曲线的凹凸与拐点

1、§2.6 曲线的凹凸性与拐点一、 二阶导数的几何意义曲线的凸凹性定理8 设在上连续，在内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在内，则在上的图形是凹的；（2）若在内，则在上的图形是凸的例1 判断曲线的凹凸性.解： ， ，因定义域为,故在上，曲线是上凸的.例2 判定曲线的凹凸性.解: 由 ，当时，故在内为凸弧；当时，故在内为凹弧. 曲线上凸弧与凹弧的分界点称为曲线的拐点如例2中，点为的拐点例3 求曲线的拐点.解 ： ，是不存在的点,因为时，时，故点是曲线的拐点.二、 导数在经济上的应用1、边际与边际分析（1）边际成本设某产品产量为单位时所需的总成本为，称为总成本函数，简称成本函数.当产量由变

2、为时，总成本函数的改变量为这时，总成本函数的平均变化率为它表示产量由变为时，在平均意义下的边际成本.当总成本函数可导时，其变化率表示该产品产量为时的边际成本，即边际成本是总成本函数关于产量的导数.其经济意义是：近似等于产量为时再生产一个单位产品所需增加的成本，这是因为（2）边际收益设某产品的销售量为时的总收益为.称为总收益函数，简称收益函数.当可导时，收益函数的变化率称为销售量为时该产品的边际收益.它近似等于销售量为时再销售一个单位产品所增加（或减少）的收益.（3） 边际利润设某产品销售量为时的总利润为，称为（总）利润函数.当可导时，称为销售量为时的边际利润，它近似等于销售量为时再多销售一个单

3、位产品所增加（或减少）的利润.由于总利润为总收益与总成本之差.即有由导数运算法则可知即边际利润为边际收益与边际成本之差.例4 设某厂每月生产产品的固定成本为5000元.生产单位产品的可变成本为（元）.如果每单位产品的售价为30元.试求：边际成本函数、边际利润函数及边际利润为零时的产量.解: 总成本为可变成本与固定成本之和，依题设，总成本函数为于是，边际成本函数为总收益函数为 ： ，故总利润函数为 ： 于是，边际利润函数为： 令 ， ， 得 ， 可见，当月产量为100个单位时，边际利润为零.说明当月产量达100个单位时，再多生产一个单位产品也不会增加利润.例5 设某产品的需求函数为，其中为价格，

4、为需求量.求边际收益函数，以及、和600、时的边际收益，并解释所得结果的经济意义.解: 总收益函数为，而由题设的需求函数有.于是，总收益函数为所以，边际收益函数为, ，由所得结果可知，当销售量即需求量为个单位时，再增加销售可使总收益增加，再多销售一个单位产品，总收益约增加240个单位；当销售量为500个单位时，总收益达到最大值，再扩大销售总收益不会再增加；当销售量为600个单位时，再多销售一个单位产品，反而使总收益约减少50个单位，或者说，再少销售一个单位产品，将使总收益少损失50个单位2、弹性与弹性分析（1）弹性的概念若变量在某一点处取得改变量,则称为的相对变量，相应的，称为的绝对变量.导数

5、是与的绝对改变量的比值的极限.在经济数学中，称与的相对改变量的比值 的极限为对的弹性.或者说，一个经济变量变动百分之一会使另一经济变量变动百分之几.定义4 设可导函数f(x) 在点x的某邻域内有定义，且f(x)0,如果极限 = 存在，则称此极限为函数在点出的点弹性.（2）需求弹性 设某商品的市场需求量为，价格为，需求函数可导，则称 为该商品的需求对价格的弹性，简称为需求弹性. 当（即时），称为单位弹性，此时商品需求量变动的百分比与价格变动的百分比相等，提价或降价对总收益没有明显的影响；当（即时），称为高弹性，此时商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，价格的变动对需求量的影响较大，降价（）可使总收益增加（），薄利多销多收益；提价（）将使总收益减少（）；当（即）时，称为低弹性，此时商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，价格的变动对需求量的影响不大，低弹性时，降价使总收益减少，例6 设某商品的需求函数为 .求1 ，3， 5 时的需求价格弹性，并给以适当的经济解释.解: 由，