最短距离问题将军饮马

1、 第一讲 转化思想一、 线段和、差“牧童放牛”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题”，在最近几年的中招试题及竞赛中，该问题经过不同的转化及演变，一 一浮现在我们的眼前，使我们目不暇接，顾此失彼。因此，我们有必要作一下总结，找出其中的规律，以做到屡战屡胜的效果。原题：如图，一位小牧童，从A地出发，赶着牛群到河边饮水，然后再到B地，问怎样选择饮水的地点，才能使牛群所走的路程最短？ AB延伸一：某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电。已知两个居民小区A、B分别到主干线的距离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4

2、千米。（1）如果居民小区A、B位于主干线L的两旁，如图（1）所示，那么分支点M在什么地方时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？（2）如果居民小区A、B位于主干线L的同旁，如图（2）所示，那么分支点M在什么地方时总路线最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？ A B B A A B A BLL延伸二：如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值是多少？ABCDMN 延伸三：如图，A是半圆上一个三等分点，B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，O的半径为1，求AP+BP的最小值。 ABMNOP延伸四：如图所示，在边长为6的菱形ABCD中,DAB

3、=600，E为AB的中点，F是AC上一动点，则EF+BF的最小值是多少？ABCDEF 延伸五：在直角坐标系XOY中x轴上的动点M（x,0）到定点P（5，5），Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x=? xyoMPQ例，如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB90°，E、F分别是AB、CD的中点，求证EF （ABCD）二、面积问题例，如图， 中，BC4， ，P为BC上一点，过点P作PD/AB，交AC于D。连结AP，问点P在BC上何处时， APD 面积最大？ 三、中考题如图，已知，是斜边的中点，过作于，连结交于；过作于，连结交于；过作于，BCAE1E

4、2E3D4D1D2D3如此继续，可以依次得到点，分别记，的面积为，.则=_（用含的代数式表示）.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x的正半轴上，OA=2，OC=3，过原点O作AOC的平分线交AB与点D，连接DC.过点D作DEDC交OA与点E. 求过点E,D,C的抛物线的解析式. 将DEC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G.如果DF与第（1）题中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为6/5，那么EF=2GO是否成立？请说明理由. 对于第（2）题中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的

5、交点P与点C，G构成的PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.yxABEDCO如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N求证：（1）；（2）如图，在ABD和ACE中，AB=AD，AC=AE，BAD=CAE，连结BC、DE相交于点F，BC与AD相交于点G（1）试判断线段BC、DE的数量关系，并说明理由（2）如果ABC=CBD，那么线段FD是线段FG和FB的比例中项吗？为什么？如图，四边形和四边形都是平行四边形，点为的中点，分别交于点（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；ABCDEPOR（2）求如图