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1、 第二十章 曲线积分实践课一 疑难问题与注意事项1.定积分可看成第一型曲线积分的特例吗？答：不能，第一型曲线积分要求，但定积分中可能为负.2.第一型曲线积分与第二型曲线积分有什么区别和联系.答：区别：第一型曲线积分（对弧长的积分）意义是求曲线段物体质量，与方向没有关系在用公式，其中计算时，一定要注意下限小于上限，最后曲线积分值为正.第二型曲线积分（对坐标的积分）意义是质点受力做功，与曲线的方向有关在用公式其中，表示从起点对应的参数变化到终点所对应的参数计算时，首先确定起点所对应的参数，终点所对应的参数，然后起点参数作为下限，终点参数作为上限，这里注意不一定小于，积分值可正可负联系： 两类曲线积

2、分虽然有所不同，然而在规定了曲线的方向之后，这两者之间有着一定的联系：设为以弧长为参量的有向光滑曲线，且上每一点的切线方向指向弧长增加的一方.以与分别表示切线方向与轴和轴正向的夹角，如果在上连续，则3.第一型曲线积分的计算方法小结：1）先把的方程代入，然后利用（表示的整个弧长）计算例 求，其中是单位圆周 解 注意，必须满足的方程，的整个弧长2）利用计算公式设有光滑曲线，函数为定义在上的连续函数，则当曲线由方程表示，且在上有连续的导函数时，则 当曲线由方程表示，且在上有连续导函数时，则 设空间曲线的参数方程，则3）利用对称性（1）若分段光滑曲线关于轴对称，在上为连续函数，为位于轴右侧的弧段，则（

3、2）若分段光滑曲线关于轴对称，在上为连续函数，为位于轴上侧的弧段，则（3）若关于直线对称，记位于直线上半部分区域为，则（4）若积分曲线关于具有轮换对称性，则4.第二型曲线积分的计算方法小结：1）利用公式：设，则2）利用第一型曲线积分与第二型曲线积分的关系或 其中，为曲线孤上上点处沿定向到方向的切线的方向余弦3）利用格林公式（下一章讲）三 典型例题1.1）计算，其中是与相交的圆周2）求，其中是球面与平面的交线解 1）由，得，于是 2） 2.计算，其中为星形线解 由关于轴对称，且被积函数奇，关于轴对称，且被积函数奇，于是，在由轮换性，设为在第一象限的部分，利用对称性，的参数方程为，于是.3.设为曲线，求.解 利用轮换对称性，得.4.，其中为圆周，直线以及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界解： ：，：，：,，因此 5计算第二型曲线积分1）,其中为与轴所围的闭曲线,依顺时针方向；2）,其中为到的直线段解 1）看成两条曲线，其中为

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