第09章03_04偏导数与全微分(1)

1、第3节偏导数与全微分 请同学们认真复习一元函数导数、微分基础知识。加一个作业：默写求导基本及全部法则公式。3.1偏导数的定义我们讨论多元函数的偏导数定义3.1 设函数在定点的某领域内有定义(1)固定只让变化，得一个一元函数，如果在处不可导，就说函数在处关于不可偏导；如果在处可导，就说函数在处关于可偏导，此时称为函数在点处关于变量的偏导数记作，或等，即等(2)固定只让变化，得一个一元函数，如果在处不可导，就说函数在处关于不可偏导；如果在处可导，就说函数在处关于可偏导，此时称为函数在点处关于变量的偏导数记作，或等，即等定义3.1 设函数在定点的某领域内有定义当固定，而在处取得增量时，函数相应地取得

2、增量，称其为函数在处关于的偏增量若极限(3.1)存在，则称此极限为函数在点处关于变量的偏导数记作，或等类似地，若固定，函数相应于变量的偏增量为，若极限(3.2)存在，则称此极限为函数在点处关于变量的偏导数记作：，或等若函数在点处关于,的偏导数都存在，则称函数在处可偏导若函数在区域中的每一点都是可偏导的，则称函数在中可偏导这些偏导数仍是,的函数，称它们为的偏导函数，简称偏导数记作,；,；,；,等定理3.0 定义3.1和定义3.1是等价的。证 根据定义3.1和一元函数导数概念的定义，（关于完全类似）故定义3.1和定义3.1是等价的。（看情况，有时用定义3.1而有时用定义3.1。）定义3.n 设函数

3、在定点的某领域内有定义固定只让变化，得一个一元函数，如果在处不可导，就说函数在处关于不可偏导；如果在处可导，就说函数在处关于可偏导，此时称为函数在点处关于变量的偏导数记作，或等，即等（）定义3.n 设函数在定点的某领域内有定义当固定，而在处取得增量时，函数相应地取得增量，称其为函数在处关于的偏增量若极限存在，则称此极限为函数在点处关于变量的偏导数记作，或等（）定理3.n 定义3.n和定义3.n是等价的。证 与定理3.0的证明类似。类似地，可讨论元函数在维区域中是否可偏导，有时也有偏导函数，简称偏导数从定义中可看到，在讨论多元函数的偏导数时，我们只是让一个自变量变化，而固定其余的变量换句话说，即

4、将多元函数视为某一个变量的一元函数，再考虑其求导数的问题因此，计算多元函数的偏导数并不需要新的计算公式和方法，只需要注意在计算过程中函数是视为哪个变量的一元函数就行了（不熟练一元函数求导的同学要注意复习了！）（加一个作业：默写全部求导公式（包括求导法则公式）。）思考题：计算偏导数时，能否先将代入，再对求导？（可以。）二元函数的偏导数是几元函数，它的自变量是什么？（二元函数，自变量也是。）【例3.1】求在点(1,1)处的偏导数.解(如果按照定义3.1，)将视为常量，对求导，得；将视为常量，对求导，得；所以；【例3.2】设，求，解视,为常数，对求导，得；视,为常数，对求导，得；视,为常数，对求导，

5、得 【例3.3】设，求的偏导数解当时，；当时，由偏导数的定义得，；（如果按照定义3.1，）所以；注意：由例2.3知，不存在，故在点不连续由此例可知，对于多元函数来说，函数在某点处可偏导不能保证它在此点处是连续的，这与一元函数中关于函数的可导性与连续性之间的关系是不同的思考题：3二元函数在点处的两个偏导数，存在，为什么不能推出在该点连续？（因为只与某两线段有关，与附近的四块都无关。而连续必须全面保证。）4考查函数在原点处的连续性与可导性（，在原点处不连续。原点处，都存在。）【例3.4】设不为零的变量,满足方程（常数），证明：证求时，把当作函数，和是自变量。将方程变形为，则有；同理，求时，把当作函

6、数，和是自变量。将方程变形为，则有；求时，把当作函数，和是自变量。将方程变形，得；所以（魔术：把已证明的等式约简得。问题在哪里？偏导数记号与一元函数的导数记号间的一个本质区别：对于一元函数而言，可以看作是两个微分之商，而多元函数的偏导数或是一个整体的记号，不能当作分数！）3.2偏导数的几何意义图3.1设表示空间中的一个曲面，若固定，则表示平面与曲面的交线，此交线位于平面上， （）为曲面上的点由偏导数的定义知，等于一元函数在处的导数由一元函数中导数的几何意义知，在几何上表示曲线在点处的切线对轴的斜率同理，偏导数在几何上表示曲线在点处的切线对轴的斜率3.3全微分先看一个例子设二元函数为自变量在点处

7、有改变量时，引起函数的全增量为其中记，是与无关的常数所以， 对于一般的二元函数，.我们要问：是否存在与无关的常数使得？定义3.2 设是二元函数，是其定义域的内点。如果存在与无关的常数使得 (3.3)其中。则称函数在点处是可微分的，称为函数在点的全微分，记作：全微分是全增量的线性主要部分，它们只相差的高阶无穷小（与一元函数的微分比较。）定理3.1(可微的必要条件) 若函数在可微，则(1) 在点处连续(2) 在点处可偏导，且，证(1) 因在可微，即有，故，亦即 （），故在连续 (2) 由函数在可微,得（不管怎样的）。让，则，此时有故存在同理，让，也得存在证毕类似于一元函数中的情形，我们约定自变量的

8、增量等于自变量的微分，即，则函数在一点处的全微分可写为：当函数在某区域内处处可微时，称它为内的可微函数则其在任意点的全微分为；或对于三元函数，可类似地给出可微和全微分的概念定义3.2 设是三元函数，是其定义域的内点。如果存在与无关的常数使得其中。则称函数在点处是可微分的，称为函数在点的全微分，记作：对于三元函数，也有类似的定理3.1，在一点处的全微分可写为：当函数在某区域内处处可微时，称它为内的可微函数则其在任意点的全微分为；或定义3.n 设是n元函数，是其定义域的内点。如果存在与无关的常数使得其中。则称函数在点处是可微分的，称为函数在点的全微分，记作：定理3.n(可微的必要条件) 若函数在可

9、微，则(1) 在点处连续(2) 在点处可偏导，且证与定理3.1的证明类似。函数在一点处的全微分可写为：当函数在某区域内处处可微时，称它为内的可微函数则其在任意点的全微分为；或定理3.n说在一点可微保证可偏导且连续。需要注意的是，此定理的逆命题不成立，即在一点函数连续或可偏导不能保证可微与一元函数时不同，对于多元函数，“在一点处可微”与“在该点可偏导”是不等价的熟悉下面一些典型例子。【例3.5】设，讨论函数在点处的连续性，可偏导性，可微性解(1) 因，所以故函数在点处连续(2) ，类似地有，即函数在可偏导(3) 函数在处的全增量为若函数在处可微，则应为的高阶无穷小，但不存在（例2.3），所以假设

10、不成立，函数在不可微（方法总结：（1）证明在连续，就是证明；（2）证明在可偏导，就是（比如说用定义）证明在每个偏导数都存在；（3）当在可偏导时，证明在可微，就是证明；证明在不可微，就是证明不存在（前面已有方法）或。如果在点某个偏导数不存在，则在肯定不可微。）思考题：5若函数的两个偏导数都存在，是否就是的全微分？（不一定。）那么，函数需要满足什么条件，才能保证其在一点处一定可微呢？下面的定理给出了函数在一点处可微的充分条件定理3.2(可微的充分条件)若函数在点的某邻域内处处可偏导，且，在点处连续，则函数在点处可微证设,充分小，为的邻域内任意一点，则，由一元函数的微分中值定理，有，又因为，在处连续

11、，故，其中，。所以而因此，由定义可知，在可微【例3.6】求下列函数的全微分：(1) ；(2) 解(1) ，两个偏导数在除外均连续，故(2) ，故【例3.7】设，讨论函数在点处的连续性、可偏导性、可微性及偏导函数的连续性解(1) 连续性：因，故有，函数在连续(2) 可偏导性：因， 故在处可偏导(3) 可微性：由上面已知，因（把写成，写成）而，故在处可微(4)当时，故，因，不存在，故不存在，所以在处不连续同理可得在处不连续由此例可看到，偏导函数连续只是函数可微的充分条件，而不是必要条件（方法总结：讨论偏导（函）数的连续性，首先得把偏导函数计算出来（分段点的导数用定义计算）。）多元函数在一点处的连续

12、性，可偏导性，可微性及偏导函数的连续性之间的关系如下：偏导数连续可微可偏导连续定理3.2例3.7定理3.n定理3.n例3.5例3.5下面简要说明微分的几何意义及其在近似计算中的应用设函数在处可微，记，则，即(3.4)利用此式可得二元函数近似值的计算表达式若记， (3.5)此式表示空间过点且以为法向量的平面(3.4)式表明，如果函数在点可微，则曲面在附近的小部分可用一个平面来近似代替，这种近似代替体现了“以直代曲”的思想，此平面为曲面在处的切平面(图3.2)关于切平面的有关内容，将在第8节中进一步的讨论图3.2】计算的近似值解设，取,，因；，故习题9-3A类1求下列函数的偏导数(1) ；(2)

13、；(3) ；(4) ；(5) ；(6) 2求下列函数在指定点处的偏导数值*(1)在点处；(2)在点处；*(3)在点处；(4)在点处3求函数的全微分*(1)；(2)；(3)；(4)；*(5)；4求曲线在点的切线关于轴的倾角5证明：函数在点处连续，但偏导数不存在6设，求，7设函数，讨论其在点处的一阶偏导数及全微分是否存在解 。所以两个偏导数都存在。如果在点处的全微分存在，则但是，不存在（时，）。8利用全微分近似计算(1)；*(2)B类1设，求，2设，求，3证明函数在点连续，且偏导数存在，但在该点处不可微4证明：若函数满足不等式，则在点处是可微的5设，其中在点的某邻域内连续试问(1)满足什么条件时，

14、存在？(2)满足什么条件时，在点处可微？解 （1）存在的充要条件是；存在的充要条件也是。（2）当时，在点处不可偏导也就不可微。设。（）。在点处可微。在点处可微的充要条件也是。*6扇形中心角为，半径若将中心角增加，为使扇形面积不变，应将半径缩短多少？第4节多元函数复合函数的求导法则本节讨论多元复合函数的求导法则及一阶全微分形式不变性4.1 多元复合函数的求导法则首先要注意到多元函数复合的多样性我们直接给出多元复合函数的求导法，然后用后面的有证明的定理4.1、4.2验证我们的做法是对的（这样当然不算总方法的证明）。题目（考点）：求给定复合函数的导数。解法步骤：（0）弄清复合结构，引进中间变量；（1

15、）画出函数图；（不要像课本上的画法）（2）根据函数图写出求导公式（比如对求导） （i）函数图中有多少个叶子是，公式中就有多少项：每个叶子所在的路径对应一项； （ii）路径中的每个相邻函数关系都求导（一元函数的就求导，多元函数的就求偏导），把这些导数乘起来，就得到该路径对应的项；（3）用上面写出的求导公式求出（偏）导数。请同学们务必理解、记熟、练熟上面的解法步骤。1 一个自变量的情形定理4.1设，如果，在点处可导，函数在对应点处有连续偏导数，则复合函数在点处可导，且有 (4.1)（函数图：求导公式：（共有两条路径的叶子是，公式有两项）与（4.1）一致。）证设自变量有一个改变量，相应地函数，也有改

16、变量，因为函数在处有连续偏导数，则（可微）有，因为，在处可导，故，所以有，又由且，得，即有存在上式中的称为对的全导数 多个自变量的情形如果函数，有下面的结论：定理4.2设函数，在点处的偏导数存在，函数在对应点处有连续偏导数，则复合函数在点处的偏导数存在，且， （4.2）证略（与定理4.1的证明类似）（函数图：求导公式：（共有两条路径的叶子是，公式有两项）（共有两条路径的叶子是，公式有两项）与（4.2）一致。）)要注意在求偏导过程中变量所在的位置如：，函数图：公式：注意上式中的两个记号,各自的含义等式左边的是复合结果一元函数对复合结果自变量的导数；等式右边的是复合前三元函数对复合前变量的偏导数，

17、此时,看作常量【例4.1】设函数，求全导数解函数图：求导公式：（共有两条路径的叶子是，公式有两项）因，故【例4.2】设，有一阶连续偏导数，求解令，则有。函数图：求导公式：注有时为了方便和不引起混淆，将简记为，简记为即用表示函数对第个中间变量的偏导数借用此记号，上式可简写为【例4.3】设，求，解函数图：求导公式： ，故，【例4.4】设，有一阶连续偏导，求，解设，则。函数图：求导公式： 从而有，【例4.5】设，其中为可微函数证明：证，。设。函数图：求导公式： ，。图4.6【例4.8】设,，,有一阶连续偏导数，求解函数图如图4.6所示，求导公式：，注意：公式左边和右边的区别：是三个叶子的，而是一个叶

18、子的（所以用小括号以示区别）。类似地，和的区别。，4.2 一阶全微分形式不变性我们知道，一元函数的一阶微分具有微分形式不变性，即不管是自变量还是复合函数的中间变量都是对的。设,，,有一阶连续偏导数。我们来求复合函数的微分。由复合函数求导的链式法则，有 不管是自变量还是复合函数的中间变量都是对的。这就是二元函数的一阶全微分形式不变性。一般地，多元函数同样具有一阶全微分形式不变性。利用一阶全微分形式不变性，我们很方便地计算多元复合函数的微分和（偏）导数。【例4.7】设，求解顺便，。【例4.8】，有一阶连续偏导数，求,解，【例4.9】,，,均可微，求,解，故得，从上面两个例子可看到，利用一阶全微分形式不变性求复合函数的偏导数，运算的层次较明确，不易出错，且计算相对较简单习题9-4A类1求下列函数的一阶全导数或一阶偏导数，其中有一阶连续的偏导数(1) ，求；*(2) ，求；(3) ，求，；(4) ，求；(5) ，求，；*(6) ，求，；(7) ，求，；(