O的周长为30cm，即AC=30cm，高是40cm，则BC=40cm，由勾股定理得AB =50cm故爬行一圈的路程是50cm；（2）O的周长为80cm，即AC=80cm，绕一圈爬行100cm，则AB = 100cm，高BC = 60cm树干高=60×10=600cm=6m故树干高6m3.已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示若沿OA剪开，则得到的圆锥侧

3、面展开图为 （ ）A.B.C.D.要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线故选B4.如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是_（结果保留根式）。 设圆锥的展开图扇形QAA的中心角AQA 的度数为n，则2×2× = ，解得：n = 90° 即AQA = 90°在RtAQA中，根据勾股定理， AA = 5.如图，圆锥的主

4、视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm，假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程是多少？设圆锥的展开图的圆心角为n，则 .2×2× = ，解得：n = 180° 即CQC = 180°在展开图中，BACC，BA = 4，AP = 2，由勾股定理得，BP = = 根据圆锥的主视图是等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆点B是半圆的一个端点，而点P是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B和P在展开图中的距离，就是这只蚂蚁爬行的最短距离圆锥的展开图的圆心角 = .主视图是等边三角形的圆

5、锥的展开图的圆心角是180°.本题主要考查了圆锥的侧面展开图的计算，正确判断蚂蚁爬行的路线，把曲面的问题转化为平面的问题是解题的关键.6.已知，圆锥底面半径为10cm，高为10cm，（1） 求圆锥的表面积；（2）  若一只蚂蚁从底面一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM=3AM，求它所走的最短距离。利用底面半径、高及母线组成的直角三角形构造勾股定理求出母线长，进而借助扇形面积公式求出表面积；蚂蚁在圆锥表面上行走一圈，而圆锥侧面展开后为扇形，故可在展开图（扇形）上求点A到M的最短距离（即AM的长）。解析：（1）圆锥的母线长SA= 40，圆锥侧面展开

6、图扇形的弧长l = 2×OA =20(cm)，S侧 = ×SA = 400(cm2)，S底=×OA2 = 100(cm2)，S表= S底+ S侧= 500(cm2) 。（2）沿母线SA将圆锥的侧面展开，得圆锥的侧面展开图，则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离，由（1）知SA = 40，弧AA=20，AS A= = 90°，又SA= SA=40，SM=3AM，SM = = 30，在RtASM中， AM = = =50，所以蚂蚁所走的最短距离是50cm.7.一只蚂蚁欲从圆柱形桶外的A点爬到桶内的B点处寻找食物，已知点A到桶口的距

7、离AC为12cm，点B到桶口的距离BD为8cm，CD的长为15cm，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少？展开图如右图所示，作点B关于CD的对称点B，连接AB，交CD于点P，则蚂蚁爬行路线APB为最短，且AP+PB = AB+PB，在直角AEB中，AE = CD = 12，EB = ED + DB = AC + BD = 12 + 8 = 20由勾股定理知，AB = 25所以，蚂蚁爬行的最短路程是25cm.8.（1）如图，一个无盖的长方体盒子的棱长分别为BC3cm、AB4cm、AA15cm，盒子的内部顶点C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）假设昆虫甲在顶点C1处静

8、止不动，请计算A处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲C1处的最短路程并画出其最短路径，简要说明画法。（2）如果（1）问中的长方体的棱长分别为ABBC6cm，AA114cm，如图，假设昆虫甲从盒内顶点C1以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以3厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ (1)如图二，将上表面展开，使上表面与前表面在同一平面内，即A、A1、D1三点共线AA1+A1D1 = 5 + 3 = 8，D1C1 = 4根据勾股定理得AC1 = 如图三，将右侧面展开，使右侧面与下表面在同一平面内，即A、B、B1三点共线AB+

9、BB1 = 4 + 5 = 7，B1C1 = 3根据勾股定理得AC1 = 如图四，将右侧面展开，使右侧面与前表面在同一平面内，即A、B、C三点共线AB+BC = 4 + 3 = 7，CC1 = 5根据勾股定理得AC1 = < < 最短路程是cm在图四中，ABEACC1，BE = 如图一，在BB1上取一点E，使BE = ，连接AE，EC1，AEC1就是最短路径(2)如图五，设C1F = x，则AF = 3x，CF = 14 x，在RtACF中，根据勾股定理得AF2 = AC2 + CF2即：(3x)2 = (6 + 6)2 + (14 - x)2解得：x1 = 5，x2 = - x

10、> 0，x = 5 昆虫乙至少需要多长5秒才能捕捉到昆虫甲.在长方体中，经过它的表面，从一个顶点到另一个与它相对的顶点的最短距离是：在长、宽、高中，以较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边， 斜边长即为最短路线长。9（2011石家庄模拟）动手操作：如图1，把矩形AABB卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点A重合，点B与点B重合. 探究与发现：（1）如图2，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝带到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是 cm；（丝线的粗细忽略不计）（2）如图3，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝

11、线？实践与应用：如图4，现有一个圆柱形的玻璃杯，准备在杯子的外面缠绕一层装饰带，为使带子全部包住杯子且不重叠，需要将带子的两端沿AE，CF方向进行裁剪，如图5所示，若带子的宽度为1.5厘米，杯子的半径为6厘米，则sin= 分析：（1）连接AB，已知AA=30，AB=40，由勾股定理可求AB的长；（2）在RtAAC中，由勾股定理求AC，丝线至少为4×AC， 将剪开线MN与矩形短边的夹角转化到直角三角形中，根据正弦的定义求值解答：探究与发现：（1）如图，连接AB，已知AA=30，AB=40，由勾股定理，得AB=50;（2）如图，在RtAAC中，AA=30，AC=10AC=cm丝线至少为4×AC=40cm；实践与应用：如图，沿MN把矩形剪开，矩形对角线AA为杯子周长12