井字梁的级数计算法

1、井字梁的级数计算法谢建民 肖备（浙江广厦三建，浙江 东阳 322100）摘 要：根据结构力学梁的应变能计算公式推导出井字梁的偏微分方程，再利用纳维尔法，在边界条件为简支情况下，求出井字梁挠度和弯矩的级数表达式，再利用数学差分法求出梁的两端剪力，由于该级数表达式收敛速度很快，计算比较快，可进行手工计算，也可以用BASIC语言编制计算程序。关键词：井字梁 级数计算 力法Fouries Series Method of Caisson BeamXie Jian Min Xiao Bei(Zhejiang Dongyang 3rdConstruction Engineering Co,Ltd 3221

2、00)Abstract: The caisson beam is redundant structure, The differential equation of caisson leam is studied by the variational methods and strain energy method of structural mechanics ,And on condition of simply supported on four sides , The deformity and bending moment of caisson beam is presented b

3、y Fouries series , The results of numerical example are compared with those obtained by force method.Keywords: caisson beam ; Fouries series ; force method1 概述随着建筑业的蓬勃发展，井字梁结构受力比较合理，梁高度比一般梁系要小，故在工业与民用建筑中得到广泛的应用，如礼堂、保龄球馆、宾馆与商场等一些大型公共建筑的大堂中常采用这种结构形式。井字梁为十字交叉梁系，受力复杂，其内力与变形比较复杂，属于高次超静定结构。采用力法计算时，线性方程未知数

4、很多，计算比较复杂。本文根据结构力学梁的应变能计算公式推导出井字梁的偏微分方程，采用纳维法，在边界条件为简支条件下，求出井字梁挠度与弯矩的级数表达式，再通过数学差分法求出梁的剪力。通过比较，其计算结果与常规力法计算结果完全一致。即使井字梁的网格不相等，也可用此法求出梁的弯矩与剪力。由于该级数表达式收敛速度相当快，故计算速度很快，可进行人工计算，也可用BASIC语言编制计算程序进行计算。2 井字梁级数法计算公式推导根据结构力学梁的应变能计算公式如下： （1）式中：V为梁的应变能；D=EJE为混凝土的弹性模量；J为梁的惯性矩；为梁的挠度；x与y为平面坐标。在图1中，a与b为井字梁楼板的长短边，为作

5、用在井字梁楼板上的均布荷载。对（1）式变分后得： （2）总势能： （3）上式变分可得： （4）因，D=EJ故： 这就是井字梁的偏微分方程。图2图1 在大部份井字梁设计时，其四周按简支条件考虑，在这里我们暂按井字梁的网格间距是相等的。根据假设，偏微分方程的边界条件为：当x=0时，（6）当x=a时，当y=0时，当y=a时，我们用一个双重正弦三角级数来表示井字梁的挠度： （7）式中，为无穷三角级数的系数；m，n=1，2，3表示正整数。很明显，表达式（7）满足边界条件。求对x与y的二阶偏导数得：（8）同样，（8）式也满足边界条件。我们求梁挠度表达式（7）式的待定系数，先求出的偏导数和，代入（5）式后可

6、得： （9）因为是一个连续函数，将它展开为一个双重三角正弦级数是允许的，令： （10）上式中，富氏系数是： （11）在井字梁楼板设计时，荷载集度为常数，对上式进行积分运算可得： （12）从上式可看出，是偶函数，即当m，n为偶数时，=0，故m，n必须为奇数，于是当m，n为奇数时，上式改为： （13）将上式代入（10）式可得： （14）将上式代入（9）式得： （15）因为上式左右两边都是双重三角级数，故在级数每项正弦函数前面的系数是必定相等，于是得： （16）将上式代入（7）得： （17）由于井字梁一般都是几何对称，将坐标原点移到井字楼板中心，如图2所示，则上式改为： （18）梁的弯矩为： （19

7、） （20）式中， ；c为井字梁的间距，如图2所示。 （21） （22） （23）上式中， ，。 （24）（21）（23）式之值是与井字梁的几何尺寸无关的双重三角级数，且级数收敛速度很快，因此，可将该三式按不同的值由微机计算。将（21）（23）式代入（18）（20）式可得： （25） （26） （27）3 实例设有一井字梁，如图2所示，a=8.1m，b=6.75m，c=1.35m，楼板均布荷载q=4.5KN/m2，求井字梁内力。，现根据（21）（23）式进行各节点内力计算，采用列表计算，见表1，各梁的弯矩如下：表1点号x（米）y（米）（）（）KN.mKN.m12.70.6750.3330.10

8、.12230.146212.1914.2121.350.6750.1670.10.17270.244517.2124.36300.67500.10.18490.281518.4228.0542.72.0250.3330.30.08000.10287.9710.2451.352.0250.1670.30.10730.168210.6916.76602.02500.30.11390.190511.3518.98（13.92，2.1%） （23.89，2.0%）（27.46，2.1%） （10.96，3.6%）（17.8，3.5%）根据结构力学和数学上的差分法可知， 梁端剪力中，因简支端的弯矩为零，故：上式中表